高等数学BIT7-4(2)

1、设平面与旋转轴线的夹角1.=90，截交线为圆2.大于，截交线为椭圆3.=，截交线为抛物线4.小于，截交线为双曲线为母线与旋转轴线之间的夹角)tana(0zayx2222Oxyz多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222yxyxyxxyyxf在点在点)0 , 0(处有处有0)0 , 0()0 , 0( yxff)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx,)()(22yxyx如果考虑点如果考虑点),(yxP 沿着直线沿着直线xy 趋近于趋近于)0 , 0(，则则 22)()(yxyx22)()(xxxx,21说明它不能随着说明它不能随着

2、0趋于趋于 而趋于而趋于0,0 当当 时，时，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx函数在点函数在点)0 , 0(处不可微处不可微.说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，证),(),(yxfyyxxfz),(),(yyxfyyxxf),(),(yxfyyxf定理3 （充分条件）如果函数),(yxfz 的偏导数、在点),(yx连续，则该函数在点),(yx可微分xz yz ),(),(yyxfyyxxfxyyxxfx),(1 ) 10(1 在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理xxy

3、xfx1),( （依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）其中其中1 为为yx ,的函数的函数,且当且当0, 0 yx时，时，01 .xxyxfx1),( yyyxfy2),( z2121 yx, 00 故函数故函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微处可微.同理同理),(),(yxfyyxf,),(2yyyxfy 当当时，时，,0y02 例例 试证函数试证函数在点在点)0 , 0(连续且偏导数存在，但偏导数在点连续且偏导数存在，但偏导数在点)0 , 0(不连续，而不连续，而f在点在点)0 , 0(可微可微.思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分 )0 ,

4、0(),( yx，)0 , 0(),( yx讨论讨论. )0 , 0(),(0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf证证令令,cos x,sin y则则22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f 故函数在点故函数在点)0 , 0(连续连续, )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 当点当点),(yxP沿直线沿直线xy 趋于趋于)0 , 0(时时,),(lim)

5、0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.当当)0 , 0(),(yx时时， 所以所以),(yxfx在在)0 , 0(不连续不连续.同理可证同理可证),(yxfy在在)0 , 0(不连续不连续.)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在点在点)0 , 0(可微可微. 0)0,0( df习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为.dyyzdxxzdz全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 通常我们把二元函数的全微分等于它的

6、两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况例例 1 1 计算函数计算函数xyez 在点在点)1 , 2(处的全微分处的全微分.解解,xyyexz,xyxeyz,2)1 , 2(exz,22)1 , 2(eyz.222dyedxedz所求全微分所求全微分例例 2 2 求函数求函数)2cos(yxyz ，当，当4p p x，p p y，4p p dx，p p dy时的全微分时的全微分.解解),2sin(yxyxz),2sin(2)2cos(yxyyxyzd

7、yyzdxxzdz),4(),4(),4(p pp pp pp pp pp p).74(82p pp p例例 3 3 计算函数计算函数yzeyxu 2sin的全微分的全微分.解解, 1xu,2cos21yzzeyyu,yzyezu所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz12/16三、连续、可导与可微的关系三、连续、可导与可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导 ) 0 , 0(),(, 0) 0 , 0(),(,1sin22yxyxyxxy 在在)0 , 0(. TH2TH3可微的定义例？(0,0)22在在yxz (0,0)

8、22在在yxz 可知当*二、全微分在数值计算中的应用1. 近似计算近似计算由可微分定义xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(较小时,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及有近似等式:),(yxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 (可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算) 半径由 20cm 增大解解: 已知,2hrVpV,100,20hr) 1(2005. 01002022ppV即受压后圆柱体体积减少了 .cm2003p例3. 有一圆柱体受压后发生形变有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm , 则 rrhp2hr 2p1

9、,05. 0hr)cm(2003p高度由100cm 减少到 99cm ,体积的近似改变量. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求此圆柱体分别表示 x , y , z 的绝对误差界,2. 误差估计利用yyxfxyxfzyx),(),(zyx,令z 的绝对误差界约为yyxxzyxfyxf),(),(z 的相对误差界约为yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 则例5. 利用公式利用公式CbaSsin211 . 030,01. 03 . 8,01. 05 .12Cba求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：解：aSaSaCbsin211800,01. 0,30,3 . 8, 5 .12pCbaCba13. 0S故绝对误差约为又CbaSsin21所以 S 的相对误差约为SS30sin3 . 85 .1221bCasin21CCabcos2194.2594.2513. 0%5 . 0计算三角形面积.现测得机动 目录 上页 下页 返回 结束 bbSccS内容小结1. 微分定义:),