-空间向量的坐标

1、lOP例例1 在平面内的一条直线，如果和这在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。它也和这条斜线垂直。已知：如图，已知：如图，PO,PA分别是平面分别是平面的的垂线，斜线垂线，斜线,AO是是PA在平面在平面内的射内的射影，影，.:,PAlOAll求证且AlOP.,OAPOal同时取向量上取向量证明：如图，在直线. 0,OAaOAl所以因为0,POaPOllPO因此所以且因为.0)(PAlOAaPOaOAPOaPAa所以又因为A已知：如图，已知：如图，PO,PA分别是平面分别是平面的的垂线，斜线垂线，斜线,AO是是PA在平面

2、在平面内的射内的射影，影，.:,PAlOAll求证且a P O A la 分析分析:同样可用向量同样可用向量,证明思路几乎一样证明思路几乎一样,只只不过其中的加法运算不过其中的加法运算用减法运算来分析用减法运算来分析.nlmgnzmgl例例2 如图，如图，m,n是平面是平面内的两条相交直线。内的两条相交直线。如果如果lm,ln,求证：求证：l.,gnmlgnmlg上取非零向量分别在内作任一直线证明：在.),(,nymxgyxnmnm使的有序实数对知，存在唯一由向量共面的充要条件不平行。相交，所以向量与因为. nl yml xgll积，得作数量将上式两边与向量0, 0nlml因为0 gl所以gl

3、 所以llgl意一条直线，所以内的任垂直于平面线这就证明了直即3.1.43.1.4空间向量的正交分空间向量的正交分解及其坐标表示解及其坐标表示。，使，实数对共面的充要条件是存在与向量不共线，则向量如果两个向量byaxpyx,p,baba共线向量定理共线向量定理:复习：共面向量定理共面向量定理:0/aa b babb 对空间任意两个向量 、 （），的充要条件是存在实数 ，使 。有向量的一组基底。）叫做表示这一平面内所、（。，使，一对实数，有且只有任一向量那么对于这一平面内的共线向量，是同一平面内的两个不，如果2122112121eeeeaaee平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示平面向

4、量的正交分解及坐标表示xyoaijaxiy j(1,0),(0,1),0(0,0).ij问题：问题：p 我们知道，平面内的任意一个向量我们知道，平面内的任意一个向量 都可以都可以用两个不共线的向量用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？, a b xyzOijkQPp .OPOQzk .OQxiy j.OPOQzkxiy jzk 由此可知，如果由此可知，如果 是空间两是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一两垂直的向量，那么，对空间任一向量向量 ，存在一个有序实数组，存在一个有

5、序实数组 x,y,z使得使得 我们称我们称 为向量为向量 在在 上的分向量。上的分向量。, ,i j k p .pxiy jzk ,xi y j zk, ,i j k p 探究：探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的，你能得出类似的 结论吗？结论吗？, ,a b c , ,i j k cba,任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。空间向量基本定理：空间向量基本定理：p zyx, 如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组 使,

6、,a b c .pxaybzc 都叫做都叫做基向量基向量, ,a b c 叫做空间的一个叫做空间的一个基底，基底，（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。特别提示：特别提示：对于基底对于基底a,b,c,除了应知道除了应知道a,b,c不共面，不共面， 还应明确：还应明确： （2） 由于可视由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是它们都不是 。00（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基）一个基底是指一

7、个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个，则这个基底叫做基底叫做单位正交基底单位正交基底,常用常用 e1 , e2 , e3 表示表示 空间直角坐标系：空间直角坐标系：在空间选定一点在空间选定一点O和一和一个单位正交基底个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点以点O为原点，分别为原点，分别以以e1,e2,e3的方向为的方向为x轴、轴、y轴、轴、z轴的正方向

8、建轴的正方向建立直角坐标系立直角坐标系.这样就建立了一个空间直角坐这样就建立了一个空间直角坐标系标系O-xyz 点点O叫做原点，向量叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做都叫做坐标向坐标向量量.通过每两个坐标轴的平面叫做通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面坐标平面。 给定一个空间坐标系和向给定一个空间坐标系和向量量 ,且设且设e1,e2,e3为坐标向量，为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组一的有序实数组(x,y, z)使使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组有序数组( x, y, z)叫做叫做p在空间在空间直角坐标系直角坐标系O-xyz中的坐标，中的

9、坐标，记作记作.P=(x,y,z)二、空间向量的直角坐标二、空间向量的直角坐标pxyzOe1e2e3p 在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点，中，对空间任一点，A,对应一个向量对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数，于是存在唯一的有序实数组组x,y,z，使，使 OA=xe1+ye2+ze3 在单位正交基底在单位正交基底e1, e2, e3中与向量中与向量OA对应的有序实数对应的有序实数组组(x,y,z)，叫做，叫做点点A在此空间在此空间直角坐标系中的坐标直角坐标系中的坐标，记作，记作A(x,y,z)，其中，其中x叫做点叫做点A的横的横坐标，坐标，y叫做点叫做点A的纵坐标

10、，的纵坐标，z叫做点叫做点A的竖坐标的竖坐标.xyzOA(x,y,z)e1e2e3三、向量的直角坐标运算三、向量的直角坐标运算112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 12233a ba ba b112233,()ab ab abR112233/ababab1 122330a ba ba b则设),(),(321321bbbbaaaa;ab;ab/;.ab;ab;a;a b四、距离与夹角四、距离与夹角2222123| aa aaaa2222123| bb bbbb1. 1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公

11、式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。角线的长度。结论：若结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则则AB = OB- -OA=(x2,y2,z2)- -(x1,y1,z1) =(=(x2 2- -x1 1 , , y2 2- -y1 1 , , z2 2- -z1 1) )注：空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个注：空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标终点的坐标减去起点的坐标. . 如果知道有向线段的起点和终点的坐标如果知道有向线段的起点和终点的坐标,

12、那么有向线段表示的向量坐标怎样求那么有向线段表示的向量坐标怎样求?222,212121()()()A Bdxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则111(,)A xyz222(,)B xyz（2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式212212212121212)()()(),(zzyyxxABABABzzyyxxABcos,| | a ba bab1 1223 3222222123123;a ba ba baaabbb2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，

13、。时，。cos,1 a b与 abcos,1 a b与 abcos,0 a bab思考：当思考：当 及及 时的时的夹角在什么范围内？夹角在什么范围内？1cos,0 a b,10cos a b练习练习1:1:已知已知 求求),4, 1 , 3(),5 , 3, 2(babaababa,8 ,(2, 3,5)( 3,1, 4)( 1, 2,1)ab (2, 3,5)( 3,1, 4)(5, 4,9)ab 88(2, 3,5)(16, 24,40)a (2, 3,5) ( 3,1, 4)29a b 解解: :继续继续F1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，

14、如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则Oxyz13(1,1, 0) ,1,1,4BE11(0 , 0 , 0) ,0 , 1.4DF，1311,1(1,1, 0)0 ,1,44BE 例例5如图如图, 在正方体中，在正方体中，求与所成的角的余弦值，求与所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D 11B E 11114A BD F1BE1DF1110, 1 (0,0,0)0, 1 .44DF ，1111150 01 1,4416BE DF 111717|,|.44BED F 111111151516cos,.17| |171744BE DFBE DFBEDF 练习二：练习二：。求证：的值；求的长；求的中点，、分别为、，棱，中，底面：直三棱柱如图MCB