讲不定积分的概念和性质课件

1、第4-1讲 不定积分的概念和性质要点： 原函数与不定积分的概念 基本积分表 不定积分的性质 一.原函数与不定积分的概念 1.原函数的定义 如：又如：注意定理（原函数存在定理）连续函数必有原函数。 注意3 3f x( )的的任任意意二二原原函函数数之之间间相相差差一一个个常常数数 2.不定积分的定义其中：为积分号， f x( )为被积函数， x为积分变量 理解1 1C为为任任意意常常数数，具具有有任任意意性性，故故kCCn,12 也也是是任任意意常常数数； 2 2不不定定积积分分表表示示了了f x( )的的所所有有原原函函数数。 例1解323xx32d3xxx例221(arctan )1xx21

2、darctan1xxxC解计算法：求函数的不定积分，只要求得它的一个原函数，加上任意常数C即可。 C某曲线过点( , )12，且其上任一点切线之斜率为该点横坐标之二倍，求此曲线方程 例3解2( )f xxC又曲线过点2 , 1，即：C212， 所以：1C， 故所求曲线方程为：12 xy 例4解因为垂直上抛运动的加速度为g（常数）， 又0t时，0,0SVv，代入(1)(2)得： 2100 ,CCV， 所以其运动规律为：tVgtS0221 结论：即：返回二.基本积分表 由于微、积分是互逆的两种运算，故利用导数公式，不难得到基本初等函数的积分公式 1.d;kxkxC12.d(1)1xxxC d3.l

3、n;xxCx4.d;e de;lnxxxxaaxCxCa122d5.arctanarccot;1xxCxCx 122d6.arcsinarccos;1xxCxCx 续7. cos dsin;xxxC8. sin dcos;xxxC 2219.dsecdtan;cosxxxxCx22110.dcscdcot;sinxxxxCx 11. sectandsecxxxxC12.csc cotdcsc;xxxxC *13 .shdch;xxxC*14 .ch dsh;xxxC例5解331ddxxxxCx13131Cx221练习：答：21.dxxx52dxxCx125125Cxx3723d2.xxx43d

4、xxCx1341341Cx33返回三.不定积分的性质 1.( ( )( )d( )d( )df xg xxf xxg xx证明：两边取导数即可。但要注意其中的任意常数。 例6解5122d5dxxxx5122d5dxxxxCxx232732572例7解2313dxxxx 2ddd3 d3xxxxxxxCxxxx1ln3322经验之一： 整理为“多项式”形式是解决只含有幂函数的积分方法之一 例8解e3sinxxC例9解(2e)ln2exC2 e1ln2xxC经验之二： 当含有指数函数或对数函数时，尽可能化为公式形式积分。 例10解211d1xxxCxxlnarctan例11解222111d1xxxx2211d1xxx 221ddd1xxxxxCxxxarctan33经验之三： 化有理式函数为“整式+真分式”是一种必然的方法。 例12解tan xxC例13解11cosd2xx1dcos d2xxxCxxsin21例14解24dsinxx24 cscdxxCx cot4