数列求和的各种方法

1、数列求和的方法教学目标1熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题教学内容知识梳理1求数列的前 n 项和的方法(1) 公式法 等差数列的前 n 项和公式Sn= na1 + . 等比数列的前 n 项和公式(I )当 q = 1 时，Sn= na1;(n )当 q丰 1 时，Sn=. 常见的数列的前 n项和：，1+3+5+(2n1)=，等(2) 分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3) 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下

2、首尾若干项(4) 倒序相加法这是推导等差数列前 n 项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式 可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和(5) 错位相减法这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求an bn的前n项和，其中an和bn分别是等差数列和等比数列(6) 并项求和法一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an=(1)nf(n) 类型，可采用两项合并求解例如，Sn= 1002 992 + 982- 972+ 22- 12= (100 + 99) + (98 + 97) + + (2 + 1) = 5 050.

3、2. 常见的裂项公式(1) =-；(2) =(-)；=；(5) = ( - ) (6) 设等差数列an的公差为4,则=().数列求和题型 考点一 公式法求和1. (2016新课标全国I已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足bl = 1,b2=, anbn + 1 + bn+ 1 = nbn.(1) 求an的通项公式；(2) 求bn的前n项和.2. (2013 新课标全国n,17)已知等差数列an的公差不为零，a1 = 25,且a1 , a11, a13成等比数列(1) 求an的通项公式；(2) 求 a1 + a4+ a7+ a3n 2.变式训练1. (2015 四川，16)设数列an(n

4、= 1, 2, 3,)的前 n 项和 Sn满足 Sn= 2an a1,且 a1, a2 +1, a3 成 等差数列 .(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 设数列的前n项和为Tn,求Tn.2. (2014 福建，17)在等比数列an中，a2= 3, a5= 81.(1) 求 an；设bn= Iog3an，求数列bn的前n项和Sn.考点二 错位相减法1. (山东)已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n,是等差数列，且(I)求数列的通项公式；(I)令求数列的前n项和Tn.2. (2015 天津，18)已知数列an满足 an+ 2= qan(q 为实数，且 qz 1) , n N*, al =

5、1, a2 = 2，且 a2 + a3, a3a4, a4a5 成等差数列 .(1) 求 q 的值和 an 的通项公式；(2) 设bn=, n N*,求数列bn的前n项和.变式训练1. (2014 江西，17)已知首项都是1 的两个数列an , bn(bn 丰 0, n N*)满足 anbn+ 1 an+ 1bn + 2bn1bn= 0.(1) 令cn =，求数列cn的通项公式；(2) 若 bn= 3n 1 ,求数列 an 的前 n 项和 Sn.2. (2014 四川，19)设等差数列an的公差为d,点(an , bn)在函数f(x) = 2x的图象上(n N*).(1) 若 a1= 2,点

6、(a8 , 4b7) 在函数 f(x) 的图象上,求数列 an 的前 n 项和 Sn； 若a1 = 1，函数f(x)的图象在点(a2 , b2)处的切线在x轴上的截距为2,求数列的前n项和Tn.3. (2015 湖北，18)设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn,等比数列bn的公比为q,已知b1= al, b2= 2, q = d, S10= 100.(1) 求数列 an , bn 的通项公式；(2) 当d>1时，记cn =，求数列cn的前n项和Tn.4. (2015 山东，18)设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn= 3n + 3.(1) 求an的通项公式；(2) 若数列bn满足a

7、nbn = Iog3an，求bn的前n项和Tn.5. (2015 浙江，17)已知数列an和bn满足 al = 2, bl = 1, an+ 1 = 2an(n N*) , bl + b2+ b3+-+ bn =bn + 1 1(n N*).(1) 求 an 与 bn；记数列anbn的前n项和为Tn,求Tn.6. (2015 湖南，19)设数列an的前 n 项和为 Sn,已知 a1 = 1, a2= 2,且 an+ 2= 3Sn Sn+ 1 + 3, n N*.(1) 证明： an 2= 3an；(2) 求 Sn.考点三 分组求和法1. (2015 福建，17)在等差数列an中，a2= 4,

8、a4+ a7= 15.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设 bn=+ n,求 b1 + b2 + b3+ + b10 的值.2. (2014 湖南，16)已知数列an的前n项和Sn=, n N*.(1) 求数列 an 的通项公式；设bn=+ ( 1)nan，求数列bn的前2n项和.变式训练1. (2014 北京，15)已知an是等差数列，满足a1= 3, a4= 12,数列bn满足b1 = 4, b4= 20,且bn an 为等比数列 .(1) 求数列an和bn的通项公式；(2) 求数列 bn 的前 n 项和 .考点四 裂项相消法1. (2015 新课标全国I, 17)S n为数列an的前

9、n项和.已知 an >0, a + 2an= 4S n+ 3.(1) 求an的通项公式；(2) 设bn =，求数列bn的前n项和.2. (2011 新课标全国，17)等比数列an的各项均为正数，且2a1+ 3a2 = 1, a = 9a2a6.(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 设 bn = Iog3a1 + Iog3a2 + Iog3an，求数列的前 n 项和.3. (2015 安徽，18)已知数列an是递增的等比数列，且a1+ a4= 9, a2a3 = 8.(1) 求数列 an 的通项公式；设Sn为数列an的前n项和，bn=，求数列bn的前n项和Tn.变式训练1. (2013

10、 江西，16)正项数列an满足：a (2n 1)an 2n= 0.(1) 求数列 an 的通项公式 an；令bn =，求数列bn的前n项和Tn.2. (2013 大纲全国，17)等差数列an中，a7= 4, a19 = 2a9.(1)求an的通项公式；设bn =，求数列bn的前n项和Sn.3. 在数列an中，a1= 1,当n > 2时，其前n项和Sn满足S= an.(1) 求 Sn 的表达式；(2) 设bn=，求bn的前n项和Tn.考点五 倒序相加法已知函数 f(x) = (x R). (1)证明：f(x) + f(1 x) =; (2)若 S= f() + f() + f()，贝y S

11、=变式训练1. 设 f(x)=，若 S= f() + f() + f()，贝U S=考点六 并项求和1. (2012 新课标，16)数列an满足 an+ 1 + ( 1)nan = 2n 1，则an的前 60 项和为2. (2014山东，19)在等差数列an中，已知公差 d= 2, a2是a1与a4的等比中项(1) 求数列an的通项公式；(2) 设 bn=，记 Tn= b1 + b2 b3+ b4+ ( 1)nbn ,求 Tn.变式训练1. (2014 山东理，19)已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且S1, S2, S4成等比数列(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 令bn =

12、 ( 1)n 1,求数列bn的前n项和Tn.2. (2013 湖南，15)设 Sn 为数列an的前 n 项和，Sn= ( 1)nan , n N*,则:(1) a3 =；(2) S1 + S2+-+ S100=.考点七 数列 |an| 的前 n 项和问题1. （2011 北京，11）在等比数列an中，若 al = , a4= 4,则公比 q=; |a1| + |a2| + |an|变式训练1. （2013 浙江，19）在公差为d的等差数列an中，已知a1= 10,且a1 , 2a2+ 2, 5a3成等比数列（1） 求 d， an； 若 dv 0,求 |a1| + |a2| + |a3| + |

13、an|.考点八 周期数列1. 已知数列2 008,2 009,1, 2 008， 2 009，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 2 014 项之和 S2 014 等于（）A2 008 B 2 010 C 1 D 0变式训练1. （2012 福建）数列an的通项公式an= ncos，其前n项和为Sn,则S2 012等于（）A.1 006B.2 012C.503D.0考点九 数列与不等式的应用1. （2014 新课标全国H, 17）已知数列an满足a1 = 1, an+ 1 = 3an+ 1.（1）证明是等比数列,并求 an 的通项公式；（2）证明 + +

14、+ <.2. (2015 浙江，20)已知数列an满足 a1=且 an+ 1 = ana(n N*).(1) 证明：1 ww 2(n N*);(2) 设数列a的前n项和为Sn,证明:ww (n N*).3. (2013江西，理)正项数列an的前项和an满足：(1) 求数列an的通项公式an；(2) 令，数列bn的前项和为。证明：对于任意的，都有变式训练1.(2014 湖北，18)已知等差数列an满足：a1 = 2,且a1, a2, a5成等比数列.(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 记Sn为数列an的前n项和，是否存在正整数n,使得Sn>60n+ 800?若存在，求n的最小值

15、；若不存在,说明理由2. (2013 广东，19)设数列an的前 n 项和为 Sn.已知 al = 1 ,= an+ 1 n2- n , n N*.(1) 求 a2 的值；(2) 求数列 an 的通项公式；(3) 证明：对一切正整数 n,有+ + + <.3. (2013 天津，19)已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(n N*)，且一2S2, S3, 4S4成等差数列(1) 求数列 an 的通项公式；证明 Sn+w (n N*).4. (2014 广东，19)设各项均为正数的数列 an的前n项和为Sn,且Sn满足S (n2 + n-3)Sn 3(n2 + n) =0, n N*.

16、(1) 求 a1 的值；(2) 求数列 an 的通项公式；(3) 证明：对一切正整数n,有+ + + < .答案考点一 公式法求和1. (2016新课标全国I已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足bl = 1,b2=, anbn + 1 + bn+ 1 = nbn.(1) 求an的通项公式；(2) 求bn的前n项和.【答案】( I)( II)考点：等差数列与等比数列2. (2013 新课标全国n,17)已知等差数列an的公差不为零，a1 = 25,且a1 , a11, a13成等比数列.(1) 求an的通项公式；(2) 求 a1 + a4+ a7+ a3n 2.解(1)设an的公差为

17、d.由题意，a= a1a13,即(a1 + 10d)2 = a1(a1 + 12d).于是 d(2a1 + 25d) = 0.又 a1 = 25,所以 d = 0(舍去)，d= 2.故 an= 2n+ 27. 令 Sn= a1 + a4 + a7 + + a3n 2.由(1)知a3n 2= 6n + 31,故a3n 2是首项为25,公差为6的等差数列.从而 Sn= (a1 + a3n 2) = ( 6n + 56) = 3n2 + 28n.变式训练1. (2015 四川，16)设数列an(n = 1, 2, 3,)的前 n 项和 Sn满足 Sn= 2an a1,且 a1, a2 +1, a3

18、成 等差数列 .(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 设数列的前n项和为Tn,求Tn.解 (1)由已知 Sn= 2an a1,有 an = SnSn 1 = 2an 2an 1(n >2)，即 an= 2an 1(n >2), 从而 a2= 2a1, a3=2a2= 4a1,又因为 a1, a2+ 1, a3 成等差数列,即 a1+ a3= 2(a2+ 1),所以 a1 + 4a1 = 2(2a1 + 1) ,解得 a1 = 2,所以,数列 an 是首项为 2,公比为 2的等比数列,故 an=2n.(2) 由(1) 得=,所以 Tn = + + + = = 1 .2. (201

19、4 福建，17)在等比数列an中，a2= 3, a5= 81.(1) 求 an；设bn= Iog3an，求数列bn的前n项和Sn.解(1)设an的公比为q,依题意得解得因此，an = 3n 1. 因为 bn= Iog3an = n 1,所以数列bn的前n项和Sn=.考点二 错位相减法1. (2015山东，理，18)已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n,是等差数列，且(I)求数列的通项公式；(I)令求数列的前n项和Tn.【答案】 ( I)； ( I) .(I)由(I)知，又,得,两式作差,得所以考点：数列前 n 项和与第 n 项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法2. (2015 天津，

20、18)已知数列an满足 an+ 2= qan(q 为实数，且 qz 1) , n N*, a1 = 1, a2 = 2，且 a2 + a3, a3a4, a4a5 成等差数列 .(1) 求 q 的值和 an 的通项公式；(2) 设bn=, n N*,求数列bn的前n项和.解 (1) 由已知,有 (a3a4)(a2a3)=(a4a5)(a3a4),即 a4 a2= a5 a3,所以 a2(q 1) = a3(q 1)，又因为 1,故 a3= a2= 2,由 a3= a1q,得 q= 2.当 n = 2k 1(k N*)时，an= a2k 1 = 2k 1 = 2;当 n= 2k(k N*) 时,

21、 an= a2k= 2k= 2.所以，an的通项公式为an =(2)由(1)得 bn= = , n N*.设bn的前n项和为Sn,贝U Sn= 1 x + 2x+ 3X + -+ (n 1) x+ nx,Sn= 1x+ 2x+(n 1) x+ nx .上述两式相减得：Sn= 1 + + + + = =2,整理得，Sn= 4 , n N*. 所以，数列 bn 的前 n 项和为 4， n N*.变式训练1. (2014 江西，17)已知首项都是 1 的两个数列an , bn(bn 丰 0, n N*)满足 anbn+ 1 an+ 1bn + 2bn + 1bn = 0.(1) 令cn =，求数列c

22、n的通项公式；(2) 若bn = 3n 1，求数列an的前n项和Sn.解 (1)因为 anbn + 1 an+ 1bn+ 2bn+ 1bn = 0, bnO(n N*),所以一=2, 即卩 cn + 1 cn= 2.所以数列cn是以1为首项，2为公差的等差数列，故cn= 2n 1.(2)由 bn = 3n 1 知 an=cnbn=(2n 1)3n 1,于是数列an的前 n 项和 Sn= 1x 30 + 3X 31 + 5X 32 + + (2n 1) x 3n 1,3Sn= 1 x 31 + 3x 32+-+ (2n 3) x 3n 1 + (2n 1) 3n,相减得2Sn= 1 + 2 (3

23、1 + 32+-+ 3n 1) (2n 1) 3n= 2 (2n 2)3n ,所以 Sn= (n 1)3n + 1.2. (2014 四川，19)设等差数列an的公差为d,点(an , bn)在函数f(x) = 2x的图象上(n N*).(1) 若 a1= 2，点 (a8 ，4b7) 在函数 f(x) 的图象上，求数列 an 的前 n 项和 Sn；(2) 若a1 = 1，函数f(x)的图象在点(a2 , b2)处的切线在x轴上的截距为2 ,求数列的前n项和Tn.解 (1)由已知得，b7= 2a7, b8 = 2a8= 4b7，有 2a8 = 4x 2a7 = 2a7 + 2.解得 d= a8

24、a7= 2.所以, Sn= na1 + d= 2n+ n(n 1)= n2 3n.(2)函数 f(x) = 2x 在(a2 , b2)处的切线方程为 y 2a2 = (2a2ln 2)(x a2),它在 x 轴上的截距为 a2 .由题意得， a2 = 2，解得 a2= 2.所以 d = a2 a1= 1.从而 an=n, bn=2n.所以 Tn = + + + + + ,2Tn = + + + + .因此，2TnTn= 1 + + + + = 2 =.所以， Tn=.3. (2015 湖北，18)设等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,等比数列bn的公比为q,已知b1= al, b2=2，

25、q=d， S10=100.(1) 求数列 an , bn 的通项公式；(2) 当d>1时，记cn =，求数列cn的前n项和Tn.解 (1) 由题意有,即解得或故或(2)由 d>1，知 an = 2n 1, bn=2n1,故 cn =，于是Tn= 1 + + + + + -+，Tn = + + + + + + +.可得Tn= 2+ + + + = 3,故 Tn= 6 .4. (2015 山东，18)设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn= 3n + 3.(1) 求an的通项公式；(2) 若数列 bn 满足 anbn= log3an ,求 bn 的前 n 项和 Tn.解 (1) 因为

26、2Sn=3n3,所以 2a1 = 3 3,故 a1 = 3,当 n > 1 时，2Sn 1= 3n 1 + 3,此时 2an = 2Sn2Sn 1 = 3n 3n 1 = 2X 3n 1,即卩 an=3n 1,所以 an=(2) 因为 anbn= log3an ,所以 b1 =,当 n> 1 时，bn= 31 nlog33n 1 = (n 1) 31 n.所以 T1=b1=；当 n> 1 时，Tn= b1+ b2 + b3+-+ bn=+ (1 x 3 1 + 2x 3 2 + -+ (n 1) x 31 n),所以 3Tn= 1 + (1 x 30+ 2x 3 1 + -+

27、 (n 1) x 32 n),两式相减，得 2Tn=+ (30 + 3 1 + 3 2+-+ 32 n) (n 1) x 31 n=+ (n 1) x 31 n=,所以 Tn=,经检验, n= 1 时也适合.综上可得 Tn= .5. (2015 浙江，17)已知数列an和bn满足 a1 = 2, b1 = 1, an+ 1 = 2an(n N*) , b1 + b2 + b3+-+ bn=bn + 1 1(n N*).(1) 求 an 与 bn ；记数列anbn的前n项和为Tn,求Tn.解 由 a1 = 2, an+ 1 = 2an,得 an = 2n(n N*).由题意知：当 n= 1 时，

28、b1 = b2- 1，故 b2= 2.当n2时，bn=bn+ 1 bn,整理得=，所以 bn= n(n N*).(2) 由 (1) 知anbn = n 2n.因此 Tn= 2+ 2 22+ 3 23+ n 2n，2Tn= 22 + 2 23+ 3 24+ n 2n+ 1，所以 Tn 2Tn= 2 + 22 + 23+ 2n n 2n+ 1.故 Tn= (n 1)2n + 1+ 2(n N*).6. (2015 湖南，19)设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a1 = 1，a2= 2,且 an+ 2= 3Sn Sn+ 1 + 3, n N*.(1) 证明：an+ 2= 3an;(2) 求 S

29、n.(1) 证明由条件，对任意 n N*，有an+ 2= 3SnSn+ 1 + 3，因而对任意 n N*，n2，有 an+ 1 = 3Sn 1 Sn+ 3.两式相减，得 an+ 2 an+ 1 = 3an an +1，即卩 an+ 2 = 3an，n2.又 a1 = 1，a2= 2，所以 a3 = 3S1 S2+ 3= 3a1 (a1 + a2) + 3 = 3a1， 故对一切 n N*， an+ 2= 3an.解 由(1)知，an丰0,所以=3.于是数列a2n 1是首项a1 = 1，公比为3等比数列；数列a2n是首项 a2= 2,公比为3的等比数列.因此a2n 1 = 3n 1, a2n =

30、 2 x 3n 1.于是S2n= a1 + a2+ a2n=(a1 + a3+ a2n 1) + (a2 + a4+ a2n)=(1 + 3+-+ 3n 1) + 2(1 + 3+-+ 3n 1)=3(1 + 3 + + 3n 1)=.从而 S2n 1= S2n a2n= 2x 3n 1=(5 x 3n2 1).综上所述， Sn=考点三 分组求和法1. (2015 福建，17)在等差数列an中，a2= 4, a4 + a7= 15.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设 bn=+ n,求 b1 + b2 + b3 + + b10 的值.解 (1) 设等差数列 an 的公差为 d，由已知得解得

31、所以 an=a1+(n1)d=n+2.(2) 由 (1) 可得 bn= 2n+ n，所以 b1 + b2 + b3+-+ b10 = (2 + 1) + (22 + 2) + (23 + 3) + (210 + 10)=(2 + 22 + 23+ 210) + (1 + 2 + 3 + 10)=+= (211 2) + 55= 211 + 53= 2 101.2. (2014 湖南，16)已知数列an的前n项和Sn=, n N*.(1) 求数列 an 的通项公式；设bn=+ ( 1)nan，求数列bn的前2n项和.解当n= 1时，a1 = S1= 1;当 n2 时，an=SnSn 1 = =

32、n.故数列an的通项公式为an= n.(2) 由(1)知，bn= 2n + ( 1)nn.记数列bn的前 2n项和为 T2n,则 T2n= (21 + 22+ 22n) + ( 1 + 2 3 + 4 + 2n).记 A= 21 + 22+ 22n, B= 1 + 2 3+ 4 + 2n,则A= 22n + 1 2,B= ( 1+ 2) + ( 3+ 4) + (2n 1) + 2n = n.故数列bn的前 2n 项和 T2n= A+ B= 22n+ 1+ n 2.变式训练1. (2014 北京，15)已知an是等差数列，满足a1= 3, a4= 12,数列bn满足b1 = 4, b4= 20

33、,且bn an 为等比数列 .(1) 求数列an和bn的通项公式；(2) 求数列 bn 的前 n 项和 .解(1)设等差数列an的公差为d,由题意得d= = = 3.所以 an= a1 + (n 1)d = 3n(n = 1, 2,).设等比数列bn an的公比为q,由题意得q3= = = 8,解得 q= 2.所以 bn an= (b1 a1)qn 1 = 2n 1.从而 bn=3n+2n1(n = 1, 2，). 由(1)知 bn = 3n+ 2n 1(n = 1, 2,).数列3n的前n项和为n(n + 1)，数列2n 1的前n项和为1 x= 2n 1.所以，数列bn的前n项和为n(n +

34、 1) + 2n 1.考点四 裂项相消法1.(2015 新课标全国I,17)S n为数列an的前n项和.已知 an >0, a + 2an= 4S n+ 3.(1) 求an的通项公式；(2) 设bn =，求数列bn的前n项和.解 (1)由 a + 2an= 4Sn+ 3,可知 a + 2an + 1 = 4Sn+ 1 + 3.可得 a a+ 2(an + 1 an) = 4an+ 1，即2(an + 1 + an) = a a = (an + 1 + an)(an + 1 an).由于 an>0,可得 an+ 1 an= 2.又 a + 2a1= 4a1 + 3,解得 a1 = 1

35、(舍去)，a1 = 3.所以an是首项为3,公差为2的等差数列，通项公式为 an=2n+ 1.(2)由 an = 2n+ 1 可知bn =设数列bn的前n项和为Tn,则Tn= b1 + b2+ + bn2. (2011 新课标全国，17)等比数列an的各项均为正数，且2a1+ 3a2 = 1, a = 9a2a6.(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 设 bn = Iog3a1 + Iog3a2 + Iog3an，求数列的前 n 项和.解 (1) 设数列 an 的公比为 q.由 a = 9a2a6,得 a = 9a,所以q2=.由条件可知q>0,故q= 由 2a13a2=1 得 2a

36、13a1q=1，所以 a1 = .故数列 an 的通项公式为 an= .bn = Iog3a1 + Iog3a2 + Iog3an=(1 + 2+ n)故= 2( ) ，+ + + = _ 2 所以数列的前 n 项和为 .3. (2015 安徽， 18)已知数列 an 是递增的等比数列，且 a1a4=9， a2a3=8.(1) 求数列 an 的通项公式；设Sn为数列an的前n项和，bn=，求数列bn的前n项和Tn.解 由题设知 a1 a4= a2 a3= 8.又 a1a4= 9. 可解得或 ( 舍去 ).由 a4= a1q3 得公比 q= 2，故 an= a1qn 1 = 2n 1.(2) S

37、n = 2n 1，又 bn=，所以 Tn= b1 + b2 + + bn = + + + = = 1 .变式训练1.(2013 江西， 16) 正项数列 an 满足： a (2n 1)an 2n= 0.(1) 求数列 an 的通项公式 an；令bn =，求数列bn的前n项和Tn.解 (1) 由 a (2n 1)an 2n= 0，得(an 2n )(a n + 1) = 0.由于 an 是正项数列，所以 an= 2n.(2) 由 an= 2n， bn=，则 bn=， Tn=2. （2013 大纲全国，17）等差数列an中，a7= 4, a19 = 2a9. （1）求an的通项公式；设bn =，求

38、数列bn的前n项和Sn.解（1）设等差数列an的公差为d,贝Uan= al + (n 1)d.由得解得 a1 = 1, d =. an的通项公式为an=.(2) v bn= = = , Sn = + + + =.3. 在数列an中，a1= 1,当n > 2时，其前n项和Sn满足S= an.(1) 求 Sn 的表达式；(2) 设bn=，求bn的前n项和Tn.答案( 1)可求得( 2)考点五 倒序相加法1.已知函数 f(x) = (x R).证明：f(x) + f(1 x)=;变式训练1.设 f(x)=，若 S= f() + f() + f()，贝U S=.考点六 并项求和1. (2012

39、新课标，16)数列an满足 an+ 1 + ( 1)nan = 2n 1，则an的前 60 项和为.理科解析 当 n= 2k 时，a2k + 1 + a2k = 4k 1，当 n = 2k 1 时，a2k a2k 1 = 4k 3， a2k + 1 + a2k1 = 2， a2k + 3 + a2k + 1 = 2，. a2k 1 = a2k + 3，. a1 = a5= a61. -a1 + a2 + a3+ a60= (a2+ a3) + (a4 + a5) + (a60 + a61) = 3 + 7 + 11 + -+ (2 x 60 1) = 30x 61 = 1 830.答案 1 8

40、30文科解析 van+1+(1)nan=2n1， a2=1+a1， a3=2a1， a4=7a1， a5=a1，a6= 9+ a1 ， a7= 2 a1 ， a8= 15 a1 ， a9= a1 ，a10= 17+ a1，a11 = 2 a1，a12= 23 a1，a57=a1， a58=113+a1， a59=2a1， a60=119a1， a1 + a2 + -+ a60= (a1 + a2 + a3 + a4) + (a5 + a6 + a7 + a8) + (a57 + a58+ a59 + a60)=10 + 26 + 42+-+ 234= 1 830.答案 D2. (2014山东，

41、19)在等差数列an中，已知公差 d= 2，a2是a1与a4的等比中项.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设 bn=，记 Tn= b1 + b2 b3 + b4+ ( 1)nbn，求 Tn.解 (1) 由题意知 (a1 + d)2 =a1(a1 + 3d)，即(a1 + 2)2 = a1(a1 + 6)，解得 a1 = 2.所以数列 an 的通项公式为 an= 2n.(2) 由题意知 bn= a= n(n + 1).所以 Tn= 1 x 2 + 2X 3 3x4 + + ( 1)nn x (n + 1).因为 bn+1bn=2(n+1)，可得当 n 为偶数时，Tn= ( b1+ b2) +

42、 ( b3 + b4) + ( bn 1 + bn)=4 + 8 + 12+ 2n当 n 为奇数时，Tn= Tn 1+ ( bn)=n(n + 1)所以Tn=变式训练1.(2014 山东理，19)已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且S1, S2, S4成等比数列(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 令bn = ( 1)n 1,求数列bn的前n项和Tn.解 (1) 因为 S1=a1,S2= 2a1 + x 2= 2a1 + 2,S4= 4a1 + x 2= 4a1+ 12 ,由题意得 (2a1+2)2=a1(4a1 +12),解得 a1 = 1 ，所以 an= 2n 1.(2)bn

43、 = ( 1)n 1=(1)n1=(1)n1.当 n 为偶数时，Tn=+= 1= .当 n 为奇数时，Tn=一+= 1+= .所以 Tn=2. (2013 湖南，15)设 Sn 为数列an的前 n 项和，Sn= ( 1)nan , n N*,则:(1) a3 = ；(2) S1 + S2+-+ S100=.解析 (1) I Sn= ( 1)nan .当 n = 3 时，a1 + a2 + a3 = a3 ，当 n= 4 时, a1 + a2+ a3+ a4= a4,a1 + a2 + a3 =，由知 a3= .(2) T Sn= ( 1)nan 当 n 为奇数时，两式相减得 an+ 1 = a

44、n+ 1+ an +, an= ； 当 n 为偶数时，两式相减得 an + 1 = an + 1 an +,即 an= 2an+ 1 + =,故 an=. Sn= S1+ S2+-+ S100= 答案 (1) (2)考点七 数列 |an| 的前 n 项和问题1.(2011 北京，11)在等比数列an中，若 a1 = , a4= 4,则公比 q=; |a1| + |a2| + |an|解析 T q3= = 8,. q= 2,贝U an=x ( 2)n 1, |a1| + |a2| + |a3| + |an| =+ 1 + 2+-+ 2n 2 = = 2n 1 .答案 2 2n1变式训练1.(20

45、13 浙江，19)在公差为d的等差数列an中，已知a1= 10,且a1 , 2a2+ 2, 5a3成等比数列(1) 求 d， an； 若 dv 0,求 |a1| + |a2| + |a3| + |an|.解 (1)由题意得 5a3 a1 = (2a2 + 2)2 ,即 d2 3d 4= 0.故 d= 1 或 d= 4， an = n+ 11, n N*或 an= 4n+ 6, n N*.(2) 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，tdv 0，由(1)得 d= 1, an=n+11,则当 nW 11 时，|a1| +|a2| +|a3| + |an| =Sn= n2+n.当n12时，|a1|

46、+ |a2| + |a3| + |an| = Sn+ 2S11= n2 n+ 110, 综上所述： |a1| +|a2| +|a3| + |an|考点八 周期数列1.已知数列2 008,2 009,1, 2 008， 2 009，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 2 014 项之和 S2 014 等于（）A2 008 B 2 010 C 1 D 0答案 B变式训练1.（2012 福建）数列an的通项公式an= ncos，其前n项和为Sn,则S2 012等于（）A.1 006B.2 012C.503D.0考点九 数列与不等式的应用1. (2014 新课标全

47、国n,17)已知数列an满足al = 1, an+ 1 = 3an+ 1.(1) 证明是等比数列，并求 an 的通项公式；(2) 证明 + + + <证明 (1) 由 an1= 3an1 得 an1= 3又 a1 =,所以是首项为,公比为 3 的等比数列.an + =，因此an的通项公式为 an=.(2) 由(1) 知= .因为当n> 1时，3n 1 >2X 3n 1，所以w .于是 + + + =1 + += <.所以 + + + <2. (2015 浙江，20)已知数列an满足 a1 =且 an+ 1 = ana(n N*).(1) 证明：1 ww 2(n N

48、*);(2) 设数列a的前n项和为Sn,证明：ww (n N*).证明 (1) 由题意得 an1 an= aw 0,即 an+ 1 wan,故 anw .由 an= (1 an 1)an 1 得an = (1 an 1)(1 an 2)(1 a1)a1 >0.由0v anw得= 1 , 2 ,即 1ww 2(2、)由题意得a = anan+1,所以 Sn= a1 an+1 由=和 1ww 2 得1 ww 2,所以 nww 2n,因此w an+ 1 w (n N*).由得ww (n N*).3. (2013江西，理)正项数列an的前项和an满足：(1) 求数列an的通项公式an；(2) 令

49、，数列bn的前项和为。证明：对于任意的，都有变式训练1.(2014 湖北，18)已知等差数列an满足：a1 = 2,且a1, a2, a5成等比数列.(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 记Sn为数列an的前n项和，是否存在正整数n,使得Sn>60n+ 800?若存在，求n的最小值；若不存在,说明理由解 (1)设数列an的公差为d，依题意，2, 2+ d, 2 + 4d成等比数列，故有(2 + d)2 = 2(2 + 4d), 化简得 d2 4d= 0,解得 d= 0 或 d= 4.当 d= 0 时, an= 2；当 d = 4 时，an= 2 + (n 1) 4 = 4n 2,从而得数列an的通项公式为an= 2或an=4n