高等数学重积分计算复习1

1、一、一、 二重积分的计算二重积分的计算 二、二、 三重积分的计算三重积分的计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 重积分的 计算 复习课复习课 一、重积分计算的基本方法一、重积分计算的基本方法1. 选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2. 选择易计算的积分序积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .图示法列不等式法(从内到外: 面、线、点)3. 掌握确定积分限的方法 累次积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( , )DIf x y dxdy 应用极坐标应用极坐标 应用直角坐标应用直角坐标( )( )( , )bxaxIdxf x y dy 12:

2、( )( )( )D dxdyd d 21( )( )( cos , sin )Idfd D为圆域为圆域 22( , )()f x yg xy :( )( )axbDxyx :( )( )cydDyxy ( )( )( , )dycyIdyf x y dx iDD ( , )iDIf x y dxdy NoYesYesNoNoYesNoYes -Y型型 iD -X型型 DD-Y型型 二重积分解题方法流程图二重积分解题方法流程图12【例【例1】根据二重积分的性质，比较积分】根据二重积分的性质，比较积分 与与 Ddyx)ln( Ddyx2)ln(的大小；其中的大小；其中 是三角形的闭区域是三角形的

3、闭区域,三个三个D顶点分别为顶点分别为 , , .)0 , 1()1 , 1()0 , 2(解解: 积分区域如图所示积分区域如图所示. 典型例题典型例题 分析分析 由二重积分的性质可知，比较两个积分的大小由二重积分的性质可知，比较两个积分的大小, 只需只需比较被积函数在积分区域上的大小即可。比较被积函数在积分区域上的大小即可。一般要考虑到所围成的区域一般要考虑到所围成的区域 特点，特点，二要恰当运用不等式证明的方法。二要恰当运用不等式证明的方法。 Dxy012)1, 1(2 yxD.从而从而 , 1 yx故故 . 0)ln( yx于是于是 ,)ln()ln(2yxyx 由二重积分的性质可知：由

4、二重积分的性质可知： Ddyx)ln( Ddyx2)ln(【例【例2】利用二重积分的性质，估计积分】利用二重积分的性质，估计积分 DdyxI)94(22的值；其中的值；其中.4| ) ,(22 yxyxD分析分析 由二重积分的性质可知，估计积分由二重积分的性质可知，估计积分 DdyxI)94(22的值，只需估计被积函数在积分区域上的最大值和最小值即可。的值，只需估计被积函数在积分区域上的最大值和最小值即可。, 0 , 1 yx所以所以 ; 又因为又因为 内的点满足内的点满足1)ln( yxD由于由于 位于直线位于直线 的下方的下方,D2 yx故在故在 内有内有 ,D2 yx解解: 积分区域如图

5、所示积分区域如图所示.259)(49492222 yxyx故由二重积分的性质可知故由二重积分的性质可知 Dd9 DdyxI )94(22,25 Dd 即即 49 DdyxI)94(22 425亦即亦即 36 DdyxI)94(22.100 由于在由于在 上上 D2xy0D.xy 【例【例3】计算二重积分】计算二重积分 ,其中其中 是由直线是由直线 Ddyx22D, 2 x及曲线及曲线 所围成的闭区域所围成的闭区域. 1 xy分析分析 首先应画出区域首先应画出区域 的图形的图形,然后根据图形的特点选择适然后根据图形的特点选择适D当的坐标计算。本题可采用直角坐标计算，即框图中线路当的坐标计算。本题

6、可采用直角坐标计算，即框图中线路1的方法。注意到的方法。注意到 既是既是X-型区域型区域, 又是又是Y-型区域型区域, 但若用但若用X-D型区域计算，需把型区域计算，需把 分割成两个分割成两个X-型区域的和的形式型区域的和的形式. 故故D本题选择先对本题选择先对 积分后对积分后对 积分的次序计算比较简单积分的次序计算比较简单.yxxy012) 1, 1 (xy D.解：解： 积分区域如图所示积分区域如图所示.:D; 21 ,1 xxyx将二重积分转化为先对将二重积分转化为先对 对后对后 的二次积分，的二次积分，得得yx xxDdyyxdxdxdyyx 1 222 1 22 2 1 3)(dxx

7、x49242124 xx注：若本题将二重积分转化为先对注：若本题将二重积分转化为先对 后对后对 的二次积分的二次积分,则计算相对复杂。则计算相对复杂。xy积分区域积分区域 为为Y- 型区域，型区域，Dxy012)1, 1(xy D.【例【例4】计算二重积分】计算二重积分 其中其中. Dyxde .1 | | ) ,( yxyxD分析分析 首先应画出区域首先应画出区域 的图形的图形,然后根据图形的特点选择适当然后根据图形的特点选择适当D的坐标计算。本题可采用直角坐标计算的坐标计算。本题可采用直角坐标计算, 即框图中线路即框图中线路1的方法。的方法。 注意到注意到 既是既是 型区域型区域, 又是又

8、是 型区域，而无论型区域，而无论 型区域型区域D X Y X或或 型区域都不能用一个不等式组表出型区域都不能用一个不等式组表出, 均需要把均需要把 分割成分割成 YD两个两个 型区域或两个型区域或两个 型区域的和的形式。型区域的和的形式。 不妨把不妨把 分成分成 YD XY 型区域的和型区域的和 来计算来计算21DDD 解解: 积分区域如图所示积分区域如图所示.1xy1D11 1 2D.0将二重积分转化为先对将二重积分转化为先对 后对后对 的二次积分的二次积分,得得yx Dyxdxdye 21DyxDyxdxdyedxdye xxyxxxyxdyedxdyedx1 1 1 0 1 1 0 1

9、, 01 ,11 :1 xxyxD; 10 ,11 :2 xxyxD因因 其中其中,21DDD 1 0 120 1 112)()(dxeedxeexx1012011122121 xxeexxee1 ee分析分析 首先画出区域首先画出区域 的图形。由于积分区域的图形。由于积分区域 为扇形区域为扇形区域DD的一部分，且被积函数呈现的一部分，且被积函数呈现 的形式的形式, 故可考虑利用极坐故可考虑利用极坐)(xyg标进行计算，即用框图中线路标进行计算，即用框图中线路2的方法计算本题比较简便。的方法计算本题比较简便。解解: 积分区域如图所示积分区域如图所示.在极坐标系下，由于在极坐标系下，由于 40

10、, 21 : D【例【例5】计算二重积分】计算二重积分 其中其中 是由圆周是由圆周 ,.Dydxdyx D122 yx422 yx及直线及直线 , 所围成的第一象限内的闭区域所围成的第一象限内的闭区域.0 yxy 2xyD10.将二重积分转化为极坐标系下先对将二重积分转化为极坐标系下先对 后对后对 的二次积分的二次积分, 得得 tanDDydxdyd dx 24 0 1tan dd 224011ln|cos|2 2ln43补充题补充题. 计算积分Ddyx,)(其中D 由,22xy 12,4yxyx所围成 .提示提示: :如图所示xy224246oyx,12DDD 内有定义且在2),(Dyxyx

11、fDyxd)(2d)(Dyx1d)(Dyx连续,所以yyxyx1222d)(46dyyyxyx422d)(24dy15115431D2DD机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1. 交换积分顺序的方法2. 利用对称性简化计算3. 消去被积函数绝对值符号机动 目录 上页 下页 返回 结束 【例【例6】计算二重积分】计算二重积分2|,Dyxdxdy ( , )| 01, 02.Dxyxy 其中其中分析分析 由于被积函数由于被积函数 中含有绝对值中含有绝对值, 所以应首先所以应首先|2xy 在给定的积分区域在给定的积分区域 内内,求出

12、求出 的解析表达式，的解析表达式，D|2xy 即去掉绝对值。利用曲线即去掉绝对值。利用曲线 将积分区域将积分区域 分成两部分分成两部分2xy DY 型区域，且被积函数先对型区域，且被积函数先对 积分比较容易积分比较容易, 故在直角故在直角y和和 则则 , 而而 和和 均为均为 22122) ,( ,) ,( ,|DyxxyDyxyxxy2D1D2,D1D坐标系中将二重积分转化为先对坐标系中将二重积分转化为先对 后对后对 的二次积分的二次积分, 然然后分别计算即可后分别计算即可.yx2y2D101D.因为因为 12,DDD 其中其中 1:D20,yx01;x 2:D22,xy 01.x 则则 D

13、dxdyxy|2 21|22DDdxdyxydxdyxy 2122DDdxdyxydxdyyx 2 21 0 0 21 0 22xxdyxydxdyyxdx 1 0 2321 0 3)2(3232dxxdxx465 解解: 积分区域如图所示积分区域如图所示.2xy2D101D.分析分析首先在给定的积分区域首先在给定的积分区域 内，求出被积函数的积分内，求出被积函数的积分D表达式，表达式，即去掉最大符号即去掉最大符号 ，然后计算二重积分。然后计算二重积分。max解：解：积分区域积分区域 如图所示如图所示. D21DDD 其中其中 0, 10| ),(1xyxyxD 1, 10| ),(2 yxx

14、yxD, ,其中其中 10, 10| ),( yxyxD Dyxdxdye,max22【例【例7】计算二重积分】计算二重积分则因则因 , ,于是于是 21,max),( ,),( ,2222DyxeDyxeeyxyx 221222,maxDyDxDyxdxdyedxdyedxdye12101 0 22 eedxxexxxy2D101D1.【例例8】设区域】设区域 22( , )|1, 0,Dxyxyx 计算二重积分计算二重积分221.1DxyIdxdyxy 分析分析 由于积分区域由于积分区域 关于关于 轴对称，故先利用二重积分的轴对称，故先利用二重积分的Dx12222112,11DDdxdyd

15、xdyxyxy 12211Ddxdyyx化为二次积分进行计算即可。化为二次积分进行计算即可。其中其中 221( , )|1, 0, 0;Dxyxyxy 然后再利用极坐标将然后再利用极坐标将 对称性对称性简化所求的积分简化所求的积分. .因因2211yx 是关于变量是关于变量 为偶函数，为偶函数，y关于关于 为奇函数，故为奇函数，故221yxxy 220,1Dxydxdyxy y解：解： DDdxdyyxxydxdyyxI22221110112122 Ddxdyyx 1 0 22 0 12drrrd2ln2)1ln(2122102 r【例例9】设】设 )(uf有连续的一阶导数，且有连续的一阶导数

16、，且 求求(0)0.f 22222301lim().txytfxydxdyt 分析分析 本题是二重积分的计算、变上限积分求导和求极限的本题是二重积分的计算、变上限积分求导和求极限的综合题目。应首先利用极坐标将二重积分转化成积分变上限综合题目。应首先利用极坐标将二重积分转化成积分变上限的函数，然后再利用洛必达法则求极限。的函数，然后再利用洛必达法则求极限。 解：解： 222)(1lim2230tyxtdxdyyxft ttrdrrfdt 0 2 0 30)(1lim3 0 0)(lim2trdrrftt 203)(lim2tttft ttft)(lim320 )(lim320tft )0(32f

17、 型型00 型型00交换二次积分次序的方法交换二次积分次序的方法 交换二次积分的次序交换二次积分的次序 ，其实质是把二重积分化为二次，其实质是把二重积分化为二次积分的逆问题。改变积分次序应首先对给定的二次积分求积分的逆问题。改变积分次序应首先对给定的二次积分求出其对应的二重积分的积分区域出其对应的二重积分的积分区域 , 其次要判断其次要判断 的类型的类型, 然后再根据然后再根据 的类型的类型, 将二重积分化为另一次序的二次积将二重积分化为另一次序的二次积分。分。DDD1解题方法流程图解题方法流程图改变二次积分的积分次序改变二次积分的积分次序11121112()()()()12 dydycycy

18、IdyfdxdyfdxII 由由 分别确定分别确定 12,II12,D D12DDD由由 分别确定分别确定 12,II12,D D12DDDDIfdxdy DIfdxdy 1,niiiDDDX 型型:()()cydDyxy ( )( )dycyIdyfdx :()()iiiiicydDyxy ( )( )iiiiidycyDfdxdydyfdx ( )( )1iiiindycyiIdyfdx 1,niiiDDDY 型型:()()iiiiiaxbDxyx ( )( )bxaxIdxfdy ( )( )iiiiibxaxDfdxdydxfdy ( )( )1iiiinbxaxiIdxfdy :()

19、()axbDxyx YesYesNoNo11121112()()()()12 bxbxaxaxIdxfdydxfdyII D-X型型D-Y型型典型例题典型例题【例【例10】改变】改变 的积分次序。的积分次序。 yydxyxfdydxyxfdy3 0 3 1 2 0 1 0 ) ,() ,(分析分析 由于二次积分是先对由于二次积分是先对 后对后对 ,故应按框图中线路故应按框图中线路2xy的方法计算。首先将二次积分的方法计算。首先将二次积分 与与 ydxyxfdyI2 0 1 0 1) ,( ydxyxfdyI3 0 3 1 2) ,(还原成二重积分，由此找出积分区域还原成二重积分，由此找出积分区

20、域最后便可将给定的二次积分转化为先对最后便可将给定的二次积分转化为先对 后对后对 的二次积分。的二次积分。yx1D21DDD 用另一种形式的不等式组表示，用另一种形式的不等式组表示，与与 然后再将然后再将,2D解解: 设设 1) ,() ,(2 0 1 0 1DydxdyyxfdxyxfdyI 2) ,() ,(3 0 3 1 2DydxdyyxfdxyxfdyI则则 ; 10 ,20 :1 yyxD31 ,30 :2 yyxD令令 ，则，则 21DDD DDDdxdyyxfdxdyyxf) ,() ,()(21画出画出 的图形如图所示的图形如图所示. D. 20 ,32 : xxyxD再把二

21、重积分转化为先对再把二重积分转化为先对 后对后对 的二次积分，的二次积分， 有有yx yydxyxfdydxyxfdy3 0 3 1 2 0 1 0 ) ,() ,(xxDdyyxfdxdxdyyxf3 2 2 0 ) ,() ,(可知可知 为为 型区域型区域; 且且DY xy0 xy 32xy 22D131D.2）截面法（先二后一）截面法（先二后一）21( , )( , )( , , )( , , )zx yzx yDf x y z dvf x y z dz dxdy ;,)1型的型的恰是恰是型的型的不是不是积分区域积分区域zxy 1）投影法（先一后二）投影法（先一后二）二二. . 利用利用直角坐标直角坐标计算三重积分计算三重积分21( , )( , )zccDfx y z dvdzfx y z dxdy.dd),(,)2易易于于计计算算时时或或的的函函数数时时表表达达为为的的面面积积容容易易且且无无关关被被积积函函数数与与 zDzyxzyxfzDxy柱坐标系下三重积分的计算柱坐标系下三重积分的计算由柱面与直角坐标的关系由柱面与直角坐标的关系cossin(0,02 ,)x ry rrzzz 有有( , , )( cos , sin , )f x y z dvfrdrdrdrzz 体积元素体积元素由