结构力学龙驭球第八章课件

1、一、位移法的基本思路一、位移法的基本思路 位移法的基本思路是：位移法的基本思路是：先分别考虑原结构在荷载和先分别考虑原结构在荷载和结点位移作用下产生的内力，再根据平衡条件建立位移法结点位移作用下产生的内力，再根据平衡条件建立位移法方程，求出未知位移，然后再计算出杆端弯矩，最后用分方程，求出未知位移，然后再计算出杆端弯矩，最后用分段叠加法绘制整个结构的段叠加法绘制整个结构的弯矩图弯矩图。二、位移法方程及解题步骤二、位移法方程及解题步骤 用位移法求解时需建立位移法方程，根据分析的对用位移法求解时需建立位移法方程，根据分析的对象不同，建立方程有两种方法象不同，建立方程有两种方法转角位移方程法转角位移

2、方程法和和基基本体系法本体系法。 转角位移方程法是直接利用平衡条件来建立位移法转角位移方程法是直接利用平衡条件来建立位移法典型方程的方法。典型方程的方法。 ( (1) 利用转角位移方程和位移协调条件，写出用结点位利用转角位移方程和位移协调条件，写出用结点位移表示的各杆的杆端弯矩表达式；移表示的各杆的杆端弯矩表达式； 1. 转角位移方程法转角位移方程法第八章第八章 位移法位移法总结总结(4)(4)将结点位移代入杆端力方程从而求出杆端内力。将结点位移代入杆端力方程从而求出杆端内力。 (2) 利用与位移相应的隔离体的平衡条件建立平衡方程；利用与位移相应的隔离体的平衡条件建立平衡方程；(3) 解方程求

3、出结点位移解方程求出结点位移； 2.2.基本体系基本体系法法 基本体系法是利用附加约束的基本原理建立位移法典基本体系法是利用附加约束的基本原理建立位移法典型方程。型方程。 (1) 确定基本未知量。将原结构有角位移和线位移的确定基本未知量。将原结构有角位移和线位移的结点分别加上阻止转动的刚臂和阻止移动的支座链杆，附结点分别加上阻止转动的刚臂和阻止移动的支座链杆，附加刚臂和附加支座链杆数之和即为位移法的基本未知量；加刚臂和附加支座链杆数之和即为位移法的基本未知量； (2) 由附加约束上约束力为零的条件，建立位移法方程由附加约束上约束力为零的条件，建立位移法方程 kij j+ +Fi p=0 (=0

4、 (i,j=1,2,n) )； (3) 在基本结构上分别绘制在各附加约束分别产生单在基本结构上分别绘制在各附加约束分别产生单位位移位位移j =1下的弯矩图下的弯矩图 及荷载作用下的弯矩图及荷载作用下的弯矩图MPjM 步骤：步骤：第八章第八章 位移法位移法总结总结由平衡条件求出系数由平衡条件求出系数kij和自由项和自由项Fi P；pMMMMMnn2211 注意：一切计注意：一切计算都是在基本结构上算都是在基本结构上进行进行! !三、几个值得注意的问题三、几个值得注意的问题 (4) 从材料性质看，只能用于弹性材料。从材料性质看，只能用于弹性材料。1. 位移法的适用条件位移法的适用条件 (1) 位移

5、法既可以求解超静定结构，也可以求解静定位移法既可以求解超静定结构，也可以求解静定结构；结构； (2) 既可以考虑弯曲变形，也可以考虑轴向和剪切变既可以考虑弯曲变形，也可以考虑轴向和剪切变形；形； (3) 可以用于梁、刚架、桁架、拱、组合结构等各种可以用于梁、刚架、桁架、拱、组合结构等各种类型的结构；类型的结构；(5) 按叠加原理计算杆端弯矩。按叠加原理计算杆端弯矩。 (4) 解方程求解方程求j；第八章第八章 位移法位移法总结总结 位移法的基本未知量的数目等于独立结点角位移数位移法的基本未知量的数目等于独立结点角位移数加上独立结点线位移数。加上独立结点线位移数。2 2、位移法基本未知量的选取原则

6、、位移法基本未知量的选取原则 (1) 独立的结点角位移数目的确定：独立的结点角位移数目的确定：为使结点不发生为使结点不发生角位移，需要在结点施加附加刚臂，角位移，需要在结点施加附加刚臂，附加刚臂数附加刚臂数等于全等于全部刚结点和半铰结点的结点转角数目。部刚结点和半铰结点的结点转角数目。但需注意：铰结但需注意：铰结点的角位移不作为基本未知量。点的角位移不作为基本未知量。例如图例如图a中中，A为刚结点，为刚结点，B为半铰结点，故有两个独立角位移；而图为半铰结点，故有两个独立角位移；而图b中中B为刚结为刚结点，点，A为铰结点，故只取为铰结点，故只取B 点转角为独立角位移。点转角为独立角位移。 (a)

7、ABCABC(b)第八章第八章 位移法位移法总结总结 与刚度无穷大的杆相连的刚结点的转角是否取为基与刚度无穷大的杆相连的刚结点的转角是否取为基本未知量，应根据具体情况区别对待。图本未知量，应根据具体情况区别对待。图a中中AB杆刚度杆刚度无穷大，无穷大， A= B=0 ，因此基本未知量只有一个线位移，因此基本未知量只有一个线位移 ；而图而图b中有一个角位移未知量。中有一个角位移未知量。EI=(a)BA(b)EI=EIEI第八章第八章 位移法位移法总结总结 (2) 独立的结点线位移的确定独立的结点线位移的确定较复杂，基本可以较复杂，基本可以根据以下原则确定：根据以下原则确定： 附加链杆法。附加链杆

8、法。在结点施加附加链杆，使其不在结点施加附加链杆，使其不发生线位移，则附加链杆数即为独立结点线位移数。发生线位移，则附加链杆数即为独立结点线位移数。应用此法时应用此法时应注意应注意，自由端、滑动支承端或滚轴支承，自由端、滑动支承端或滚轴支承端的与杆轴垂直方向的线位移不作为基本未知量。端的与杆轴垂直方向的线位移不作为基本未知量。 铰化法。铰化法。将刚架中的刚结点（包括固定端）将刚架中的刚结点（包括固定端）变成铰结点，成为铰接体系，其自由度数即为独立变成铰结点，成为铰接体系，其自由度数即为独立线位移数。线位移数。第八章第八章 位移法位移法总结总结 如，忽略轴向变形的情况下，当竖柱平行时，如，忽略轴

9、向变形的情况下，当竖柱平行时，无论梁是水平的还是倾斜的，梁都产生平动，因而无论梁是水平的还是倾斜的，梁都产生平动，因而各柱顶有相同的水平线位移。图各柱顶有相同的水平线位移。图a中中A、C 点的水平点的水平位移相同，结构只有一个位移未知量位移相同，结构只有一个位移未知量。A(a)C第八章第八章 位移法位移法总结总结aABCDaBFFaFa(a)(b)3. 静定部分的处理静定部分的处理 例如，图例如，图a中中AB为静定部分，很容易画出该部为静定部分，很容易画出该部分的弯矩图，将分的弯矩图，将MBA=Fa 反作用于反作用于B点，再计算点，再计算B点点以右部分即可（图以右部分即可（图b）。）。第八章第

10、八章 位移法位移法总结总结 如图如图a所示，所示，可把与悬臂部分相连的杆件可把与悬臂部分相连的杆件BA看看作是在作是在A端铰接端铰接B端固定的单跨超静定梁（图端固定的单跨超静定梁（图b）。）。4. 半铰悬臂的情况半铰悬臂的情况DCFAEIBalFlAEIBFa(a)(b)A第八章第八章 位移法位移法总结总结 CBA DBB 图示结构，计算时常易出错之处是误认为基本未知图示结构，计算时常易出错之处是误认为基本未知量只有一个量只有一个 B B 。实际上。实际上B结点处，梁端与柱端转角均不结点处，梁端与柱端转角均不同，同，C支杆由于弹性也可水平向移动，故基本未知量应为支杆由于弹性也可水平向移动，故基

11、本未知量应为 B、 B及及C。5. 当有弹性支座和弹性刚结点时，基本未知量的确定当有弹性支座和弹性刚结点时，基本未知量的确定第八章第八章 位移法位移法总结总结 如图，将如图，将BD杆分为杆分为BC和和CD两根杆件，则本题有三个两根杆件，则本题有三个未知量未知量 B， C ，C。ABDCEIEIEI26. 一根直杆的刚度不同时一根直杆的刚度不同时, , 位移基本未知量的位移基本未知量的确定确定第八章第八章 位移法位移法总结总结例：例：作图作图a所示结构弯矩图，各杆所示结构弯矩图，各杆EI= =常数。常数。(a)EDHFCBA(b)FGABCFll/2ll/2l/2D 7. 有的超静定结构也有基本

12、部分和附属部分有的超静定结构也有基本部分和附属部分, ,求解时求解时先解附属部分先解附属部分, ,再解基本部分再解基本部分 解：解：本题中刚架本题中刚架ECFHG是基本部分是基本部分，CBA是附属部是附属部分。首先求附属部分：由于分。首先求附属部分：由于C点无水平和竖向线位移，故点无水平和竖向线位移，故可将可将CBA化为图化为图b的结构，用位移法计算，弯矩图如图的结构，用位移法计算，弯矩图如图c所所示。示。11 /563 /283 /56M11 /563 /283 /56(c)FFFFFFFABCABDCD(d)EFG第八章第八章 位移法位移法总结总结 再求基本部分：将附属部分的再求基本部分：

13、将附属部分的C点支座反力反作点支座反力反作用于基本部分。用于基本部分。最后的最后的M图如图图如图d d所示。所示。11 /563 /283 /56M11 /563 /283 /56(c)FFFFFFFABCABDCD(d)EFG思考：思考：为什么基本部分各杆的弯矩为零？为什么基本部分各杆的弯矩为零？第八章第八章 位移法位移法总结总结8. 斜刚架的计算。斜刚架的计算。例：例：作图作图a所示斜刚架的所示斜刚架的M图。图。F1PF2PFBAClll/EI(a)(b)FMP(c)kM122 EIBACBM2 EI/l EI/l2 k45(e)BBBB2(f)kABC(d)BCC6612 EI/l2 2

14、11312=12 222BC1k6i4i2i 解：解：本题有两个未知量，本题有两个未知量，B点的转角点的转角1和和C点的侧移点的侧移2，两个附加约束如图两个附加约束如图b所示所示，由，由M1图和图和MP图易得图易得 F1P=0, , F2P=- -F, , k11=10i计算计算 k12， k22:第八章第八章 位移法位移法总结总结1111F1PF2PFBAClll/EI(a)(b)FMP(c)2i4i6ikkM122 EIBACM EI/l EI/l45(e)(f)AB(d)C6612 EI/l2 212= 12 22C12 k12k2 231BBBBBC2C1BB (1) 求求B和和2 之

15、间的几何关系。之间的几何关系。取取BC杆研究（图杆研究（图e），发生侧移后，），发生侧移后，B点移至点移至B1 ，C点移至点移至C1。 B在在BC杆杆上的水平投影为上的水平投影为BB2= B cos45。 仅从水平方向观察可以看出仅从水平方向观察可以看出BC杆由原来的位置平移至杆由原来的位置平移至B2C1的位置，由于杆件不伸长，因此有的位置，由于杆件不伸长，因此有BB2=CC1 即即 又由于又由于 BB3是是BB1在垂直在垂直BC杆方向的投影，因此杆方向的投影，因此 B cos45= 2BB3= B sin45= 2 当当C点有水平向右的侧移点有水平向右的侧移2时，时，B点将沿垂直于点将沿垂直

16、于AB杆的方向运动杆的方向运动（图（图d），其中其中2和和B之间具有一定的几之间具有一定的几何关系。何关系。 第八章第八章 位移法位移法总结总结 F1PF2PFBAClll/EI(a)(b)FMP(c)2i4i6ikkM122 EIBACBM EI/l EI/l2 k45(e)BBBB2(f)kABC(d)BCC6612 EI/l2 211312= 12 222BC122221223lEIlEIMBC而而AB杆两端的相对侧移为杆两端的相对侧移为BB3，因此，因此 226226lEIlEIMBBA (2) 作作M2图。图。由以上叙述可知由以上叙述可知BC 杆两端有相对侧移杆两端有相对侧移BB3

17、，因此在图因此在图f中中F1PF2PFBAClll/EI(a)(b)FMP(c)2i4i6ikkM122 EIBACM EI/l EI/l45(e)(f)AB(d)C6612 EI/l2 212=12 22C12 k12k2 231BBBBBC2C1BB第八章第八章 位移法位移法总结总结(3) 求求 k21=k12，k22。由。由M2图易得图易得 221126lEIkk6 EI/ lF(g)3kCEI/l2 6EI/l2 122N22 0CM，能求出轴力，能求出轴力FN。求求k22时取图时取图f中的中的BC 杆为隔离体（图杆为隔离体（图g），由），由 0 xF32236lEIk再由再由 求出求

18、出 F1PF2PFBAClll/EI(a)(b)FMP(c)2i4i6ikkM122 EIBACBM EI/l EI/l2 k45(e)BBBB2(f)kABC(d)BCC6612 EI/l2 211312= 12 222BC12第八章第八章 位移法位移法总结总结将系数带入位移法方程解得将系数带入位移法方程解得EIFlEIFl1625,543221最后弯矩图如图最后弯矩图如图h所示。所示。 本题在求解斜杆时应注意以下几点：本题在求解斜杆时应注意以下几点： M(h)29图Fl/7Fl/27第八章第八章 位移法位移法总结总结 由于刚架是斜的，由于刚架是斜的，BC杆不仅发生平动，还有杆不仅发生平动，

19、还有一定的转动，因此一定的转动，因此BC杆两端有相对线位移。杆两端有相对线位移。 求求FN时，对时，对C点取矩，不应漏掉刚臂上的力，点取矩，不应漏掉刚臂上的力，因为只有加上该力，隔离体才可保持平衡。因为只有加上该力，隔离体才可保持平衡。 计算计算M2时，由于剪力和轴力都是倾斜的，因时，由于剪力和轴力都是倾斜的，因此建立平衡方程时两者都要考虑。此建立平衡方程时两者都要考虑。 第八章第八章 位移法位移法总结总结例：例：图图a 所示结构，所示结构，EI= =常数，求结点常数，求结点K的转角。的转角。四、对称性的利用四、对称性的利用Kaaaa(a)qqq(b)nmEDCBAqFK解：解：（1）作作M图

20、图 此结构沿此结构沿45角斜线角斜线mn 对称，过对称，过C点的点的45方向斜线方向斜线mn, 为此结构的对称轴（为此结构的对称轴（图图b），结点，结点C的转角为零。取半的转角为零。取半个结构如图个结构如图c c所示。所示。qFCq/2KFFK(d)(e)q/2m(c)Kn第八章第八章 位移法位移法总结总结 再将图再将图c c荷载分解为为正对称与反对称的叠加，取半荷载分解为为正对称与反对称的叠加，取半结够如图结够如图d d（正对称（正对称 ）、图）、图e(e(反对称）所示。由叠加得：反对称）所示。由叠加得：24212122qaaqMKF（上拉）（上拉）2224852812121qaaqaqMF

21、K（上拉）（上拉）（左拉）（左拉） 482812121222qaaqaqMCK（右拉）（右拉） 242qaMKCqKFmnC(c)q/2(d)(e)q/2KFKF第八章第八章 位移法位移法总结总结 结构结构M图图如如图图f所示。所示。qaKFm=1242(f)(g)qa242qa4825qa4825qa482第八章第八章 位移法位移法总结总结 2. 求求K截面的转角截面的转角取图取图g所示的静定结构，在所示的静定结构，在K处加单位力作处加单位力作 图。图。 1M EIqaaqaqaaqaEIK96) 1214851212413281(13222（ ） qaqaqaKm=15qa48482424

22、2225qa4822(f)(h)F11另：另：取图取图h所示的静定结构，图乘时则更简便。所示的静定结构，图乘时则更简便。qaKFm=1242(f)(g)qa242qa4825qa4825qa482第八章第八章 位移法位移法总结总结例例: :用位移法作图用位移法作图a 所示单跨梁弯矩图，所示单跨梁弯矩图，k=i =EIl。k11 _M i(c) =1k图2(d)1/321/833iM ql ( )111k11 解解：基本结构如图：基本结构如图b所示，基本未知量为所示，基本未知量为A端角位移。端角位移。将系数将系数 k11=3i+i=4i，2P181qlR, ,代入位移法方程代入位移法方程 (a)(b)lEIABMP82ql /R1Pkqq五、弹性支撑超静定结构的计算五、弹性支撑超静定结构的计算第八章第八章 位移法位移法总结总结0P1111 Rk得得 iql3221按叠加原理按叠加原理 P11MMM作出弯矩图，如图作出弯矩图，如图d所示。所示。 第八章第八章 位移法位移法总结总结六、用位移法求超静定结构的位移六、用位移法求超静定结构的位移 例：例：图图a 所示单跨梁，左端发生角位移所示单跨梁，左端发生角位移 ，求梁中点，求梁中点竖向位移（向下为正）。竖向位移（向下为正）。i(c)FM(b)l/MP(a)Al/CEIBi4