连续性和间断点(2)课件

1、二、二、 函数的间断点函数的间断点 一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性)(xf四、四、 连续函数的性质连续函数的性质 三、三、初等函数的连续性初等函数的连续性可见 , 函数0 x在点) ( x f y 一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义:, )()(lim00 xfxfxx在) ( x f y 的某邻域内有定义 , .)(0连续在xxf则称函数)(0 xf(1) 0 x在点) ( x f y 即)(lim0 xfxx(2) 极限. )() (lim00 xfxfxx(3)()(lim, ),(000 xPxPxxx

2、设函数连续必须具备下列条件:存在 ;且有定义 ,存在 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 continue)(xf若. , baC在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上连续 , 或称它为该区间上的连续函数连续函数 .)()()(xQxPxR又如又如, 有理分式函数,ba在其定义域内连续.在闭区间, 0)(0 xQ上的连续函数的集合记作只要)()(lim00 xRxRxx都有,0 xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 对自变量的增量)()(0 xfxfy有函数的增量)()(00 xfxxf)( xfyxoy0 xxxy) () (lim00 x fx fxx)()(lim000 xf

3、xxfx0)()(lim000 xfxxfx0 x函数) (xf0lim0yx在点连续有下列等价命题:机动 目录 上页 下页 返回 结束 )( xf在在二、二、 函数的间断点函数的间断点(1) 函数0 x) (lim0 x fxx (2) 函数0 x) (lim0 x fxx )()(lim00 xfxfxx不存在;(3) 函数0 x) (lim0 x fxx )()(lim00 xfxfxx存在 , 但)(0 xf 不连续 :) (lim0 x fxx 设) (lim0 x fxx 在点0 x的某去心邻域内有定义 , 则下列情形这样的点) (lim0 x fxx 之一函数 f (x) 在点虽

4、有定义 , 但虽有定义 , 且称为间断点间断点 . 在无定义 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及, )()(00 xfxf均存在 , )()(00 xfxf若称) (lim0 x fxx )(0 xf若称) (lim0 x fxx 第二类间断点第二类间断点:,及, )()(00 xfxf中至少一个不存在 ,称) (lim0 x fxx 若其中有一个为振荡 ,称) (lim0 x fxx 若其中有一个为xytan) 1 ( 为可去间断点 .为跳跃间断点 .为无穷间断点无穷间断点 .为振荡间断点振荡间断点 .机动 目录 上页 下

5、页 返回 结束 2 x0 x为其无穷间断点 .xy1sin) 2(为其振荡间断点 .1x11) 3 (2xxy为可去间断点 .xoy1xy tan例如例如:2xyoxy1sinyo0) 1 ( 1 ) ( lim1fx fx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xy tan1x显然1,1,)(21xxxxfy为其可去间断点 .x(4)oy2110, 10, 00, 1) (xxxxxx f y(5) 1o21y0, 10, 00, 1) (xxxxxx f y, 1) 0 ( f1)0(f0 x, , ) (baCx f 为其跳跃间断点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、初等函数的

6、连续性初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续函数的四则运算四则运算的结果连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、最值定理、最值定理定理定理1.1.在闭区间上连续的函数值和最小值.在该区间上一定有最大2、零点存在定理、零点存在定理定理定理2. ,),(ba至少有一点x且使yoab, )()(lim00 xfxfxx. 0 ) (f0)()(bfaf,)(Aaf( 证明略 )3、介值定理介值定理设 ,),(ba且,)(BABbf,),(ba则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点Abayxy1sino) ( x f y BC. ) ( Cf . 0 ) (f使0)()(lim000 xfxxfx至少有内容小结内容小结)()(lim000 xfxxfx)(.2xf)(. 1xf) (xf第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型0 x231) (22xxxx f在点连续的等价形式机动 目录 上页 下页 返回