拉氏变换及反变换

1、补充：拉普拉斯（拉氏）变换及其反变换补充：拉普拉斯（拉氏）变换及其反变换为什么用拉氏变换？为什么用拉氏变换？应用拉氏变换法求解微分方程时，初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，可直接得到微分方程的全解。将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程， 从而使计算大大简化。拉氏变换的定义拉氏变换的定义设函数f(t)满足： 1、f(t)实函数； 2、当t0时，f(t)=0； 3、当t0时，f(t)的积分 在s的某一域内收敛。0)(dtetfst则函数则函数f(t)f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：的拉普拉氏变换存在，并定义为： s=+j（，均为实数）拉氏反变换的定义拉氏反变换的定义其

2、中L1为拉氏反变换的符号。F(s)F(s)称为函数f(t)f(t)的拉普拉氏变换拉普拉氏变换或象函数象函数; ;f(t)f(t)称为F(s)F(s)的原函数原函数；L L为拉氏变换的符号。常见时间函数拉氏变换表常见时间函数拉氏变换表序号序号f(t)F(s)1单位脉冲函数:d d(t)12单位阶跃函数:1(t)1/s3单位速度函数:t1/s24单位加速度信号:t2/21/s3567sin(w wt)8cos(w wt)ate atte as 1 21as 22w ww w s22w w ss常见时间函数拉氏变换表常见时间函数拉氏变换表序号序号f(t)F(s)9tn(n=1,2,3.)10 (n=

3、1,2,3.)1112teatw wsin atnet 1! nsn 22w ww w asteatw wcos 1! nasn 22w w asas洛必达法则单位脉冲函数拉氏变换单位脉冲函数拉氏变换阶跃函数的拉氏变换阶跃函数的拉氏变换斜坡函数单位速度函数的拉氏变换单位速度函数的拉氏变换抛物线函数单位加速度函数拉氏变换单位加速度函数拉氏变换指数函数的拉氏变换指数函数的拉氏变换（欧拉公式）三角函数的拉氏变换三角函数的拉氏变换幂函数的拉氏变换幂函数的拉氏变换拉氏变换的主要运算定理线性定理线性定理原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式微分及多重微分微分及多重微分积分定理积分定理多重积分多重积分原函

4、数乘以指数函数e-at像函数S在复数域中作位移a位移定理位移定理原函数平移 像函数乘以 e-s 延时定理延时定理终值定理终值定理初值定理初值定理F(s)= F1(s)+F2(s)+Fn(s)L-1F(s) = L-1F1(s)+L-1F2(s)+L-1Fn(s)= f1(t) + f2(t) + + fn(t)条件： 分母多项式能分解成因式10111011.( )( ),( ).mmmmnnnnb sb sbsbB sF smnA sa sa sasb).()().()()()()(2121nmpspspszszszsKsAsBsFnppp,.,21mzzz,.,21多项式极点多项式零点拉氏反

5、变换方法拉氏反变换方法)(tf)(sF)()()(1sFsFsFn由线性性质可得由线性性质可得如果如果的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换可分解为可分解为并假定并假定 的拉普拉斯变换容易求得，即的拉普拉斯变换容易求得，即)(sFi)(sFi)(tfLi则则)()()(sFLsFLsFLn1111)()(tftfn1例例1 求求 的的Laplace 反变换反变换233)(2ssssF)()(2112111sLsLsFLtfttee220t解解)()(2132332sssssssF2112ss例例2 求求的的Laplace 反变换反变换解解2)2(111)(sssF)()(2112111sLsLtf)(0

6、 2tteett将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程；解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。拉氏变换求解线性微分方程拉氏变换求解线性微分方程应用拉氏变换法求解微分方程时，初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此可直接得到微分方程的全解。如果所有的初始条件为零，微分方程的拉 氏变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。29例：用拉氏变换解微分方程例：用拉氏变换解微分方程vuAivuRFCHLrc11 . 0)0(1 . 0)0(1,1,11 . 01 . 0)( )0()0()()()0()()()()(222222ssUsUsUsUsd

7、ttudLUssUdttduLsUtuLuudtduRCdtudLCccccccccccrccc1 . 0)0(1 . 0)0(0ctcuCidtduiucurCRL12 . 01 . 0111 12 . 01 . 0)(11)(2 . 01 . 0)()() 1()()(1 . 0)(1 . 01 . 0)(222222ssssssssssUsssUssUsUsssUsUssUssUsrcrcrccc原式化为：30)6866. 0sin(2 . 0)32866. 0sin(15. 11)()6866. 0sin(2 . 012 . 01 . 0)23()5 . 0(15. 0)23()5 .

8、 0()5 . 0( 1 . 012 . 01 . 0)32866. 0sin(15. 11 23sin35 . 0223cos1111231)23()5 . 0(235 . 0)23()5 . 0(5 . 011115 . 05 . 05 . 021222225 . 05 . 05 . 02122222tetetutesssLsssssstetetesssLsssssssttctttt例例651)(2ssssF解：解：（1）F（s）的极点）的极点0652 ss21s32s（2）对）对F（s）的分母多项式进行因式分解、并把）的分母多项式进行因式分解、并把F（s）展开成部分分式）展开成部分分式32)3)(2(1651)(212scscsssssssF32) 3)(2(1651)(212scscsssssssF1) 3)(2(1)2(21sssssc2)3)(2(1)3(32sssssc（3）对对F（s）的部分分式展开式两边同时进行拉氏逆变换。）的部分分式展开式两边同时进行拉氏逆变换。tteesLsLtf321123221)(2)3()2(1)2(2332sssssdsdc例例解：解：) 3()2(1)(3ssssF3)2()2(2)3()2(1)(4332213scscscscssssF2) 3()2(1)2(! 21233221sssssdsdc1)3()2(1)2(2