抛射曲线及包络线

1、抛射曲线及包络线1.1 抛射物体运动方程及 MATLAB 实现 抛射物体的运动可描述为平面上一个动点的轨迹 , 即抛射曲线 , 其参数方程 为020cos 1sin 2x v t y v t gt?=××-? 其中 g 是重力加速度 ,物体初始速度为 ,发射角度为 0v 。 当发射角度在区间 0,2内变化时 ,不同发射角便形成不同曲线。由 201sin 02v t gt ×解之-= ,得弹落点所对应的参数值002sin v t g= 1.2 MATLAB实现对发射角 参,数 t 的变化范围为 。为了简化问题 ,取 。下面 程序段可绘制曲线 簇中的 n-2 条曲线。

2、00,t 01v =n=input('input n:' % 输入数据 n ,确定所绘曲线簇曲线数 alpha=(2:n-1*pi/(2*n; % 确定不同曲线所对应的发射角for k=1:n-2 % 开始计算 n-2条曲线上的离散点数据 a=alpha(k; % 选取角度值 v1=cos(a;v2=sin(a; % 计算初始速度分量t0=v2/4.9;t=(0:16*t0/16; % 确定参数值x(k,:=v1*t;y(k,:=v2*t-4.9*t.2;% 确定曲线上离散点坐标数据endplot(x',y' % 同时绘出曲线簇中 n-2 条曲线运行上面程序 ,

3、输入 n = 20 则可以绘出图 1中的 18条曲线图 1 不同发射角形成的抛射线簇1.3 抛射曲线的包络线不同发射角所形成的抛射线构成一曲线簇 , 如果存在一条曲线 L , 曲线簇中 每 曲线都与 L 相切,则称 L 为该曲线簇的包络。对于参数方程 ,曲线族的包 络曲线由(, , (, , 0x y y x x x t y y t t t t t ?=-=? 消去参变量 而得到。在上面抛射线族的包络曲线中0000cos , sin sin , cos x x v v t y y v gt v t?=-?=-=? ? ? 由0x y y x t t?-=? 即 sin (sin cos cos

4、 0t gt t? 。求解得-? = 1sin gt代入曲线族的参数方程 ,便得包络曲线的参数方程为x t g（又称为安全抛物y ?=? ? 下面程序段将绘制出曲线簇的包络曲线 线 。 g=9.8;t=1/g:.001:sqrt(2/g;x=sqrt(t.2-1/g2;y=1/g-.5*g*t.2;plot(x,y图 2 带包络线的抛射线簇1.4 两组不同方式的抛射曲线簇图形及源程序 高处朝低处的射击曲线簇 g=9.8;xmax=0;alpha0=0;h=0;H=-0.02;a=0:pi/60:pi/2;for k=1:31alpha=a(k;v1=cos(alpha; v2=sin(alph

5、a;d0=v22-2*g*(H-h;if d0>=0t0=(v2+sqrt(d0/g;t=0:t0/16:t0;x=v1*t;x0=x(17;y=v2*t-0.5*g*t.2;plot(x,y,'k'hold on if x0>xmax xmax=x0;alpha0=alpha;x1=x;y1=y;endendendplot(x1,y1,'r'xmaxalpha0*180/pi00.020.040.060.080.10.120.14图 3 高处朝低处的射击曲线簇低处朝高处的射击曲线簇g=9.8;xmax=0;alpha0=0;h=0;H=0.02;a=0:pi/60:pi/2;for k=1:31alpha=a(k;v1=cos(alpha; v2=sin(alpha;d0=v22-2*g*(H-h;if d0>=0t0=(v2+sqrt(d0/g;t=0:t0/16:t0;x=v1*t;x0=x(17;y=v2*t-0.5*g*t.2; plot(x,y,'k'hold onif x0>xmaxxmax=x0;alpha0=alpha;x1=x;y1=y;endendendplot(x1,y1,'r'