求二面角方法——1定义法

1、_二面角 1 定义法二面角二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大， 一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式（设二面角的度S射影三角形求出二面角的大小。数为 ，则 cos，多用于求无棱二面角）S侧面三角形求二面角的大小的基本方法为先证后算,即先由有关立几结论找出二面角的平面角 (大多数题是用三垂线法去找),然后借助于解三角形求出平面角.现将二面角大小的求法归类分

2、析如下：定义法 ：利用二面角的平面角定义，在二面角棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角.用定义法时，要认真观察图形的特性A1.如图，四面体ABCD 的棱BD 长为 2 ，其余各棱的长均是2 ，求：二面角A BD C 、B AC BD精品资料C_D 的大小解析：(1) 取 BD 的中点 O，连 AO 、OC在 ABD 中，AB AD 2 ，BD 2，BABD 是等腰直角三角形，AO BD ，同理 OCBDAEODC AOC 是二面角A BD C 的平面角。又 AO OC1，AC 2 ， AOC 90°即二面角 A BD C 为直二面

3、角。(2) 取 AC 的中点 E，连 BE 、DE ABBC ，AD DC ，BD AC，DEAC ，精品资料_ BED 就是二面角的平面角在 BDE 中， BEDE 6 ，2由余弦定理，得1cos32.在四棱锥 P ABCD 中， ABCD 是正方形， PA 平面 ABCD ， PA AB a ，求二面角B PC D 的大小。PADBCP解：PAABPAADPB=PD ，AB=AD =aHPBPDADBCDCPBDPDCPCPCBC过 B 作 BHPC 于 H，连结 DH精品资料_使 DHPC，故 BHD 为二面角 BPC D 的平面角。因 PB2a ,BC a ,PC 3a ,1 PB &

4、#183;BC S PBC 1 PC ·BH，则 BH a DH223又 BD2a ，在 BHD 中由余弦定理，得：cos BHD 226 a6 a2BH 2DH 2BD 22a3312BH BD26 a26 a33又 0 BHD ，则 BHD 2，二面角 B PC D 的大小是 2333.三棱锥 A BCD 中，BAC BCD 90 °，DBC 30 °，AB AC AD 4，求二面角A BC D 的度数。ABD解：由已知条件BAC 90°， AB AC ，设 BC 的中点设为O，则 OA OC 3。6 ，C精品资料_BC2 3ADCBC tan 30

5、02 3323AD2AO 2OC 2CD 22AOOCCD cosB解之得：D1cos2 1504.如图 AC 面 BCD ，BD 面 ACD ，若 AC CD 1，ABC 30 °，求二面角C ABD 的大小。ADCB精品资料_解： cos33即所求角的大小为arccos3 。3（此题也可用垂线法）练习：1.已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB DC ，DAB90 , PA底面 ABCD ，且 PA=AD=DC=1 AB=1 ，M2是 PB 的中点。（）证明：面 PAD 面PCD ；（）求 AC 与 PB 所成的角；（）求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小。方案一：

6、（）证明：PA 面ABCD ，CD AD ，由三垂线定理得： CD PD.因而， CD 与面 PAD 内两条相交直线AD ， PD 都垂直，CD 面PAD.又 CD 面 PCD ，面 PAD 面PCD.（）解：过点 B 作 BE/CA ，且 BE=CA ，精品资料_则PBE 是 AC 与 PB 所成的角 .连结 AE ，可知 AC=CB=BE=AE=2 ，又 AB=2 ，所以四边形ACBE 为正方形 .由 PA 面ABCD 得PEB=90 °在 Rt PEB 中 BE=2 ，PB=5 ，cos PBEBE10 .PB510AC与 PB所成的角为arccos.（）解：作AN CM ，垂

7、足为N ，连结 BN.在 Rt PAB 中， AM=MB ，又 AC=CB ，AMC BMC,BN CM ，故ANB 为所求二面角的平面角.CB AC ，由三垂线定理，得CB PC ，在 Rt PCB 中， CM=MB ，所以 CM=AM.在等腰三角形AMC 中， AN ·MC= CM 2(AC)2 AC ，2322AN6AB=2，.5 52AN 2BN 2AB 22cos ANBANBN322故所求的二面角为arccos().精品资料_方法二：因为PA PD ， PA AB ，AD AB ，以 A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（ 0，0， 0

8、）B（ 0，2， 0），C（ 1，1，0），D（ 1，0，0），P（ 0，0，1），M（0，1， 1) .2（）证明：因 AP(0,0,1), DC(0,1,0), 故 AP DC0, 所以 APDC.由题设知AD DC ，且 AP 与 AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC 面PAD.又 DC 在面 PCD 上，故面 PAD 面PCD.（）解：因 AC(1,1,0), PB(0,2,1),故|AC|2,| PB | 5, ACPB2, 所以cos AC, PBAC PB10 .|AC| |PB|5（）解：在 MC 上取一点 N（ x，y， z），则存在R, 使 NCMC,NC (1x,1y, z), MC(1,0,1),x1, y1, z1 .22要使 ANMC ,只需 ANMC0即 x1 z0,解得4 .25可知当4时 , N点坐标为 ( 1 ,1,2 ),能使 AN MC0.555此时,AN(1 ,1, 2), BN( 1 ,1,2), 有BNMC05555由AN MC 0,BN MC0得 ANMC, BNMC .所以ANB为