运筹学第四章

1、第四章 狭义相对论4-1 经典力学与经典时空观一伽利略变换与经典时空观 (惯性系的概念) 1伽利略变换 rroo xxvtyyzz tt 逆变换xxvtyyzztt 2 经典时空观tt LL 222212121Lxxyyzz 2经典力学的伽利略不变性与伽利略相对性原理 1伽利略速度变换xxuuv yyuu zzuu 2 经典的加速度变换xxyyzzaaaaaa 3 伽利略相对性原理（力学相对性原理）SFma系:SFma 系伽利略协变性:伽利略相对性原理表明，一切惯性系都是平等的，没有哪一个特殊一点，如果有一个特殊的惯性系，你没法通过力学试验把它辨识出来。 4 非惯性系坐标变换rroo xxyy

2、zzuuvuuuu 0mamama iFfma FFma 0 xxyyzzaaaaaaa 0ifma 惯性力三绝对时空观和伽利略变换遭遇的困难 1 光速的测量 光最早被认为是一种射线粒子，因为直线传播，后来发现其具有干涉和衍射的性质，从而确认了其波动性质。 c=2.997925108m/s 2 麦克斯韦方程 麦克斯韦总结了前人在电磁学上的研究成果，提出麦克斯韦方程组，统一了电磁学，将其发展成电动力学，两大注意点： 1）电磁波方程预言电磁波的存在其在真空中的传播速度v1/00=c光是一种电磁波速度与波源无关，不满足速度迭加原理 2）麦克斯韦方程的非伽利略协变性 3 以太学说的失败 1）以太的提出

3、 2）寻找以太（迈克尔孙莫雷实验） 综上所述：c不但与波源无关，似乎也与观察者的运动状态无关，加上麦克斯韦方程的非协变性，使得经典的时空观受到极大的挑战。 洛伦兹的电子论和洛伦兹变换 彭加勒的四维时空观念和洛伦兹协变性4-2 狭义相对论原理 一 光速不变原理 在一切惯性系中真空中的光速都有相同的c值。 二 狭义相对性原理 在一切惯性系中物理规律都是相同的，数学表达式都是相同的。 说明： 1）光速不变是实验事实。 2）狭义相对性原理是对力学相对性 原理的推广。从力学领域推广到所有的物理学领域。要点在于：无法通过任何物理实验判定所处的参照系与其他参照系的相对运动状态。4-3 洛伦兹变换一 事件 P

4、（x, y, z, t)二 洛伦兹变换的导出 设t=t=0 时，O与O 重合，同时有一列 球面光波在原点发出。 假定在S系中位于 （x,y,z)的探测器在t 时刻接受到了该光波。于是有对于S 系中的观察者，同样有2222 2xyzc t22222xyzc t由于时空均匀性，空间中各点是平等的（x, y, z, t)应该与（x, y, z,t)成线性关系同时考虑到运动效应只应该影响运动方向上的坐标变换 y=y, z=z11122122xa xa tta xa t 2222211122122a xa tyzca xa t得11120，0 xxvta va 22222222112111 122122

5、2222221222ac axyza ac a ac aat2221121211 122122222222121220ac aa ac a ac aac令2211vc2()()xxvtyyzzvttxc 得到2111221222222222211,1111vvcaaaavvvvcccc上式称为洛伦兹坐标变换。逆变换2()()xxvtyyzzvttxc洛伦兹坐标变换反映了狭义相对论的两条基本原理，是狭义相对论的核心公式。任何在洛伦兹坐标变换下形式不变的物理方程称为洛伦兹协变方程。相对性原理要求所有的物理方程都是相对性协变的。逆变换和正变换在形式上相同，只要xyzt xyzt,v -v。变换的时空

6、观表现得很明显。三洛伦兹坐标差变换 对于两个事件P1（x1, y1 z1, t1)， P2（x2, y2, z2, t2)有2()()xxv tyyzzvttxc 2()()xxv tyyzzvttxc 逆 四 相对论速度变换 光速不变：,：,xyzxyzdxdydzSuuudtdtdtdxdydzSuuudtdtdt2221(1)(1)xxxyyyzzzuvuvucuuvucuuvuc 2221(1)(1)xxxyyyzzzuvuvucuuvucuuvuc 逆令ux=c,uy=0,uz=0得u= ux=c反映了光速不变性。令ux=c,uy=0,uz=0，v=c得u= ux=c光速为极限速度，

7、任何能量（信息）传递的速度不可能超过光速4-4 相对论时空观一 同时的相对性S系：P1(x1, y1 z1, t1)， P2(x2, y2, z2, t2)S系：1111122222( , )，(, )P x y z tP xyz t 2()vttxc 200vttxc S系中同时发生的事件，在S系中的观察者看来不一定是同时发生，除非在 S系中同一地点发生。反映同时的相对性 。同时的定义：首先，在同一地点的两个不同事件的同时性总是可以确认的。关键在于不同地点的两个事件的同时性怎么来确认。两种办法：1）在同一惯性系中同一地点校准一系列的时钟，然后将其移开，这样，x=0,t=7和x=L,t=7可以

8、确认为同时发生2）利用光速不变，x=0,x=L各发出一光波，如果x=L/2,同时接收，则确认其同时。书上的例子：月台为S系，列车为S系，则 x0, v0 于是t 0书上最后一段表述有误时序问题：如果两事件无因果关系，则x/ t可能为任意值，这样t 0, t0都可能。如果两事件有因果关系，则x/ t0，类时间隔。t 0， t不变号，可能有因果关系。s 2c ）（在牛顿力学框架下的动量守恒定律的表述形式也不具备洛伦兹协变性，而它是物理世界的普适定律） 1 质速关系 P=m0v，m0为惯性质量。vc，如果m0不变，则Pm0c, 这与观察到的事实不符合。1901年，考夫曼在研究放射性镭的 射线时，发现

9、电子质量随速度增加的现象。爱因斯坦创立相对论后，经过理论分析，认为要维持动量守恒定律的协变性，只有质量m做如下变换才行：0022，1mPmvmmvc 2 相对论动量 P=mv=m0v 用上面的式子表述的动量守恒定律具有洛伦兹协变性 3相对论动力学方程 ()d pddvdmFmvmvdtdtdtdt 二相对论能量 1 相对论动能 直线运动2()dvdmdAFdsmvdsmvdvv dmdtdt23222220022111(1)222m vvmdvdvmdvcc3220012mdvm c d2()d mc 上面推导中用到2323222222211112211vddddvccvvcc22221vc2

10、2200vAd mcmcm c 根据功能原理2220022111kEAmcm cm cvc2220021122kvEm cm vc221vc如果 2静能 相对论能量E0=m0c2 静能E=mc2 相对论总能量E=E0+Ek 3质能关系 E=mc2 反映了质量和能量之间内在的联系，是现代核能利用的理论基础。由于能量和质量之间只相差一个常数因子c2，因此能量和质量存在相当性，有多大的E就一定有对应大小的m，单位：MeV能量守恒是普适定律，因此质量也是普适守恒的。避免错误的认识三 相对论能量动量关系E2=P2c2+m02c4=P2c2+E02P2c2=Ek2+2EkE0vc时2220022kP cP

11、EEm四 结合能与质量亏损 结合能多个粒子结合形成新物质时释放的能量 结合能0，释放能量，生成物质稳定。 结合能0，吸收能量，生成物质不稳定。 根据质能关系有 E=m c2 对于放能反应，系统总静质量减少 m 称为质量亏损。例如在核反应中 d + d t +p d : 氘（重氢），t : 氚（超重氢）反应前总静质量：氘 2 2.0141022(u)= 4.0282044 (u)反应后总静质量：氚3.0160497(u)+质子1.0078252(u)=4.0238749(u)u称为原子质量单位，1u=碳12原子质量的1/12，对应931.5MeV反应前后m =0.0043295(u)E=0.00

12、43295 931.5=4.03MeV对比煤燃烧时，一个碳原子平均只放出4eV4-7 广义相对论简介创立狭义相对论后，接下来很重要的工作就是将相对论的思想推广到非惯性系中去，因为真正的惯性系是不存在的。另一方面牛顿的万有引力理论把引力作为一种超距作用来处理使其不具有洛伦兹协变性。一 绝对空间 马赫原理 1 绝对空间 绝对空间：牛顿提出空间和时间与物体的运动状态无关，绝对空间永远保持其恒定和不动。 水桶实验： 2马赫原理：一切运动都是相对的，惯性力本质上是引力作用的结果，惯性系由宇宙中质量分布来决定，一个物体的惯性质量由宇宙中其他物体的质量分布来决定，惯性力本质上是引力。惯性力:rroo 0aa

13、a 0,Ffmafma 二 等效原理 1 惯性质量和引力质量 F=mia, F=Gmg1mg2 /r2=mgEg mg /mi=常数 实验基础:伽利略落体实验，厄缶实验2 等效原理惯性力场与引力场的动力学动力学效应在局部局部 是不可区分的 mgEg=mia没法通过力学实验判定是处于一个非惯性系还是处于一个引力场上面的表述称为弱等效原理弱等效原理。强等效原理强等效原理：惯性力场与引力场的一切物理学一切物理学效应在局局部部是不可区分的。局部局部这两个字在这里非常重要，在有限大小的范围内等效原理并不一定成立。但只要在局部区域成立就足以使爱因斯坦能够在此基础上创立几何化的引力理论。三 时空的非欧特性

14、1 欧氏几何和非欧几何 平行线公理:过一条直线外一点有且仅有一条直线与之平行。与之相对应的是三角形内角之和等于180度。 非欧几何：人们发现如果平行线公理不成立，仍然可以建立一个自洽的几何理论，在这个理论中三角形内角之和不等于180度。 高斯实验 非欧几何空间的弯曲性质：三角形内角和 不等于180度圆周长不等于2R矢量平移的非不 变性空间的局域平直性空间弯曲的内禀 特性2 时空的非欧特性 转盘实验对于非惯性系或引力场中的时空，其几何性质已经不是欧氏几何而是非欧几何 3 黎曼时空 度规张量黎曼几何是一种非欧几何，是描述黎曼空间的几何学，而黎曼空间是一种弯曲的四维空间，空间中的任意一点可以用四个独

15、立的坐标参数来标识x（x0, x1, x2, x3)，在这个弯曲空间中任意两相邻的点之间的间隔可以写成如下形式32,0dsgdx dx 其中00010203101112132021222330313233ggggggggggggggggggg22222000111222333010102020303121213132323222222dsg dxg dxg dxg dxg dx dxg dx dxg dx dxg dx dxg dx dxg dx dxg 称为度规张量，一般随x的不同而不同即g (x)。爱因斯坦认为有引力存在的时空应该属于黎曼空间，只需要作如下的对应： ctx0, xx1, y

16、x2, zx3 同时他认为无引力的时空应该是平直的，这时1000010000100001g这样ds2=dx02-dx12-dx22-dx32=c2dt2-dx2-dy2-dz2结果就是对于两有限距离的点s2=c2t2-x2-y2-z2因此平直的欧氏时空只是黎曼时空的一种特殊情形 根据黎曼几何g (x)唯一地确定黎曼空间的性质，知道了g (x)也就把整个空间各处的几何性质搞清楚了。 由g (x)可以导出许多描述空间弯曲特性的量如ricci张量R，曲率标量R 在上述引力的几何化过程当中，最重要的一点就是：根据黎曼几何，在黎曼空间中任何一点，总可以通过一个坐标变换，将该点的 g (x)变成（1，-1

17、，-1，-1）形式，也是说局部是平直的。在将引力场用黎曼时空来描述后，上述性质可以等效的描述为，在引力场中一点总可以找到一个局部的参照系，在其中一切物理效应就好像引力不存在一样。本质上这就是等效原理的数学表述。四 广义协变原理 1 用张量表示物理方程 张量的概念：在坐标变换下按照一定的规律变化的数学变量。 2 广义协变原理 物理方程在一切物理的坐标变换下保持形式不变。 物理方程不仅仅在惯性系之间的变换下保持不变，而是在所有物理上允许的坐标变换下保持不变，当然包括非惯性系之间的坐标变换。五 引力场方程 4182GRgRTc物质的分布及运动决定引力场的分布及时空的弯曲，反过来，引力场的分布及时空的

18、弯曲又对物质的分布及其运动变化进行约束六 广义相对论的主要结论及实验验证 1 引力场中光线的弯曲 广义相对论预测由于太阳引力是其表面空间弯曲会是掠过太阳表面的光线的传播方向出现1.75秒角度的偏折，而牛顿引力理论也预言有其一半的偏折量，实验证实了广义相对论的结果。 2 引力红移 引力势较低的地方发出的光被引力势较高的地方接收时频率会降低3引力场中时间变慢 引力势越低，时钟越慢 GPS卫星导航上的应用：时间修正 4 水星近日点的进动 观察到的水星近日点进动速率为每一百年5600秒，扣除地球作为一个不完美的惯性系造成的影响有5026秒，再考虑到其他的行星的引力影响有532秒，剩下43秒左右一直无法解释，而广义相对论解释了这一部分进动量并预言结果为43.04秒 5 黑洞 广义相对论预言可能存在黑洞，而现在天文学上的观测确认了这一事实。 从理论上理解黑洞就是g (x) 的结果。从天文学角度看，是大质量天体演化到末期的一种可能的结果。黑洞无毛定理：黑洞只有M，Q，J三个