第八章 组合变形

1、第第8 8章章 组合变形组合变形 8.1 8.1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理8.2 8.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合8.4 8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合8.3 8.3 偏心压缩和截面核心偏心压缩和截面核心FaM FF N这类由两种或两种以上基本变形组合的情况，称为这类由两种或两种以上基本变形组合的情况，称为组合变形组合变形。 FFN M mmMF压缩和弯曲的组合压缩和弯曲的组合 FeFyyZx弯曲和弯曲的组合弯曲和弯曲的组合 偏心压缩偏心压缩 F yF zFrBFBMBFrCFCMCFrBFBFrCFC扭转和弯曲的组合变形扭转和弯曲的组合变形 分析

2、组合变形时，可先将外力进行简化或分解，把分析组合变形时，可先将外力进行简化或分解，把构件上的外力转化成几组静力等效的载荷，其中每一组构件上的外力转化成几组静力等效的载荷，其中每一组载荷对应一种基本变形。载荷对应一种基本变形。这样，可分别计算每一种基本变形各自引起的应力、这样，可分别计算每一种基本变形各自引起的应力、内力、应变和位移，然后将所得结果叠加，便是构件在内力、应变和位移，然后将所得结果叠加，便是构件在组合变形下的应力、内力、应变和位移，这就是叠加原组合变形下的应力、内力、应变和位移，这就是叠加原理。理。应用叠加原理的条件：应用叠加原理的条件： 1. 1. 应力、内力、应变和位移与外力成

3、线性关系。应力、内力、应变和位移与外力成线性关系。 2. 2. 小变形。小变形。 F1F2拉伸：拉伸： 1NFF AFAF1N弯曲：弯曲： xlFM2zIMy +=zIMyAF N由叠加原理，得由叠加原理，得 强度条件强度条件 tNmax, tzIMyAFcNmax,cAFIMyz例：例：简易吊车，简易吊车，F=20kN，AB为工字钢梁，为工字钢梁， =100MPa，试，试选择工字钢梁的型号。选择工字钢梁的型号。 F 解：解：取取AB梁为研究对象。梁为研究对象。 0330sin21FFkN6031 FF363cm200Pa10100Nm1020kN30kN5211yxFF作轴力图和弯矩图。作轴

4、力图和弯矩图。 初选（暂不考虑轴力）：初选（暂不考虑轴力）： maxMWz- -52kN - -20kNm 0AMFF1FAxFAyF1xF1y查型钢表，选取查型钢表，选取 20a 号工字钢，查得号工字钢，查得 23cm578.35cm237AWz再进行强度校核再进行强度校核 zWMAFmaxNmax363243m10237mN1020m10578.35N1052 MPa99所以，初选所以，初选 20a 工字钢适用，无需重选。工字钢适用，无需重选。 例：例：压力机机架压力机机架, F = 1250kN, =100MPa, =140MPa, 试校核机架立柱试校核机架立柱 部分的强度。部分的强度。

5、 tc解：解：1.1. 求偏心距求偏心距 e ： 2cm)675 . 9755 .17(A2cm676cm5 .66cm)5 .3630(e2. 2. 计算惯性矩计算惯性矩 Iz 423cm755 .175 .365 .3712755 .17zI 3249.5 6733.531.59.5 67cm1245cm103.763. 3. 计算内力计算内力 kN1250N FFkN1250m105 .662 eFMmkN8314.4.强度校核强度校核 zIMyAF1Nmax, tPa1076. 3105 .36108311067610125032343tMPa1 .99AFIMyzN2max, cPa

6、106761012501076. 3105 .381083143323cMPa6 .66所以，立柱部分满足强度条件。所以，立柱部分满足强度条件。 压力与轴线平行但不与轴线重合时，即为压力与轴线平行但不与轴线重合时，即为偏心压缩偏心压缩。 FzFyM FFzMy横截面上任一点横截面上任一点 B ),(zyBAFzFzzIyFyIyM yFyyIzFzIzM ByzyzB点的应力为点的应力为 yFzFIzFzIyFyAF2zzAiI 221yFzFizziyyAF确定中性轴的位置。若中性轴上各点坐标为确定中性轴的位置。若中性轴上各点坐标为 y0，z0，则，则 012020yFzFizziyyAF1

7、2020yFzFizziyy或或 2yyAiI 12020yFzFizziyy这是一个直线方程。即中性轴方程。这是一个直线方程。即中性轴方程。 令令 yayz00, 0则则 Fzyyia2令令 0,00yazz则则 Fyzzia2若压力若压力F逐渐靠近形心，则中性轴逐渐远离形心。当中性逐渐靠近形心，则中性轴逐渐远离形心。当中性轴与边缘相切时，整个截面上就只有一种压应力。轴与边缘相切时，整个截面上就只有一种压应力。（偏心拉、压问题的）（偏心拉、压问题的）截面核心：截面核心：002210FFzyyzy yz ziiyzaa轴、 轴为、 ，则若若中中性性在在上上的的截截距距210Fyzyai210F

8、zyzai中中性性轴轴ayaz截面核心截面核心 当偏心距较小时，横截面上可能不出现压应当偏心距较小时，横截面上可能不出现压应力或拉应力，中性轴就不穿过截面。力或拉应力，中性轴就不穿过截面。()FFF y ,z保证中性轴不穿过截面的外力作用区域称为截面核心。保证中性轴不穿过截面的外力作用区域称为截面核心。由此可求得由此可求得F力的一个作用点力的一个作用点(yF ， zF)当外力作用在截面核心的边界上时，与此对应的中性当外力作用在截面核心的边界上时，与此对应的中性轴正好与截面相切。据此可确定核心边界。轴正好与截面相切。据此可确定核心边界。bhyzx例：例：h=200mm, b=100mm, F=2

9、0kN, 试计算最大正应力。试计算最大正应力。My Mz2bFMy2hFMzzzyyWMWMAFmax2266bhMhbMbhFzybhFbhFbhF33MPa7解：解： 最大正应力最大正应力 bhF7)m1 . 0)(m2 . 0(N102073F bhyzF x23 . 02 . 06503503 . 02 . 0350000例：例：图示不等截面与等截面杆，受力图示不等截面与等截面杆，受力P=350kN, 试分别求试分别求出两柱内的绝对值最大正应力。出两柱内的绝对值最大正应力。Pa2 . 02 . 0350000max2AP11max1zWMAPMPa7 .11解：解：两柱均为两柱均为压应

10、力压应力MPa75. 8例：例：简支梁由简支梁由28a号工字钢制成，已知号工字钢制成，已知F=25kN，l=4m， =15， =170MPa，试按正应力强度条件校核此梁。，试按正应力强度条件校核此梁。 Fl/2l/2FACBMz24.1kNmMy6.47kNm解：解：kN1 .24cosFFykN47. 6sinFFz最大弯矩最大弯矩 mkN1 .2441max,lFMyzmkN47. 641max,lFMzy查型钢表，得查型钢表，得 33cm6 .56cm508yzWWC截面为危险截面。截面为危险截面。FzFy所以所以 yyzzWMWMmax,max,max363363m106 .56mN1

11、047. 6m10508mN101 .24Pa103 .1144 .476MPa7 .161 梁满足强度条件。梁满足强度条件。 zzWMmax,max363m10508mN1025Pa102 .496MPa2 .49如如 =0，即，即 F 沿沿 y 轴方向，则轴方向，则 可见，对于工字形这样窄而高的截面梁，如外力稍有一可见，对于工字形这样窄而高的截面梁，如外力稍有一点偏斜，就会使梁的最大正应力显著增大。点偏斜，就会使梁的最大正应力显著增大。例：例：矩形截面木梁，跨长矩形截面木梁，跨长l=3m，h=2b，受集度，受集度 q=700N/m的均布力作用，的均布力作用，=10MPa, 容许挠度容许挠度

12、f=l/200, E=10GPa,试选择截面尺寸并校核刚度。试选择截面尺寸并校核刚度。bhzy 26lqqqzqyN/m307438. 0700sinqqz解：解：N/m629899. 0700cosqqyNm4 .34583307822lqMzyNm6 .70783629822lqMyz危险截面上弯矩为危险截面上弯矩为显然，跨中为危险截面显然，跨中为危险截面确定截面尺寸确定截面尺寸2)2(366322maxbMMhbMbhMWMWMyzyzyyzzmm4 .59m10102)4 .34526 .707(3 2)2(3363yzMMb校核刚度校核刚度2242max2maxmax)()(3845

13、yzzyzyIqIqElfffmm8 .1182 bhm105 . 1200m1044. 122lf 截面核心 土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不允许横截面上出现拉应力。这就要求偏心压力只能作用在横截面形心附近的某个范围内；这个范围称之为截面核心（core of section）。 要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力，那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时偏心压力作用点的位置来确定的。 图中所示任意形状的截面，y轴和z轴为其心主惯性轴。为确定截面核心的边界(图中的封

14、闭曲线1-2-3-4-5-1)，可作一系列与截面周边相切和外接的直线把它们视为中性轴。Fzyyia2Fyzzia2得出每一与圆边相切或外接的直线（中性轴）所对应的偏心压力作用点的位置，亦即截面核心边界上相应点的坐yFi,zFiyizFiaiy2ziyFiaiz2 根据这些直线中每一直线在y轴和z 轴上的截距ayi和azi即可由前面已讲过的中性轴在形心主惯性轴截距的计算公式连接这些点所得封闭曲线其包围的范围就是截面核心。应该注意的是，截面核心的每一边界点与对应的截面周边上的切线和外接的直线（中性轴）总是位于截面形心的相对两侧。例：例：确定圆截面的截面核心：确定圆截面的截面核心： 圆截面对圆心（形

15、心）O是极对称的，因而其截面核心的边界必然也是一个圆心为O的圆。作一条如图所示与截面周边相切的直线，它在形心主惯性轴y和z上的截距为11, 2/zyada而对于圆截面有164/64/22422dddAIAIiizyzy从而82/16/2121dddaiyyzF0121zyFaiz这就是截面核心边界上点1的坐标。以O为圆心，以d /8为半径所作的圆其包围的范围就是圆形截面的截面核心。xzyF1F2ACB0.5m0.5m例：例：F1=1kN，F2=2kN 解：显然，固定端弯矩最大。最大弯矩为解：显然，固定端弯矩最大。最大弯矩为 mkN12/2lFMy各点应力为各点应力为 yyzzaWMWMmkN1

16、1lFMzMPa3 .70Pa109 .464 .23622m04. 0m08. 0mN10006m08. 0m04. 0mN10006危险截面上危险截面上 max, cmax, t,dcba,2.2. 求：求：1.40dcab80zy yyzzdWMWMyyzzcWMWMyyzzbWMWM所以所以 MPa3 .70max, taA 截面上的截面上的 a 点。点。 MPa3 .70max, ccA 截面上的截面上的 c 点。点。 MPa5 .23Pa109 .464 .236MPa3 .70Pa109 .464 .236MPa5 .23Pa109 .464 .236ACBF MFl - -T

17、Fa - -AB段任一截面段任一截面mm上的内力上的内力 )()(xlFxMFaxT)(作弯矩图和扭矩图。作弯矩图和扭矩图。 FaTFlM可知可知 A截面为危险截面，其截面为危险截面，其上弯矩和扭矩上弯矩和扭矩( (取绝对值取绝对值) )为为 A截面上、下缘两点截面上、下缘两点 K1、K2为危险点，取单元体。为危险点，取单元体。 K1K2K1K1tWTWM按第三强度理论的强度条件为按第三强度理论的强度条件为 223r4 223r1TMW按第四强度理论的强度条件为按第四强度理论的强度条件为 224r3 224r75. 01TMWWW2t其中其中 例：例：传动轴传动轴AB: d=35mm, =85

18、MPa, P=2.2kW, n=966r/minD1=50mm，D2=132mm，F+F=600N，试按第三强度理论，试按第三强度理论校核轴的强度。校核轴的强度。 zxyABFrFtMeMeFz+FzFy+Fy解：解：带轮传给轴的力矩带轮传给轴的力矩 mN9662 . 29549eMmN7 .21力矩力矩Me是通过皮带拉力是通过皮带拉力F和和F传递的，应有传递的，应有e22MDFFN329m10132Nm7 .212232eDMFFN600 FF又已知又已知 解得解得 N135N465FF44.523.565zxyABFrFtMeMeFz+FzFy+Fy由平衡方程，得由平衡方程，得 e1ne2

19、20cosMDFM20cos21enDMFN20cos05. 07 .212N87020cosntFFN31620sinnrFF30cos24cosFFFFyy30sin24sinFFFFzzN542N257N925+ +T 21.7Nm11.4Nm- -My7.43Nm+ +Mz20.4Nm24.1NmM26.7Nm21.7Nm显然，显然，B截面为危险截面。截面为危险截面。B截面上扭矩和合成弯矩为截面上扭矩和合成弯矩为 mN7 .21TmN7 .26mN1 .244 .112222zyMMM按第三强度理论进行强度校核按第三强度理论进行强度校核 MPa18. 8Pa1018. 86223r1T

20、MW2233m)N7 .21()mN7 .26()m1035(32传动轴满足强度条件。传动轴满足强度条件。例：例：一钢制实心圆轴一钢制实心圆轴, 受力如图。齿轮受力如图。齿轮C节圆节圆: dC=400mm，齿轮齿轮D节圆节圆: dD=200mm， =100MPa。试按第四强度理论。试按第四强度理论设计轴的直径。设计轴的直径。 100300300zxyABDC1003003003.64kN10kN1.82kN5kN1kNm1kNm解：解：受力分析受力分析 kN1 . 064. 33 . 056 . 01AzFkN3 . 082. 11 . 0106 . 01AyFkN893. 1kN757. 0

21、作内力图。作内力图。 FAz FAy 0.364kNmzxyABDC1003003003.64kN10kN1.82kN5kN1kNm1kNm- -1kNmT + +0.568kNmMy 0.277kNm1kNmMz + +22364. 01 BM22568. 0227. 0CMmkN064. 1mkN612. 0B截面为危险截面。截面为危险截面。 224r75. 01TMWB 22375. 032TMdB第四强度理论的强度条件：第四强度理论的强度条件： FAz FAy 所以轴的直径为所以轴的直径为 32275. 032TMdB3226m)N1000(75. 0)mN1064(1010032Pamm9 .51m0519. 0例：例：水轮机主轴，水轮机主轴，P=37500kW，n=15