桥隧选修5投影与变换

1、投影与变换投影与变换梁建昌梁建昌桥隧控制测量桥隧控制测量主要内容主要内容一、椭球的几个基本知识一、椭球的几个基本知识二、地面值归算到椭球面三、椭球面归算到高斯平面（一）地球椭球的基本几何参数（一）地球椭球的基本几何参数椭圆的长半轴：椭圆的长半轴： a a椭圆的短半轴：椭圆的短半轴： b b椭圆的扁率：椭圆的扁率： 1.五个基本几何参数五个基本几何参数 abaa、b称为长度元素称为长度元素扁率反映扁率反映了椭球体了椭球体的扁平程的扁平程度度 一、椭球的几个基本知识一、椭球的几个基本知识椭圆的第一偏心率：椭圆的第一偏心率： abae22椭圆的第二偏心率：椭圆的第二偏心率： bbae22 e和和e反

2、映椭球体反映椭球体的扁平程度，偏心的扁平程度，偏心率越大，椭球愈扁率越大，椭球愈扁 决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中的两个就决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如够了，但其中至少要有一个长度元素（如a或或b）。）。 为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：式中，式中，W W 第一基本纬度函数，第一基本纬度函数，V V 第二基本纬度函数。第二基本纬度函数。2222,tancosactBeBb ，22221sin,1+cosWeB VeB注注 意意0.006739496742270.00673

3、95018194730.006738525414683e20.00669437990130.0066943849995880.006693421622966e21/298.2572235631/298.2571/298.36399593.62586399596.65198801056399698.90178271106356752.31426356755.28815752876356863.0187730473b637813763781406378245aWGS-84系椭球系椭球1975国际椭球国际椭球克拉索夫斯基椭球克拉索夫斯基椭球 我国所采用的的我国所采用的的19541954年北京坐标系应

4、用的是克年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数；以后采用的拉索夫斯基椭球参数；以后采用的19801980国家大地坐国家大地坐标系应用的是标系应用的是19751975国际椭球参数；而国际椭球参数；而GPSGPS应用的是应用的是WGS-84WGS-84系椭球参数。系椭球参数。 M为椭圆体面上任意一为椭圆体面上任意一点，点，MN为过为过M点的子午线，点的子午线，S为连结为连结MP的大地线长，的大地线长，A为大地线在为大地线在M点的大地方位点的大地方位角。以角。以M为极点、为极点、MN为极为极轴、轴、S为极径、为极径、A为极角，就为极角，就构成了大地极坐标系。构成了大地极坐标系。P点点位置用位置用S

5、、A表示。表示。 椭球面上的极坐标（椭球面上的极坐标（S、A）与大地坐标（）与大地坐标（L、B）可）可以互相换算，这种换算叫大地主题解算。以互相换算，这种换算叫大地主题解算。2.大地极坐标系大地极坐标系1.子午圈曲率半径子午圈曲率半径MaeW()123221sinWeBMaeceaeMcMaec022329021111()( )()2acb（二）椭球面上的几种曲率半径（二）椭球面上的几种曲率半径2、卯酉圈曲率半径、卯酉圈曲率半径 NaW221sinWeB卯酉圈变为子午圈，卯酉圈变为子午圈，N=cN=cN N9090=c=cB=90B=900 0N N随随B B的增大而增大的增大而增大a aN

6、Nc c0 00 0B90BR M只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径c，即：，即： 2222(1).bcNaRMNeWVVWNRMc909090 由于由于R RA A的数值随方位的数值随方位A A的变化而变化，给测量带来不便，在测的变化而变化，给测量带来不便，在测量工作中，往往根据一定的精度要求，在一定范围内，把椭球面量工作中，往往根据一定的精度要求，在一定范围内，把椭球面当作球面来处理，为此，就要推求该球面的曲率半径当作球面来处理，为此，就要推求该球面的曲率半径-平均曲率平均曲率半径半径 就是过椭球面上一点的一切法截弧就是过椭球面上一点的

7、一切法截弧(0(022），当其数目趋），当其数目趋于无穷时，它们的曲率半径的算术平均值的极限，就称为平均曲于无穷时，它们的曲率半径的算术平均值的极限，就称为平均曲率半径，用率半径，用R R表示表示 。1.子午线弧长计算公式子午线弧长计算公式dxMdB2300(1)BBaeXMdBdBW（三）（三）椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算2.平行圈弧长公式平行圈弧长公式 cos llSrNB 旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径就是圆上任意一点的旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径就是圆上任意一点的子午面直角坐标子午面直角坐标x：22coscos1sinaBrxNBeB如果平行圈上有两点，其经差如果平行

8、圈上有两点，其经差 ，可写出平行圈弧长公式：可写出平行圈弧长公式： 12 LLl 3.子午线弧长和平行圈弧长变化的比较子午线弧长和平行圈弧长变化的比较 单位纬差的子午线弧长随单位纬差的子午线弧长随B B的增大而缓慢地增大；而单位的增大而缓慢地增大；而单位经差的平行圈弧长则随经差的平行圈弧长则随B B的增大而急剧缩短。同时还知，子午的增大而急剧缩短。同时还知，子午弧长弧长1 1约为约为110KM110KM，11约为约为1.8KM1.8KM，11约为约为30M30M；而平行圈；而平行圈弧长仅在赤道附近才与子午线弧长大体相当，随着弧长仅在赤道附近才与子午线弧长大体相当，随着B B的增大它的增大它们的

9、差值愈来愈大。们的差值愈来愈大。1.相对法截线的概念相对法截线的概念 （1）纬度不同的两点，法线必交于旋转轴的不同点；）纬度不同的两点，法线必交于旋转轴的不同点；（2）椭球面上一点的纬度愈高，法线与旋转轴的交点愈低；）椭球面上一点的纬度愈高，法线与旋转轴的交点愈低；（3）当两点的纬度不同，又不在同一子午圈上时，这两点的）当两点的纬度不同，又不在同一子午圈上时，这两点的法线将在空间交错而不相交。因此当两点不在同一子午圈上，法线将在空间交错而不相交。因此当两点不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上时，两点间就有二条法截线存在。也不在同一平行圈上时，两点间就有二条法截线存在。（四）（四）大地线大地线

10、二、地面值归算到椭球面二、地面值归算到椭球面将水平方向归算至椭球面：将水平方向归算至椭球面：垂线偏差改正、垂线偏差改正、标高差改正、标高差改正、截面差改正，截面差改正，习惯上称此三项为习惯上称此三项为三差改正三差改正。1. 将地面观测的方向值归算到椭球面将地面观测的方向值归算到椭球面4）三差改正的计算）三差改正的计算各等三角测量在归算时对取位的要求：各等三角测量在归算时对取位的要求： 一等需算至一等需算至0.0010.001； 二等为二等为0.010.01； 三等和四等为三等和四等为0.10.1。 在一般情况下，一等三角测量应加三差改正；二等三角在一般情况下，一等三角测量应加三差改正；二等三角

11、测量应加垂线偏差改正和标高改正，而不加截面差改正；三测量应加垂线偏差改正和标高改正，而不加截面差改正；三等和四等三角测量只有在等和四等三角测量只有在 或或H2000mH2000m时，才分时，才分别考虑加垂线偏差改正和标高差改正。别考虑加垂线偏差改正和标高差改正。 01 2.电磁波测距电磁波测距的归算的归算 前提：前提： 1) 在椭球面上两点间大地线长度与在椭球面上两点间大地线长度与相应法截线长度之差是极微小的，故相应法截线长度之差是极微小的，故可忽略不计，这样可将两点间的法截可忽略不计，这样可将两点间的法截线长度认为是该两点间的大地线长度；线长度认为是该两点间的大地线长度； 2) 两点间的法截

12、线长度与半径等于两点间的法截线长度与半径等于其起始点曲率半径的圆弧长相差也很其起始点曲率半径的圆弧长相差也很微小微小(如当如当S=640KM时，之差等于时，之差等于0.3米；米；S=200KM时，之差等于时，之差等于0.005m)。 由于工程测量中边长一般为几公里，由于工程测量中边长一般为几公里，最长也不过十几公里，因而，这种差最长也不过十几公里，因而，这种差异又可忽略不计。因此所求的大地线异又可忽略不计。因此所求的大地线长度可以认为是半径长度可以认为是半径RA相应的圆弧长。相应的圆弧长。 232121224)1)(1 ()(1AAARDRHRHDHHDS2322421AAmRDRHDDhDS

13、由于控制点由于控制点之高差引起之高差引起的倾斜改正的倾斜改正的主项，经的主项，经过此项改正，过此项改正，测线已变成测线已变成平距。平距。由于平均测由于平均测线高出参考线高出参考椭球面而引椭球面而引起的投影改起的投影改正，经过此正，经过此项改正后，项改正后，测线已变为测线已变为弦线。弦线。是由弦长改是由弦长改化为弧长的化为弧长的改正项。改正项。)1)(1()(121212AARHRHDHHDd简化后：简化后：三、椭球面归算到高斯平面三、椭球面归算到高斯平面或者或者长度比不仅随点的位置，而且随线段的方向而发生变化。长度比不仅随点的位置，而且随线段的方向而发生变化。（一）长度比（一）长度比椭球面内（

14、椭球面内（中央子午线中央子午线ON，赤道，赤道OE） 三角网三角网PKTMQ：起始点起始点P大地坐标（大地坐标（B,l），），l=L-L0， L、L0分别为分别为P和轴子午线的大地经度；和轴子午线的大地经度；起始边起始边PK=S； 起始边的大地方位角起始边的大地方位角APK ；PC为垂直于中央子午线的大地线，为垂直于中央子午线的大地线，C点大地坐标（点大地坐标（B0,l =0）；）；PP1为过为过P点平行圈，点平行圈，P1点的大地坐标（点的大地坐标（B,l =0）；）；X为赤道至纬度为赤道至纬度B的平行圈子午弧长。的平行圈子午弧长。（二）椭球面三角系化算到高斯平面（二）椭球面三角系化算到高斯平

15、面高斯投影面上高斯投影面上： 中央子午线和赤道分别为直线中央子午线和赤道分别为直线ON 及及OE ， 其他子午线和平行圈均变为曲线。其他子午线和平行圈均变为曲线。 PN是是PN的投影，的投影，P P 1是是PP1的投影；的投影； P的直角坐标为（的直角坐标为（x,y）；）； 因是等角投影，大地方位角因是等角投影，大地方位角APK投影后没有变化。投影后没有变化。 三角形投影后变为边长三角形投影后变为边长si的的曲线曲线三角形三角形(长度大于椭球面上的边长长度大于椭球面上的边长)，且曲线都凹向纵坐标轴，且曲线都凹向纵坐标轴;1、椭球面三角系化算到高斯投椭球面三角系化算到高斯投影面问题分析影面问题分

16、析（1）投影后需用连接各点间的弦线来代替曲线。为此，必）投影后需用连接各点间的弦线来代替曲线。为此，必须在每个方向上引进曲改直的水平方向改正；须在每个方向上引进曲改直的水平方向改正；（2）根据始点）根据始点P的大地坐标的大地坐标B,L计算其平面坐标的坐标正计算其平面坐标的坐标正算公式；算公式；（3）反算公式；）反算公式；1、椭球面三角系化算到高斯投椭球面三角系化算到高斯投影面问题分析影面问题分析（4）确定平面三角形各边坐标方位角）确定平面三角形各边坐标方位角a。（5）确定平面三角形各边长。）确定平面三角形各边长。(1)高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算 将起始点的大地坐标将起始点的大地坐标B，L

17、归算为高斯平面直角坐标归算为高斯平面直角坐标x，y；根；根据（据（x,y）反算（）反算（B,L）。）。(2) 通过计算该点的子午线收敛角及方向改正，将通过计算该点的子午线收敛角及方向改正，将椭球面上起算椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上边大地方位角归算到高斯平面上相应边的相应边的坐标方位角坐标方位角。(3)通过计算各方向的曲率改正和方向改正，将通过计算各方向的曲率改正和方向改正，将椭球面上各三角椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上形内角归算到高斯平面上的由相应的由相应直线组成的三角形内角直线组成的三角形内角。(4)通过计算距离改正，将通过计算距离改正，将椭球面上起算边的长度归算到高斯平椭

18、球面上起算边的长度归算到高斯平面上的直线长度面上的直线长度。(5)控制网跨越两投影带时，需要进行控制网跨越两投影带时，需要进行平面坐标的邻带换算平面坐标的邻带换算。2、将椭球面三角系化算到高斯将椭球面三角系化算到高斯投影面的主要内容投影面的主要内容n将椭球面三角系归算到平面上，包括坐标、曲率改正、距离将椭球面三角系归算到平面上，包括坐标、曲率改正、距离改正和子午线收敛角等项计算工作。改正和子午线收敛角等项计算工作。第一类称高斯投影正算公式，亦即由（第一类称高斯投影正算公式，亦即由（B, L）求（）求（x、y）;第二类称高斯投影反算公式，亦即由（第二类称高斯投影反算公式，亦即由（x、y）求（）求

19、（B, L）。）。（三）高斯投影坐标正反算（三）高斯投影坐标正反算u方向改正数方向改正数就是指大地就是指大地线的投影曲线和连接大地线的投影曲线和连接大地线两点的弦之夹角。线两点的弦之夹角。（四）方向改化公式（四）方向改化公式baab00360360abba22abba12abba2PR()()2ababmabyyPxxyxx2()2abmabyxxR2()2bamabyxxR 2()2mabbaabyxxR设地球椭球为一圆球；设地球椭球为一圆球；OD为轴子午线；为轴子午线； AB为一条大地线为一条大地线(是球面上一是球面上一条大圆弧条大圆弧)，投影为曲线，投影为曲线ab ；AD、B E是与轴子

20、午线正交点是与轴子午线正交点大圆弧，投影分别为垂直于大圆弧，投影分别为垂直于x轴的直线轴的直线ad和和be。1.方向改化近似公式的推导方向改化近似公式的推导方向改化概略数值方向改化概略数值误差小于误差小于0.1，可适用于三、，可适用于三、四等三角测量的计算四等三角测量的计算由表可见，对于各等三角测量计算，方向改正都不能忽略。由表可见，对于各等三角测量计算，方向改正都不能忽略。1)用勒让德尔定理解算球面三角形用勒让德尔定理解算球面三角形 （1）准备知识）准备知识2.方向改化较精密公式的推导方向改化较精密公式的推导 301 AA301 BB301 CC勒让德尔定理：勒让德尔定理：如果平面三角形和球

21、面三角形对应边相等，如果平面三角形和球面三角形对应边相等，则平面角等于对应球面角减去三分之一球面角超。则平面角等于对应球面角减去三分之一球面角超。 2PRP为平面三角形的面积。为平面三角形的面积。1112222sinsinsin222bcAacBabCPRRRR 22fR设：可直接用球面角代替平面角计算球面角超，虽然带有误差，可直接用球面角代替平面角计算球面角超，虽然带有误差，但研究表明：当边长不大于但研究表明：当边长不大于90km时，这种误差小于时，这种误差小于0.0005，可忽略。，可忽略。111sinsinsinf bcAf acBf abC 2)球面角超的计算球面角超的计算设地球椭球为

22、一圆球；设地球椭球为一圆球；AB为轴子午线为轴子午线;小圆弧小圆弧P1Q与轴子午线平行，垂直于与轴子午线平行，垂直于BQ、AP1，投影为，投影为PQ；大圆弧大圆弧P1CQ的投影为曲线的投影为曲线P1 C Q 。（2）方向改化较精密公式的推导）方向改化较精密公式的推导T2,112121()2y xxRT2, 1)3sin()3sin(212PPQP13sin,900)3sin(212PPQPTPPPQsin212222121212QPQPmQ PPPPPmPP 33TT勒让德尔定理勒让德尔定理T2 , 11.212121212211()()()26y xxyyxxRR212121()()2yyx

23、xR代入代入212121()()36TyyxxR12121()2y xxR)(2(6122122 . 1xxyyRm )(2(6121221 . 2xxyyRm 我国二等三角网平均边长为我国二等三角网平均边长为13KM13KM，当，当y ym m250km250km时，上时，上式精确至式精确至0.010.01，故通常用，故通常用于于二等二等三角测量计算。三角测量计算。 整理，以Rm代替R250mykm若时：2123212232122 . 1)()(2(6mmmmmyyyRtxxRyyyR 2123212231221 . 2)()(2(6mmmmmyyyRtxxRyyyR 该式精确至该式精确至0

24、.0010.001，适用于一等三角测量计算。，适用于一等三角测量计算。DsS由由S化至化至D所加的所加的S改正称为改正称为距离改正距离改正 .1)研究平面曲线长度研究平面曲线长度s与其弦线长度与其弦线长度D的关系的关系;2)研究用大地坐标研究用大地坐标B、L和平面坐标和平面坐标x、y计算长度比计算长度比m的公式的公式;3) 导出距离改化的计算公式。导出距离改化的计算公式。m1S：大地线长；：大地线长；s：大地线：大地线S在高斯平面的投影；在高斯平面的投影；D：直线长；：直线长；思路：（五）距离改化公式（五）距离改化公式1.平面曲线长度平面曲线长度s与其弦线长度与其弦线长度D的关系的关系 v是一

25、个小角，最大不会超过方向改化值是一个小角，最大不会超过方向改化值，因，因此可把此可把cosv展开为级数：展开为级数： ssdsvvdsDss2)21 (cos2020式中用式中用v的最大值的最大值代替代替 vvdsdDcossvdsD0cos21cos2vvmyxxR)(21122最大 目前，最高的距离测量精度约为目前，最高的距离测量精度约为10-8，弧线与直线的长度，弧线与直线的长度差异完全可以忽略差异完全可以忽略.完全可以认为：完全可以认为： 大地线的平面投影曲线长度大地线的平面投影曲线长度s等于其弦线长度等于其弦线长度D。ssdsvvdsDss2)21 (cos20201122max10

26、2 . 1206265212 ss2.长度比和长度变形长度比和长度变形 长度比长度比m是指椭球面上某一点的微分元素是指椭球面上某一点的微分元素dS，与其投影，与其投影面上的相应的微分元素面上的相应的微分元素ds之比，即：之比，即：dSdsm 为为长度变形长度变形。 ) 1(m1）用大地坐标表示的长度比公式）用大地坐标表示的长度比公式242242241cos(1)cos(54 ) -224llmBBt （8 152）2）用平面坐标表示的长度比公式）用平面坐标表示的长度比公式2212mymR 24241224mmyymRR Rm大地线始末两端点的平均纬度计算的椭球平均曲率半径。(长度比的近似式)长

27、度比是y坐标的偶函数，且只与y坐标有关。 m随点的位置随点的位置(B,L)或或(x,y)而异，但在一点上与方向无关；而异，但在一点上与方向无关；当当y=0 (或或l=0)时，即在纵坐标轴或中央子午线上时，各点的时，即在纵坐标轴或中央子午线上时，各点的m都等于都等于1，即中央子午线投影后长度不变；，即中央子午线投影后长度不变；当当y0或或 l0 时，由于时，由于m是是y(或或l)的偶函数，且各项都为的偶函数，且各项都为“+”号，号，故故m恒大于恒大于1，即除中央子午线外其它投影后都变长了；，即除中央子午线外其它投影后都变长了；长度变形长度变形(m-1)与与y2或或l2成正比例地增大，愈离远中央子

28、午线成正比例地增大，愈离远中央子午线长度变形愈大。长度变形愈大。在同一纬线上在同一纬线上(B=常数常数)长度变形长度变形(m-1)随随l的增大而增大的增大而增大.在同一经线上在同一经线上(l=常数常数)长度变形长度变形(m-1)随随B的减少而增大，在赤的减少而增大，在赤道处道处(B=0)为最大。为最大。3）高斯投影及长度变形规律分析）高斯投影及长度变形规律分析)45(cos24)1 (cos2124442222tBlBlm 3.距离改化公式距离改化公式242224(1)22424mmmmmyyyDSRRR当当S70km,ym350km(6带边带边缘缘) 计算精度达计算精度达0.001m，对于一

29、，对于一等边长的归算完全可满足要求。等边长的归算完全可满足要求。dDmdS条三角边边长较短，长度比变化微小，可认为是一个常数。条三角边边长较短，长度比变化微小，可认为是一个常数。因而对于一条三角边边长而言：因而对于一条三角边边长而言：大地线上各微分弧段的长度比是不同的。但一大地线上各微分弧段的长度比是不同的。但一2212mmyDmSR 22(1)2mmyDSRym取大地线投影后始末两点横坐标平均值精密公式：精密公式：2222(1)224mmmyyDSRR可用于二等边长的归算可用于二等边长的归算4.距离距离改化的实用计算公式改化的实用计算公式2222()224mmmyySSRR一等三角网的距离改

30、正的实用公式：一等三角网的距离改正的实用公式：二等三角网的距离改正的实用公式：二等三角网的距离改正的实用公式：242422224224(1)()2242422424mmmmmmmmmmyyyyyySDSSSSRRRRRR三等三角网以下的距离改正的实用公式：三等三角网以下的距离改正的实用公式：222mmySSR242224()22424mmmmmyyySSRRR)4(621mmmSDM442222424414222212242421)4(24142166mmmmmmmmmRyRyRySDyyyRyyyRSD44222421mmRyRym则，距离改化则，距离改化 S可表示为：可表示为：若边的两端点

31、离中央子午线都不超过若边的两端点离中央子午线都不超过45公里，则可简化为：公里，则可简化为：222mmRySSDS24222422424mmmmmyyySDSSRRR111221 ,yyyyyym补充一补充一点点墨卡托投影为墨卡托投影为正轴等角切正轴等角切圆柱投影圆柱投影，是由墨卡托于，是由墨卡托于1569年专门为航海目的设计年专门为航海目的设计的的。设计思想设计思想是令一个与地轴是令一个与地轴方向一致的圆柱切于或割于方向一致的圆柱切于或割于地球，将球面上的经纬网按地球，将球面上的经纬网按等角条件投影于圆柱表面上，等角条件投影于圆柱表面上，然后将圆柱面沿一条母线剪然后将圆柱面沿一条母线剪开展成

32、平面，即得墨卡托投开展成平面，即得墨卡托投影影 。(1)墨卡托墨卡托(Mercator)投影投影5.横轴墨卡托投影横轴墨卡托投影墨卡托投影的经纬线是互墨卡托投影的经纬线是互为垂直的平行直线，经线间为垂直的平行直线，经线间隔相等，纬线间隔由由赤道隔相等，纬线间隔由由赤道向两极逐渐扩大。向两极逐渐扩大。图上任取一点，由该点向图上任取一点，由该点向各方向长度比皆相等，即角各方向长度比皆相等，即角度变形为零。度变形为零。在正轴等角切圆柱投影中在正轴等角切圆柱投影中，赤道为没有变形的线，随，赤道为没有变形的线，随纬度增高面积变形增大。纬度增高面积变形增大。墨卡托投影：正轴等角切圆柱投影编制世界时区图lU

33、TMUTM投影投影全称为全称为“通用横轴墨卡托投影通用横轴墨卡托投影” (Universal (Universal Transverse Mercator Projection)Transverse Mercator Projection)投影属于横轴等角割椭投影属于横轴等角割椭圆柱投影。圆柱投影。l椭圆柱割地球于南纬椭圆柱割地球于南纬80度、北纬度、北纬84度两条等高圈。度两条等高圈。l它的投影条件是取第它的投影条件是取第3 3个条件个条件“中央经线投影长度比不等于中央经线投影长度比不等于1 1而是等于而是等于0.9996”0.9996”，投影后两条割线上没有变形。，投影后两条割线上没有变形

34、。lUTM投影分带方法与高斯投影分带方法与高斯-克吕格投影相似，是自西经克吕格投影相似，是自西经180起每隔经差起每隔经差6度自西向东分带，将地球划分为度自西向东分带，将地球划分为60个投影带。个投影带。 l它的平面直角系与高斯投影相同，且和高斯投影坐标有一个它的平面直角系与高斯投影相同，且和高斯投影坐标有一个简单的比例关系，因而有的文献上也称它为简单的比例关系，因而有的文献上也称它为m m0 00.99960.9996的高的高斯投影。斯投影。lUTM投影是为了全球战争需要创建的，美国于投影是为了全球战争需要创建的，美国于1948年完成年完成这种通用投影系统的计算。这种通用投影系统的计算。(2

35、)通用横轴墨卡托投影通用横轴墨卡托投影NS UTMUTM投影的中央经线长度比为投影的中央经线长度比为0.999 60.999 6，这是为了使得，这是为了使得，处的最大变形值小于处的最大变形值小于0.0010.001而选择而选择的数值。两条割线的数值。两条割线( (在赤道上，它们位于离中央子午线在赤道上，它们位于离中央子午线大约大约( (约约) )处处) )上没有长度变上没有长度变形；离开这两条割线愈远变形愈大；在两条割线以内长形；离开这两条割线愈远变形愈大；在两条割线以内长度变形为负值；在两条割线之外长度变形为正值。度变形为负值；在两条割线之外长度变形为正值。 UTMUTM投影的分带是将全球划

36、分为投影的分带是将全球划分为6060个投影带，带号个投影带，带号1 1，2 2，3 3，6060连续编号，每带经差为连续编号，每带经差为，从经度，从经度180180和和1717之间为起始带之间为起始带(1(1带带) )，连续向东编号，连续向东编号。50000(10000000(50000(yyxxyyxx实实实实轴之东），南半球）轴之西），北半球）UTMUTM投影变形的特点：投影变形的特点：UTMUTM投影带的划分：投影带的划分：直角坐标系的实用公式：直角坐标系的实用公式： 基本公式如下：243224353225240.9996sin cossin cos(594 )2240.9996cosc

37、os(1)cos(5 18)6120l NlxSBBNBBtl Nl NylNBBtBtt22242441110.9996 1cos(1)cos(2)cos268mBlBtBl)31 (cossin3sin223BBlBl 可由高斯可由高斯-克吕格投影簇通用公式导出，也可依高斯投克吕格投影簇通用公式导出，也可依高斯投影而得。影而得。UTMUTM投影的直角坐标投影的直角坐标(x,y),(x,y),长度比长度比, ,子午线收敛角子午线收敛角横轴墨卡托投影(1)UTM是对高斯投影的改进，改进的目的是为了减少投影变形。是对高斯投影的改进，改进的目的是为了减少投影变形。(2)UTM投影的投影变形比高斯的

38、要小，最大在投影的投影变形比高斯的要小，最大在0.001。但其投影。但其投影变形规律比高斯要复杂一点，因为它用的是割圆柱，所以，它变形规律比高斯要复杂一点，因为它用的是割圆柱，所以，它的的m1的地方是在割线上，实际上是一个圆，处在正负的地方是在割线上，实际上是一个圆，处在正负140的位置，距离中央经线大约的位置，距离中央经线大约180km。(3)UTM投影在中央经线上，投影变形系数投影在中央经线上，投影变形系数m0.9996，而高斯投，而高斯投影的中央经线投影的变形系数影的中央经线投影的变形系数m1。(4)UTM为了减少投影变形也采用分带，它采用为了减少投影变形也采用分带，它采用6分带。但起始

39、分带。但起始的的1带是（带是（ W180W174 ），所以，），所以，UTM的的6分带的带号比分带的带号比高斯的大高斯的大30。(5) 高斯投影与高斯投影与UTM投影可近似计算。计算公式是：投影可近似计算。计算公式是： XUTM=0.9996 * X高斯高斯YUTM=0.9996 * Y高斯高斯这个公式的误差在这个公式的误差在1米范围内，完全可以接受。米范围内，完全可以接受。UTMUTM与高斯投影的异同与高斯投影的异同一个城市只应建立一个与国家坐标系统相联系的、相一个城市只应建立一个与国家坐标系统相联系的、相对独立和统一的城市坐标系统，并经上级行政主管部门对独立和统一的城市坐标系统，并经上级行

40、政主管部门审查批准后方可使用。审查批准后方可使用。城市平面控制测量坐标系统的选择应以投影长度变形城市平面控制测量坐标系统的选择应以投影长度变形值不大于值不大于2.5cm/km2.5cm/km为原则，并根据城市地理位置和平均为原则，并根据城市地理位置和平均高程而定。高程而定。城市测量规范城市测量规范规定：规定： 工程测量，既有测绘大比例尺图的任务，又有满足工程测量，既有测绘大比例尺图的任务，又有满足各种工程建设和市政建设施工放样工作的要求。如何根各种工程建设和市政建设施工放样工作的要求。如何根据这些目的和要求合适地选择投影面和投影带，经济合据这些目的和要求合适地选择投影面和投影带，经济合理地确立

41、工程平面控制网的坐标系，在工程测量是一个理地确立工程平面控制网的坐标系，在工程测量是一个重要的课题。重要的课题。（六）如何选择城市平面控制网坐标系统？（六）如何选择城市平面控制网坐标系统？ 1 1. .引起投影变形的因素引起投影变形的因素一、工程测量中投影面和投影带选择的基本出发点一、工程测量中投影面和投影带选择的基本出发点1）实量边长归算到参考椭球体面上的变形影响）实量边长归算到参考椭球体面上的变形影响 S101200221000212221 (7-171)S=1= 1 (7-173) (8-268) (8-269)1coscosmmmmmmmmmSRHHSRRHHHSSRRRHHHSSSS

42、RRRHSSRNReBA Hm:归算边高出参考椭球面的平均高程;R:归算边方向参考椭球法截弧的曲率半径。可见：可见：s1值是负值，表明将地面实量长度归算到参考值是负值，表明将地面实量长度归算到参考椭球面上，总是缩短的；椭球面上，总是缩短的； ls1l值与值与Hm成正比，随成正比，随Hm增大而增大。增大而增大。取R=6370km，计算的每公里长度投影变形值（2）将参考椭球面上边长归算到高斯投影面上的变形影响）将参考椭球面上边长归算到高斯投影面上的变形影响S为参考椭求面上的长度(经过高程改正过的边长)；ym为归算边两端点横坐标平均值； Rm为参考椭球面平面平均曲率半径。24222224222222

43、2 (8-270)2242421 (8-271)211cosmmmmmmmmmmyyyySSSRRRRysSRaRMNbeB由公式可以看出：由公式可以看出： 的值总为正，即椭球面上长度归算的值总为正，即椭球面上长度归算至高斯面上，总是增大的。至高斯面上，总是增大的。 值与值与 成正比而增大，成正比而增大，离中央子午线愈远变形愈大。离中央子午线愈远变形愈大。2s2s2myn为便于施工放样的顺利进行，要求由控制点坐标直接为便于施工放样的顺利进行，要求由控制点坐标直接反算的边长与实地量得的边长，在长度上应该相等，反算的边长与实地量得的边长，在长度上应该相等，即由上述两项归算投影改正而带来的变形或改正

44、数，即由上述两项归算投影改正而带来的变形或改正数，不得大于施工放样的精度要求。不得大于施工放样的精度要求。n一般地，施工放样的方格网和建筑轴线的测量精度为一般地，施工放样的方格网和建筑轴线的测量精度为1/50001/50001/200001/20000。因此，由归算引起的控制网长度变。因此，由归算引起的控制网长度变形应小于施工放样允许误差的形应小于施工放样允许误差的1/21/2，即相对误差为，即相对误差为1/100001/100001/400001/40000，也就是说，每公里的长度改正数，也就是说，每公里的长度改正数，不应该大于，不应该大于10102.5cm2.5cm。2.2.有关工程测量平

45、面控制网的精度要求的概念有关工程测量平面控制网的精度要求的概念3.3.工程测量投影面和投影带选择的基本出发点工程测量投影面和投影带选择的基本出发点(1)(1)当长度变形值不大于当长度变形值不大于2.5cm/km2.5cm/km时时, ,应采用国家统一应采用国家统一3 3带高斯带高斯平面直角坐标系，将观测结果归算至参考椭球面上。平面直角坐标系，将观测结果归算至参考椭球面上。(2)(2)当长度变形值大于当长度变形值大于2.5cm/km 2.5cm/km 时，可采用任意带的独立高斯时，可采用任意带的独立高斯平面直角坐标系，归算测量结果的参考面可自己选定。平面直角坐标系，归算测量结果的参考面可自己选定

46、。 (a)(a)抵偿投影面的高斯正形投影抵偿投影面的高斯正形投影: :通过改变通过改变H Hm m从而选择合适的从而选择合适的高程参考面；高程参考面；(b)(b)任意带高斯正形投影任意带高斯正形投影: :改变改变y ym m从而对中央子午线作适当移从而对中央子午线作适当移动，以抵偿由高程面的边长归算到参考椭球面上的投影变动，以抵偿由高程面的边长归算到参考椭球面上的投影变形；形； (c)(c)具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影: :通过既改变通过既改变H Hm m( (选择高程参考面选择高程参考面) )，又改变，又改变y ym m( (移动中央子午线移动中央子午

47、线) )，来，来 抵偿两项归算改正变形。抵偿两项归算改正变形。(3)(3)面积小于面积小于25k25k的城镇的城镇, ,可不经投影采用假定平面直角坐标系可不经投影采用假定平面直角坐标系统在平面上直接进行计算。统在平面上直接进行计算。1.1.国家国家3 3带高斯正形投影平面直角坐标系带高斯正形投影平面直角坐标系二、工程测量中几种可能采用的直角坐标系二、工程测量中几种可能采用的直角坐标系n当测区平均高程在当测区平均高程在100m100m以下，且以下，且y ym m值不大于值不大于40km40km时，其时，其投影变形值投影变形值 均小于均小于2.5cm2.5cm，可以满足大比例，可以满足大比例尺测图

48、和工程放样的精度要求。尺测图和工程放样的精度要求。n因此因此, ,在偏离中央子午线不远和地面平均高程不大的地在偏离中央子午线不远和地面平均高程不大的地区，无需考虑投影变形问题，直接采用国家统一的区，无需考虑投影变形问题，直接采用国家统一的3 3带高斯正形投影平面直角坐标系作为工程测量的坐标带高斯正形投影平面直角坐标系作为工程测量的坐标系，使两者一致。系，使两者一致。21ss 和例例1：某测区的平均高程为：某测区的平均高程为Hm=400m，测区中心在，测区中心在高斯投影高斯投影3带的坐标为带的坐标为y=70km，平均边长，平均边长1000m。试问投影面和投影带如何选定？（设试问投影面和投影带如何

49、选定？（设R=6371000m）102222212400=-1000=-6.363710007510006.922 63710.6mmmHSScmRySScmRSSScm 分析：长度变形值不大于长度变形值不大于2.5cm/km，直接采用国家统一的直接采用国家统一的3带高斯正形投影平面直角坐带高斯正形投影平面直角坐标系作为工程测量的坐标系。标系作为工程测量的坐标系。仍采用国家3带高斯投影，但投影的高程面不是参考椭球面，而是依据补偿高斯投影长度变形而选择的高程参考面。在该参考面上长度变形为零在该参考面上长度变形为零。 2.2.抵偿投影面的抵偿投影面的3 3带高斯正形投影平面直角坐标系带高斯正形投影

50、平面直角坐标系22mmmyHHHR抵120sss 2120202mmmHHysssssRR 抵22mmmyHHR抵抵偿投影面的高程如何确定？抵偿投影面的高程如何确定？设抵偿面的高程为设抵偿面的高程为H抵抵。在抵偿投影面上的投影变形为。在抵偿投影面上的投影变形为0。 某测区海拔HM=2 000，最边缘中央子午线100km，当s =1000m时，则有将地面实测距离归算到：=20007801220(m)H抵算例：算例：)m(313. 01sRHsmm)m(123. 0221222sRysmm)m(19. 021ss超过允许值（102.5cm）为不改变中央子午线位置，而选择一个合适的高程参考面:278

51、0(m)2mmyHR经计算得高差：例例2：某测区的平均高程为某测区的平均高程为Hm=1000m，测区中心在高斯投，测区中心在高斯投影影3带的坐标为带的坐标为y=80km，平均边长，平均边长1000m。要使测区内抵偿。要使测区内抵偿投影面上的长度与实地长度之差最小，试问抵偿高程面应如何投影面上的长度与实地长度之差最小，试问抵偿高程面应如何选定？（设选定？（设R=6371000m）所以抵偿高程面高程应为：所以抵偿高程面高程应为：1000500500mHHHm抵25002mmyHmR2012202mmmHHysssssRR 抵令：1022222121000=-1000=-15.76371000801

52、0007.922 63717.8mmmHSScmRySScmRSSScm 分析： 例2验证：1022222121000-500=-1000=-7.8563710008010007.8822 63710mmmHHSScmRySScmRSSScm 抵 该坐标系中，仍把地面观测结果归算到参考椭球面上该坐标系中，仍把地面观测结果归算到参考椭球面上，但投影带的中央子午线不按国家，但投影带的中央子午线不按国家3带的划分方法，而带的划分方法，而是依据补偿高程面归算长度变形而选择的某一条子午线作是依据补偿高程面归算长度变形而选择的某一条子午线作为中央子午线。为中央子午线。 2mmmyR H已知已知y ym m

53、，再来反确定中央子午线的位置。，再来反确定中央子午线的位置。用上式计算得到的ym时，此时的投影变形为0；ym表示某测区中心的横坐标值（或测区内y坐标的平均值）；3.3.任意带高斯正形投影平面直角坐标系任意带高斯正形投影平面直角坐标系2012202mmmHysssssRR cosNyB l2cosmmR HlNB取高斯坐标正算取高斯坐标正算y的第一项的第一项 某测区相对参考椭球面的高程Hm =500m，为抵偿地面观测值向参考椭球面上归算的改正值，依上式算得)km(805 . 063702y 即选择与该测区相距80km处的子午线。此时在ym=80km处，两项改正项得到完全补偿。算例：算例：例例3：

54、某测区中心所在的大地坐标为某测区中心所在的大地坐标为L=1145940 ，B=342118（北京（北京54），测区内平均高程为），测区内平均高程为Hm=400m，平均，平均边长边长1000m。为使高斯投影面上的长度与实地长度保持一致，。为使高斯投影面上的长度与实地长度保持一致，试确定抵偿投影带中央子午线的经度（设试确定抵偿投影带中央子午线的经度（设Rm=N=6371km）。）。1002222212400=-1000=-6.363710006371coscos34 21 183580 =91206265(114 59 401143580 )91100010.222 63713.9mmmHSScm

55、RNyB lkmlLLySScmRSScm 分析：22 6371 0.42062650 46 40cos6371 cos34 21 18mmR HlNB 抵偿投影带的中央子午线的经度为：抵偿投影带的中央子午线的经度为：0114 59 400 46 40114 13 00LLl 例3验证：1002222212400=-1000=-6.363710006371coscos34 21 182800 =71.4206265(114 59 40114 132800 )71.410006.322 63710mmmmHSScmRNyB lkmlLLySScmRSSScm 在实际应用这种坐标系时，往往是选取过

56、测区边缘，或测区中央，或测区内某一点的子午线作为中央子午线，而不经过上述的计算。n这是综合第二、三两种坐标系长处的一种任意高斯直角这是综合第二、三两种坐标系长处的一种任意高斯直角坐标系。坐标系。n这种坐标系更能有效地实现两种长度变形改正的补偿。这种坐标系更能有效地实现两种长度变形改正的补偿。4.4.具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影平面直角坐标系具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影平面直角坐标系 这种方案的思路结合了前面两种方案的一些特点，即这种方案的思路结合了前面两种方案的一些特点，即将中央子午线移动至测区中部，又变换了高程投影面。将中央子午线移动至测区中部，又变换了高程投影面。 当测区东西向

57、跨度较大时，需要抵偿的带宽较大时，当测区东西向跨度较大时，需要抵偿的带宽较大时，应采用此种方案建立坐标系统。应采用此种方案建立坐标系统。投影的中央子午线选在测区中央，地面观测值归算到测投影的中央子午线选在测区中央，地面观测值归算到测区平均高程面上，按高斯正形投影计算平面直角坐标系。区平均高程面上，按高斯正形投影计算平面直角坐标系。 即：抵偿高程面的高程取测即：抵偿高程面的高程取测区的平均高程，或略低于该平区的平均高程，或略低于该平均高程面均高程面(考虑到高程异常考虑到高程异常)，各边长的高程投影变形近似为各边长的高程投影变形近似为0。即：测区在中央子午线附近，即：测区在中央子午线附近，则各边长

58、的高斯投影变形近则各边长的高斯投影变形近似为似为010mHHssR 抵mHH抵220102mmyssR0my 1）要求）要求2）实现步骤）实现步骤测区在中央子午线附近，选择一条整测区在中央子午线附近，选择一条整5或整或整10的子午的子午线作中央子午线。线作中央子午线。将当地的国家控制网已知点坐标（在统一的将当地的国家控制网已知点坐标（在统一的6带或带或3的高斯坐标）通过高斯换带计算，换算成中央子午线的高斯坐标）通过高斯换带计算，换算成中央子午线为为L0的地方带坐标系内的坐标。的地方带坐标系内的坐标。（1）选择合适的地方投影带中央子午线）选择合适的地方投影带中央子午线L0（2）已知点的换带计算）

59、已知点的换带计算这样获得的坐标其高程投影基准面仍是参考椭球面，这样获得的坐标其高程投影基准面仍是参考椭球面，而中央子午线则为地方中央子午线（第而中央子午线则为地方中央子午线（第1套坐标）；套坐标）；该套坐标可通过坐标换带与国家标准坐标系统进行互该套坐标可通过坐标换带与国家标准坐标系统进行互算，是与国家控制网联系紧密的统一系统。算，是与国家控制网联系紧密的统一系统。（3）计算控制网的地方带坐标（第）计算控制网的地方带坐标（第1套坐标）套坐标）（4）选择抵偿高程投影面）选择抵偿高程投影面H抵抵l抵偿高程投影面一般选测区平均高程面抵偿高程投影面一般选测区平均高程面Hm，或稍低一，或稍低一点的高程面面。点的高程面面。lH抵抵取整至取整至10m即可。即可。将地面观测值先投影到参考椭球面，再投影到所选中将地面观测值先投影到参考椭球面，再投影到所选中央子午线的高斯平面，然后进行平差计算。央子午线的高斯平面，然后进行平差计算。（5）计算地方带在平均高程面上的坐标（第）计算地方带在平均高程面上的坐标（第2套地方坐标）套地方坐标）在测区内（最好在测区中心区）选择某点在测区内（最好在测区中心区）选择某点P0为控制网为控制网缩放的不动点，即缩放的不动