理想气体的压强与温度公式

1、玻尔兹曼玻尔兹曼(1844-1906) 从微观角度研究分子的从微观角度研究分子的热运动必须建立理想的微观热运动必须建立理想的微观模型。本章将提出理想气体模型。本章将提出理想气体的模型，推导出压强、温度的模型，推导出压强、温度与微观量的关系，并介绍麦与微观量的关系，并介绍麦克斯韦所导出的分子速率分克斯韦所导出的分子速率分布规律。其中重点是压强、布规律。其中重点是压强、温度公式，三个速率公式。温度公式，三个速率公式。 本节运用统计方法，导出平衡态下理想气体的本节运用统计方法，导出平衡态下理想气体的压强和温度的统计表述。压强和温度的统计表述。分子本身的大小比起它们之间的平均距离可忽略分子本身的大小比

2、起它们之间的平均距离可忽略不计不计。 分子不停地运动，分子间以及与器壁的碰撞是完分子不停地运动，分子间以及与器壁的碰撞是完全弹性的，单个分子运动遵从经典力学。全弹性的，单个分子运动遵从经典力学。 除碰撞瞬间外除碰撞瞬间外, , 分子之间的作用分子之间的作用, ,重力可忽略不计。重力可忽略不计。分子在容器中的空间分布平均来说是均匀的，分子数分子在容器中的空间分布平均来说是均匀的，分子数密度：密度： N 表示容器体积表示容器体积V内的分子数。内的分子数。具有相同速率的分子，向各个方向运动的平均分子数具有相同速率的分子，向各个方向运动的平均分子数是相等的：是相等的：VNdVdNn0zyxvvv222

3、xyzvvv统计结果2222zyxvvvv2222iziyixivvvv222231vvvvzyx二、理想气体的压强公式二、理想气体的压强公式 1l. 正方向oxSzmv11ly 容器中气体宏观上施于器壁容器中气体宏观上施于器壁的压强是大量分子对器壁不断的压强是大量分子对器壁不断碰撞的结果。碰撞的结果。 无规则运动的分子不断与器壁相碰，对个别分子它与器壁的碰撞是随机无规则运动的分子不断与器壁相碰，对个别分子它与器壁的碰撞是随机的断续的，但对大量分子整体而言，每时刻都有许多分子与器壁相碰，所以的断续的，但对大量分子整体而言，每时刻都有许多分子与器壁相碰，所以宏观上表现为一个恒定的持续的压力，就好

4、比雨天打伞，每一滴雨落在何处，宏观上表现为一个恒定的持续的压力，就好比雨天打伞，每一滴雨落在何处，冲量多大都是不同的，但由于雨滴数众多，每时刻总有许多雨滴落在伞上，冲量多大都是不同的，但由于雨滴数众多，每时刻总有许多雨滴落在伞上，伞面将受到一个持续的压力。伞面将受到一个持续的压力。tnP 32nkTP 推导推导推导推导VNn 分子数密度分子数密度2301038. 1NRk玻尔兹曼常数玻尔兹曼常数单个分子的压单个分子的压强毫无意义强毫无意义t 如：给自行车打气增加压强，如：给自行车打气增加压强，从微观上讲是增加了分子数密从微观上讲是增加了分子数密度；篮球在太阳底下晒一晒后度；篮球在太阳底下晒一晒

5、后可以鼓起来，从微观上讲是平可以鼓起来，从微观上讲是平动动能增大了。动动能增大了。宏观量宏观量p与微观量与微观量 之间存在对应关系。之间存在对应关系。 P是宏观量，平均平动动能是宏观量，平均平动动能是不可测量的，但据此得到是不可测量的，但据此得到的各种结果都与实际相一致。的各种结果都与实际相一致。t 压强压强P是统计平均量。是统计平均量。压强公式不是单纯的力学规压强公式不是单纯的力学规律，而是统计平均的关系式。律，而是统计平均的关系式。 分子热运动分子热运动平均平动动能平均平动动能212tmv揭示了宏观量揭示了宏观量 与微观量与微观量 之之间的关系。间的关系。tkT23tnkTP kTt23

6、tnP 321. 温度的微观本质：温度的微观本质： 温度是气体分子平均平动动能温度是气体分子平均平动动能大小的量度；它反映着分子做无规大小的量度；它反映着分子做无规则运动的情况。则运动的情况。温度温度T是一是一个统计平均量个统计平均量。2. 绝对零度不可能实现绝对零度不可能实现!0?t 对任何气体对任何气体只要只要T相等，其相等，其平均平动动能就平均平动动能就一定相等。一定相等。例例1：气体分子间的平均距离与压强气体分子间的平均距离与压强 p、温度、温度T的关系为的关系为 ，在压强为，在压强为1atm、温度为、温度为00C的情况下，气体分子间的平均距离？的情况下，气体分子间的平均距离？ m。（

7、。（ k=1.3810-23 J/K ） 解：解：31)(PkTnkTP 331NNVNn91034. 3 在热动平衡条件下，气体分子的运动是杂乱无章的，若在热动平衡条件下，气体分子的运动是杂乱无章的，若考虑某一分子在某一时刻的速度大小和方向是随机偶然的，考虑某一分子在某一时刻的速度大小和方向是随机偶然的，是不容易也没有必要去掌握的。但就大量分子的整体，在热是不容易也没有必要去掌握的。但就大量分子的整体，在热平衡时，分子的速率（速度）分布有其统计规律性。平衡时，分子的速率（速度）分布有其统计规律性。 理想气体在热动平衡状态下，各个速率区间理想气体在热动平衡状态下，各个速率区间内的分子占总分子数

8、的百分比的规律内的分子占总分子数的百分比的规律速率分速率分布律布律。一、一、Maxwell Maxwell 速率分布函数速率分布函数1. 1. 条件：条件：理想气体在热动平衡状态下，不考虑重力。理想气体在热动平衡状态下，不考虑重力。6-2 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 1859年，年，M Maxwell首先推导出理想首先推导出理想气体的速率分布函数气体的速率分布函数。 2. 2. 定义定义: : 如果分子速率在如果分子速率在 区间内的分子数区间内的分子数占总分子数的百分比为占总分子数的百分比为 ，设速率分布函数为，设速率分布函数为NN/0( )limvNdNf vNvN dv ,vvv

9、23222( )4 ()2mvKTdNmf vevNdvKT3. 3. 麦克斯韦速率分布函数：麦克斯韦速率分布函数：dv宽宽o)(vf)(vf高v( )dNf v dvN即即为概率。为概率。概率对应图概率对应图中小矩形的中小矩形的面积面积速率分布函数快减快增两者相乘曲线若m、T 给定， 玻耳兹曼常数，函数的形式可概括为曲线曲线有单峰，不对称速率分布曲线速率 恒取正 讨论讨论 0)( ,0)( ,0vfvvfv满足归一化条件满足归一化条件： 0( )1f v dv 表示分布在表示分布在 区间内的分子区间内的分子数数 占总分子数的百分比。占总分子数的百分比。NNvvf)(vvvvvNfN)(速率在

10、速率在 之间的分子数之间的分子数 目目 vv1221)(vvdvvfNNo)(vfvS1 S20vdv0vo)(vfvS1 S20v(v)fvovv12线，小面积，线，小面积，大面积的物大面积的物理意义？理意义？S1=S2时时,大于大于v0的的分子数分子数?dv0v三、三种重要的速率三、三种重要的速率1.1. 最概然速率最概然速率: :（最可几速率）（最可几速率）molPMRTv22.2.平均速率：平均速率：molMRTv 8 3.3.方均根速率：方均根速率：molMRTv3 2o)(vfpv v2vv 附附2 2 三种速率三种速率大小的比较大小的比较2:1.41 :1.60 :1.73pvv

11、vRTMMPVmolmolmolMRTMRTVMP PMRTmkTmol 附附1 1 变换式变换式231038. 1k最概然速率与此函数的极大值对应的速率与此函数的极大值对应的速率 称为最可几速率称为最可几速率或令即易得因则不同条件比较（或 ）相同相同用进行比较平均速率平均速率平均速率（算术平均速率）（算术平均速率） 根据某连续变量 x 的平均值等于该量与概率密度函数乘积的积分的定义。 在讨论气体分子平均自由程问题时涉及到分子的算术平均速率概念；在讨论平均平动动能时涉及到方均根速率概念。麦克斯韦速率分布函数就是计算此类速率的概率密度函数。或也有类似注意到方均根速率方均根速率方均根速率（ 的统计

12、平均值的开平方）即 作为参与统计平均的连续变量或也有类似则得回忆 联系注意到速率小结大气的组成大气的组成 地球形成之初，大气中应有大量的氢、氦，但很多地球形成之初，大气中应有大量的氢、氦，但很多 H2 分子和分子和 He 原子的方均根速率超过了地球表面的逃逸速原子的方均根速率超过了地球表面的逃逸速率率 ( 11.2km/s )，故现今地球大气中已没有，故现今地球大气中已没有大量的大量的氢和氦了。氢和氦了。 但但 N2 和和 O2 分子的方均根速率只有逃逸速率的分子的方均根速率只有逃逸速率的 1/25 ，故地球大气中有大量的氮气故地球大气中有大量的氮气( 大气质量的大气质量的 76% )和氧气和

13、氧气( 大气质量的大气质量的 23% )。 应应 用用氧气摩尔质量3.20 10mol温度27 C处于平衡态气体分子的和27 273 300 （ k ）483 ( m s )394 ( m s )447 ( m s )例例2:在容积为在容积为10-2m3的容器中，装有质量的容器中，装有质量100g的气体，若气体分子的方均根速率为的气体，若气体分子的方均根速率为200m/s，求气体的压强求气体的压强?解：解： )(1033. 15PamkTv32222)200(1031 . 03vVMPMPVMRTvmol3322002v例例3：某气体在温度为：某气体在温度为T=273K时，压强为时，压强为p=

14、1.010-2atm，密度，密度 ，求该气体分子的方均根速率。求该气体分子的方均根速率。解：解：21024. 13/mkgsm/495PMVPMRTRTMMPVmolmol,PMRTvmol332p=1.0103 Pa例例4：现有两条气体分子速率分布曲线（现有两条气体分子速率分布曲线（1）和（）和（2），），如图所示。若两条曲线分别表示同一种气体处于不同如图所示。若两条曲线分别表示同一种气体处于不同的温度下的速率分布，则曲线的温度下的速率分布，则曲线 （2）表示的温度较高。表示的温度较高。若两条曲线分别表示同一温度下的氢气和氧气的速率若两条曲线分别表示同一温度下的氢气和氧气的速率分布，则曲线分布，则曲线 （1） 表示的是氧气的速率分布。表示的是氧气的速率分布。molPMRTv21Pv2Pv1. 同一气体同一气体 一定一定2. 同一温度同一温度 不同不