湖南大学微积分08-第8讲无穷小量课件

1、高等院校非数学类本科数学课程第三章 函数的极限与连续性本章学习要求： 了解函数极限的概念，知道运用“”和 “X ”语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数

2、的性质（介值定理、最值定理）。 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。第三章 函数的极限与连续性第二节 无穷小量、无穷大量一.无穷小量及其运算性质二. 无穷大量 简言之, 在某极限过程中, 以 0 为极限的量称该极限过程中的一个无穷小量.例1 . , 0 0,lim ) 1 (220是一个无穷小量时 xxxx . sin , 0 0,sinlim )2(0是一个无穷小量时xxxx . 1 , 0,1lim )3(是一个无穷小量时xxxx . cos , 2 0,coslim )4(2是一个无穷小量时xxxx 0,0 lim )5(在任何一个极限过程中, 常值函数 y = 0 均为无穷小

3、量. , )0( 0 , 0使当若X , )| ( | 0 0时Xxxx | )(|xf , )( )( ,0时当则称成立xxxxf . 为无穷小量分析 , | 0 , 0 , )(lim 00时当则若xxaxfxx , |0)( | |)(|axfaxf . )( , 0是一个无穷小量时即当axfxx , )( 0)( , )()( 0且则令xxxaxfx . )( )()(0 xxxaxf反之亦然. 由以上的分析, 你可得出 什么结论 ? 由此可看出, 寻找函数极限运算法则可归结为寻找无穷小量的运算法则. )(lim)(0axfxxx, )()(xaxf . )( , ( 0)( , 0

4、xxxx其中 同一个极限过程中的有限个无穷小量之和仍是一个无穷小量. 同一个极限过程中的有限个无穷小量之积仍为无穷小量. 常数与无穷小量之积仍为无穷小量. 在某极限过程中, 以极限不为零的函数除无穷小量所得到商仍为一个无穷小量. 在某一极限过程中, 无穷小量与有界量之积仍是一个无穷小量.证明：在某极限过程中, 两个无穷小量之 和仍是一个无穷小量.证 , , 0则时的两个无穷小量为设xx , 0, 2 | , | 0 , 0101时当xx, 2 | , | 0 , 0202时当xx , | 0 , ,min 021有时则当取xx , 22 | | . , 0是一个无穷小量时即 xx 证明: 在某

5、一极限过程中, 无穷小量与 有界量的积仍是一个无穷小量.证 , 0 0 , )( 10和即时的有界量是设Mxxxf . | )(| , ),U( 10Mxfxx时使当 , 0 , 0 , )( 0)( 20使当则又设xxx . | )(| , | 020Mxxx时 , | 0 ,min 021时则当令xxMMxxfxxf | )(| )(| | )()(| . )()( , 0为无穷小量时故当xxfxx例2证0sin1limxxx证明) ( , 01 lim 无穷小量因为xx) ( , ),( 1 |sin|有界量xx . 0sin1lim xxx故有界量与无穷小量的乘积证明：在某极限过程中以

6、极限不为零的函数 除无穷小量所得到商仍为一个无穷小量.证 . )( 0)( ; 0 , )(lim 00 xxxaaxfxx设 , | 0 , 0 ,2| 000有时当则取xxa , 2| |)(|aaxf , ),U( |2 )(1 2| | )(| 00 xxaxfaxfa故 . )(1 , 0有界时即xfxx . 0)()(lim 0 xfxxx故(i) 一般说来,有界量的倒数不一定有界. 例如, f (x) = x, x(0, 1).(ii) 我们没有涉及两个无穷小量商的极限的 情形,因为它的情形较复杂,将在以后专 门讨论.： . ,3 , , , 0 ,223223的情况时可观察例如

7、xxxxxxx 例3. 4lim 230 xxx求解 ) ( , 0lim 30无穷小量由于xx ) ( , 4)4(lim20极限不为零xx . 04lim 230 xxx故 , | , 0 , 0有时当若XxXMMxf | )(| , )( ,记为时的无穷大量为则称成立xxf. )( )( )(limxxfxfx或 . )(lim ,)( 称为正无穷大量则换成xfMxfx . )(lim ,)( 称为负穷大量则换成xfMxfx例4, (i)2xy ,ln (iii)xy .lim2xx,lnlim0 xx.lnlimxx,tan (iv)xy ,tanlim2xx.tanlim2xx, (

8、ii)3xy .lim3xx(iii), (iv) 自己画画图会更清楚.例5 ? )2( , 是否为无穷大量时当nnxn解有时则当取 , , log 2NnMNMn |)2( | . )2(limlim nnnnx故 , 0M 2 |)2( | | Mxnnn要 , log2Mn 无穷大量是按绝对值定义的.例6无穷大量是否一定是无界量 ?在某极限过程中,无界量是否一定是无穷大量 ? . 2) 1( , , 0 ,2 , 0 , , 4 , 0 , 2 , 0 : ,nnxnxnnn例如 0 , , 的项使总有等于时当取多么大不论NnN |Mxn . , ,不是无穷大量时故当不成立nxn但该数列

9、是无界的. 当 x 时, 函数 sinx、cosx, 是否为无穷大量 ？因为sinx、cosx 是有界函数, 所以在任何极限过程中它们都不是无穷大量. ( 无穷大量的倒数为无穷小量, x 0 )( 无穷小量的倒数为无穷大量, x 0 )则例7 . 0 ),( , 1)( xxxxf且设. 01lim ) 1 (xx.1lim )2(0 xx在某一极限过程中 请自己根据定义自已进行证明. , 0)( )( xfxf是一个无穷大量且若 . )(1 为无穷小量则xf , 0)( )( xfxf是一个无穷小量且若 . )(1 为无穷大量则xf ,)(lim xf若无穷大量一定是同一极限过程中的无界量.

10、反之不真反之不真 . | )(|lim xf则在某极限过程中,两个无穷大量之积仍是一个无穷大量.在某极限过程中, 无穷大量与有界量之和仍为无穷大量. , 0 , , 0 , 0 :nnyx , 8 , 6 , 4 , 2 :nnyx ,) 1( , , 4 , 3 2, , 1 :nxnn ,) 1( , , 4 , 3 2, , 1 :1nynn此时时显然 . , , ,nnyxn例8两个无穷大量的和是否仍为无穷大量?考察考察例9有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？ 不着急, 看个例题: , )( )(1xxxf 1, 1 | )(| , ) 1 | ( 2xxgxx时不妨设当 . )( 011)()( 21xxxxxgxf而 , )( )(32xxxf . )( 1)()(232xxxxxgxf例9有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？ 不着急, 看个例题: , )( )(1xxxf 1, 1 | )(|