-利用极坐标计算二重积分

1、第二节第二节 二重积分的计算法（二重积分的计算法（2）三、小结三、小结 思考题思考题 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出21D0y xD1D2D3D4 DyxyxfId)d,(D:之间的环域之间的环域 和和4 12222 yxyx怎么计算？怎么计算？必须把必须把D分块分块 4321DDDDI需使用需使用此题用直角系算麻烦此题用直角系算麻烦有时甚至出现用直角有时甚至出现用直角坐标不能解决的问题坐标不能解决的问题二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分 Ddyxf ),( Ddxdyyxf),(dxdyd 在

2、极坐标系下如何呢？在极坐标系下如何呢？ sincosryrx， drdd 问：问：在直角坐标系下在直角坐标系下？rP(r, )oxP(x,y)xyy所所以以有有)sin,cos(),( rrfyxf DAo rrr 221rrr drdrd Ddyxf ),(极坐标系下的二重积分极坐标系下的二重积分怎样计算极坐标系下的怎样计算极坐标系下的二重积分？二重积分？.)sin,cos( Drdrdrrf 首先用一族坐标原点为起点的射线，和一族坐首先用一族坐标原点为起点的射线，和一族坐标原点为圆心的同心圆分割积分域。标原点为圆心的同心圆分割积分域。 2)(21rr 221r 后积先定限，限内画直线，后积

3、先定限，限内画直线，（由极点出发在限内画一射线）（由极点出发在限内画一射线） 先交为下限，后交为上限先交为下限，后交为上限方法：二重积分化为二次积分方法：二重积分化为二次积分 Ddyxf ),( Drrf)sin,cos( 一代：一代：二换：二换：)sin,cos(),( rrfyxf 三定限：三定限： drdrd rdrd积分积分积分后对积分后对先对先对 r d Drdrdrrf )sin,cos(区域特征如图区域特征如图, ).()(21 rrr 1极点在区域外极点在区域外r1( )r2( )o )()(,| ),(21 rrrrD )()(21 rrrdrrrf)sin,cos( d D

4、rdrdrrf )sin,cos(区域特征如图区域特征如图, ).(0 rr 2极点在区域边界上极点在区域边界上r ( )o )(0 ,| ),( rrrD )(0 rrdrrrf)sin,cos( 20d Drdrdrrf )sin,cos(区域特征如图区域特征如图,20 ).(0 rr 3极点在区域内部极点在区域内部)(0 ,20| ),( rrrD DoArdrrrf)sin,cos( )(0 r)( rr 注：具体作法注：具体作法 Ddyxf ),(在极坐标系下计算在极坐标系下计算例例 1 1 计计算算dxdyeDyx 22，其其中中 D 是是由由中中心心在在原原点点，半半径径为为a的

5、的圆圆周周所所围围成成的的闭闭区区域域.解解在极坐标系下在极坐标系下dxdyeDyx 22 20d).1(2ae 222ayx ar rdrdeDr 2222)sin()cos(arr 2222)sin(cosar 22ar ar rdrer2 a0例例2 2 写写出出积积分分 Ddxdyyxf),(的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形式式，其其中中积积分分区区域域,11| ),(2xyxyxD 10 x.1 yx122 yx解解在极坐标系下在极坐标系下 Ddxdyyxf),( 20 d1 r sincos1 r drdrrrfD )sin,cos(1 yx1sincos rr 1sincos

6、 r sincos1 rrdrrrf)sin,cos( 1sincos1 xyo例例 3 3 计计算算dxdyyxD)(22 ，其其 D为为由由圆圆yyx222 ，yyx422 及及直直线线yx3 0 ，03 xy 所所围围成成的的平平面面闭闭区区域域.解解在极坐标系下在极坐标系下32 sin4 r sin2 ryyx422 yyx222 03 xy61 03 yx0sin3cos rr33tan sin22rr 61 32 sin2 r sin4 rdxdyyxD)(22 36 d).834(15 rdrdrD 2 36sin4sin2441 dr 364sin60 d61 xyo32 si

7、n4 r sin2 rrdrr 2 sin4sin2计计算算二二重重积积分分 Ddxdyyxyx2222)sin(,其其中中积积分分区区域域为为41| ),(22 yxyxD.请你动手做请你动手做解解 Ddxdyyxyx2222)sin( 4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd. 4 1D例例 4 4：求求球球体体22224azyx 被被圆圆柱柱面面 )0(222 aaxyx，所所截截得得的的（含含在在圆圆柱柱面面内内的的部部分分）立立体体的的体体积积。 例例 4 4：求求球球体体22224azyx 被被圆圆柱柱面面 )0(222 aaxyx，所所截截得得的的

8、（含含在在圆圆柱柱面面内内的的部部分分）立立体体的的体体积积。 例例 4 4：求求球球体体22224azyx 被被圆圆柱柱面面 )0(222 aaxyx，所所截截得得的的（含含在在圆圆柱柱面面内内的的部部分分）立立体体的的体体积积。 例例 4 4：求求球球体体22224azyx 被被圆圆柱柱面面 )0(222 aaxyx，所所截截得得的的（含含在在圆圆柱柱面面内内的的部部分分）立立体体的的体体积积。 由对称性知由对称性知14VV ，解解2224yxaz cos2ar 122244DdxdyyxaVcos20 ,20),(1 arrD 12244DdrdrraV axyx222 cos20222

9、044adrrrad 20cos202322432)21(4 draa 2033)sin1(332 da 202203sin)cos1(332 dda 20333coscos2332 a 3223323 a)322(3323 a 2200cossin xdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数21 nnInnI20 I11 I例例5 5 求求广广义义积积分分 02dxex.解解0, 0,| ),(2221 yxRyxyxD0, 0,2| ),(2222 yxRyxyxD0 ,0| ),(RyRxyxS 显显然然有

10、有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2 RxRdxe02lim又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rrrdred0022);1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 当当 R时时,41 I,42 I故故当当 R时时,4 I即即 20)(2dxex4 ,所求广义积分所求广义积分 02dxex2 .,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 二、小结二、小结在计算二重积分时在

11、计算二重积分时1、画出积分区域、画出积分区域2、考虑是否可以将积分区域的对称性与被积函数的、考虑是否可以将积分区域的对称性与被积函数的奇偶性正确配合，简化计算奇偶性正确配合，简化计算若积分区域关于若积分区域关于x（y）轴对称，被积函数为）轴对称，被积函数为y（x） 的奇函数，则积分值为零。被积函数为的奇函数，则积分值为零。被积函数为y（x）的偶函数）的偶函数积分值为积分值为x轴上方（轴上方（y轴右方轴右方）积分值的两倍。）积分值的两倍。3、选系、选系4、选序、选序即要考虑积分区域（一般分块越少越好）即要考虑积分区域（一般分块越少越好）又要考虑被积函数（一般先积分的容易求，又要考虑被积函数（一般

12、先积分的容易求，并为后积分的作准备）并为后积分的作准备）5、定限计算积分、定限计算积分注：当被积函数可以分离，积分区域为矩形域时，注：当被积函数可以分离，积分区域为矩形域时，一个二重积分可以写成两个单积分的乘积。一个二重积分可以写成两个单积分的乘积。请你动手做请你动手做将将 xxdyyxdx221)(2210化为极坐标形式的二次积分化为极坐标形式的二次积分为为_,_,其值为其值为_._. xxrdrrddyyxdx240sectan01212210)( 40sectan d 40sec 12 ,cos022: arDoxy思考题解答思考题解答 cosar Daararccos ararccos

13、 .),(arccosarccos0 araradrfdrI 交交换换积积分分次次序序: ).0(),(cos022 adrrfdIa思考题思考题一、一、 填空题填空题: :1 1、 将将 Ddxdyyxf),(, ,D为为xyx222 , ,表示为极坐表示为极坐标形式的二次积分标形式的二次积分, ,为为_._.2 2、 将将 Ddxdyyxf),(, ,D为为xy 10, ,10 x, ,表表示为极坐标形式的二次积分为示为极坐标形式的二次积分为_._.3 3、 将将 xxdyyxfdx32220)(化为极坐标形式的二化为极坐标形式的二次积分为次积分为_._.4 4、 将将 2010),(xd

14、yyxfdx化为极坐标形式的二次积分化为极坐标形式的二次积分为为_._.练练 习习 题题5 5、 将将 xxdyyxdx221)(2210化为极坐标形式的二次积化为极坐标形式的二次积分为分为_,_,其值为其值为_._.二、二、 计算下列二重积分计算下列二重积分: : 1 1、 Ddyx )1ln(22, ,其中其中D是由圆周是由圆周122 yx 及坐标轴所围成的在第一象限内的区域及坐标轴所围成的在第一象限内的区域. . 2 2、 Ddyx )(22其中其中D是由直线是由直线xy , , )0(3, aayayaxy所围成的区域所围成的区域. . 3 3、 DdyxR 222, ,其中其中D是由

15、圆周是由圆周 Rxyx 22所围成的区域所围成的区域. . 4 4、 Ddyx 222, ,其中其中D: :322 yx. .三、试将对极坐标的二次积分三、试将对极坐标的二次积分 cos2044)sin,cos(ardrrrfdI交换积分次序交换积分次序. .四、设平面薄片所占的闭区域四、设平面薄片所占的闭区域D是由螺线是由螺线 2 r上一段上一段 弧弧( (20 ) )与直线与直线2 所围成所围成, ,它的面密度为它的面密度为22),(yxyx , ,求这薄片的质量求这薄片的质量. .五、五、 计算以计算以xoy面上的圆周面上的圆周axyx 22围成的闭区域为围成的闭区域为底，而以曲面底，而以曲面22yxz 为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积. .一、一、1 1、rdrrrfd cos2022)sin,cos(； 2 2、 1)sin(cos020)sin,cos(rdrrrf