茆诗松概率论与数理统计教程课件第二章(2)

1、 第二节 随机变量的数学期望1. 数学期望的概念2. 数学期望的定义3. 随机变量函数的数学期望及数学期望的性质上节介绍了随机变量的分布函数, 我们知道分布函数能够完整地描述随机变量的统计规律性.但在一些实际问题中, 我们不需要去全面考察随机变量的变化情况, 而只需要知道随机变量的某些特征, 因而并不需要求出它的分布函数. 例如例如, 在评定某一地区粮食产量的水平时在评定某一地区粮食产量的水平时, 在许多场合只要知道该地区的平均产量在许多场合只要知道该地区的平均产量, 即即变量的变量的均值均值.从这些例子可以看出, 均值和方差等数值, 虽然不能完整地描述变量的概率分布, 但能描述随机变量在某些

2、方面的特征. 又如又如, 检查一批棉花的质量时检查一批棉花的质量时, 既需要注意既需要注意纤维的平均长度纤维的平均长度, 即纤维长度这个变量的即纤维长度这个变量的均均值值, 又需要知道纤维长度与平均长度的偏离又需要知道纤维长度与平均长度的偏离程度程度, 即纤维长度这个变量的即纤维长度这个变量的方差方差; 只有平只有平均长度较大均长度较大, 偏离程度较小偏离程度较小, 棉花质量才较棉花质量才较好好.随机变量的均值也称为数学期望, 本节将介绍随机变量最重要的特征数:数学期望数学期望.1. 数学期望的概念(Expectation) 随机变量X的数学期望, 来源于通常的平均概念, 体现了随机变量平均值

3、的大小, 但它又不是X所有可能取值的简单的算术平均.数学期望的研究源于历史上一个著名的赌本分配赌本分配问题问题, 该问题之所以著名, 是因为它启蒙了概率论最初的发展, 一般讲讲概率论的发展史, 都会提到这个赌本分配问题.1654年年, 赌徒梅勒赌徒梅勒(Mr)向法国数学家帕斯向法国数学家帕斯卡请教了如下的问题卡请教了如下的问题: 甲乙两赌徒赌技相同甲乙两赌徒赌技相同, 各出赌注各出赌注50法郎法郎, 每局无平局每局无平局, 谁先赢三局谁先赢三局则获全部赌本则获全部赌本100法郎法郎. 结果甲赢了两局结果甲赢了两局, 乙乙赢了一局时赢了一局时, 赌博因故终止赌博因故终止, 问应如何分配问应如何分

4、配赌本赌本?帕斯卡从变量的角度给出了最佳的解:设变量设变量X为甲最终所得为甲最终所得, X的可能取值为的可能取值为0和和100. 那么这两个值对应的概率有多大那么这两个值对应的概率有多大?如果将这个赌博进行完如果将这个赌博进行完, 则有再赌最多两局必可结束则有再赌最多两局必可结束. 5 , 4 , iiAi局局甲胜第甲胜第令事件令事件544 AAA 达为达为则甲最终获胜的事件表则甲最终获胜的事件表, 54AA为为乙最终获胜的事件表达乙最终获胜的事件表达4/32/12/12/1)()( )()(,544544 AAPAPAAAPP 甲胜甲胜所以所以4/12/12/1)()()()(5454 AP

5、APAAPP 乙胜乙胜所以变量X的概率分布为 变量X的期望值=X的均值=01/4+1003/4=75法郎x0100P(X=x)1/43/4 从这个例子可以看出变量X的数学期望, 即其均值, 应该是其所有可能取值根据相应概率的加权平均. 由此我们就可以给出随机变量数学期望的严格定义.2. 数学期望的定义定义定义1: , 2 , 1 ),()( nixXPxpXii 的概率分布列为的概率分布列为设离散随机变量设离散随机变量;, )()( ,)(| 11简称期望或均值简称期望或均值的数学期望的数学期望为为则称则称如果如果XxpxXExpxiiiiii .,)(|1的数学期望不存在的数学期望不存在则称

6、则称不收敛不收敛如果级数如果级数Xxpxiii 注意注意: 在以上定义中, 要求级数绝对收敛的目的在于使其数学期望取值唯一. 因为在数学分析中, 我们知道|,|11 iiiiuu级数级数及其由其绝对值构成的及其由其绝对值构成的对于一个级数对于一个级数., |111且收敛到相同的和数且收敛到相同的和数均收敛均收敛任意重排所得到的级数任意重排所得到的级数和对和对则则收敛收敛如果如果 nniiiiivuuu., |111条件收敛条件收敛则则不收敛不收敛收敛而收敛而如果如果 iiiiiiuuu由条件收敛级数重排后所得到的新级数, 即使收敛, 也不一定收敛于原来的和数. 例如.,11)1(312111A

7、nn设其和为设其和为是条件收敛的是条件收敛的 交错级数的莱布尼茨判别交错级数的莱布尼茨判别法法: 如果交错级数满足如果交错级数满足(1)绝绝对值单调递减对值单调递减;(2)极限为极限为0, 则收敛则收敛 118171615141312111)1( nnAn即即2816141211)1(2111Annn A2341715121311 乘以常数乘以常数1/2后有后有将上述两个级数相加将上述两个级数相加, 就得到就得到.)( )(|,11的影响的影响的值不受次序变动的值不受次序变动可保证可保证取值顺序可先可后取值顺序可先可后正可负正可负因为随机变量的取值可因为随机变量的取值可所以所以 iiiiiix

8、pxxpx当一个离散随机变量只取有限个值时, 有限和不受次序变动的影响, 故其数学期望总是存在的.定义定义2: ),(xpX的密度函数为的密度函数为设连续随机变量设连续随机变量;, )()( ,)(| 简称期望或均值简称期望或均值的数学期望的数学期望为为则称则称如果如果XdxxxpXEdxxpx ., )(|的数学期望不存在的数学期望不存在则称则称不收敛不收敛如果级数如果级数Xdxxpx 连续随机变量数学期望连续随机变量数学期望的定义和含义类似于离散型变量的情形, 只要将分布列改成密度函数, 将求和号改成积分号就可.例一例一(几何分布几何分布). 某人向一目标连续射击, 直到击中为止. 已知他

9、每次射击的命中率为p, 求他击中目标时所需次数X的数学期望.解解: 由上节例四知由上节例四知, X服从几何分布服从几何分布., 2 , 1 ,)(1 kpqkXPk 1111)( kkkkkqpkpqXE则则 3232 qqqAq那么那么 121321 kkqqkqA令令qqqqA 111)1( 2则则221)1(1pqA pppXE11)(2 例二例二(选讲选讲). 若X为仅取非负整数的离散随机变量, 若其数学期望存在, 证明. 1)()(kkXPXE 11)(kkmkXP 10)()()( :kkkXkPkXkPXE证明证明 1)(mmkkXP 1)(mmXP例三例三(均匀分布均匀分布).

10、 设X服从区间(a,b)上的均匀分布, 即X的密度函数为 其它其它 , 0 ,1)(bxaabxp babaababdxabxXE2211)( :22解解求E(X). 这个结果符合我们的直觉, 因为X在(a,b)上的均匀分布, 所以X的均值当然应该是(a,b)的中点位置.例四例四(正态分布正态分布). 设随机变量X服从正态分布N(,2), 其密度函数为)0( , ,21)(222)( xexpx dxexdxxxpXEx222/)(21)()( : 解解求E(X). ),:(dtdxtxxt 则则作变换作变换dtedttett 222222 dtett22)(21 ) :(2 adxeax 利

11、用公式利用公式 22 dtet 222 dxeIax 2 :令令证明证明dxdyeayx 22 2 adxeax 证明公式证明公式)sin,cos:( ryrx 极坐标变换极坐标变换dyedxeIayax 222 则则rdredar 0202 drrdear 2002 a aI )|(2202 area 3. 随机变量函数的数学期望及数学期望的性质 对随机变量X的函数Y=g(X), 由于Y=g(X)也为随机变量, 也有其数学期望. 当已知随机变量X的概率分布时, 可先求出Y=g(X)的概率分布(分布列或密度函数), 然后再由E(Y)的定义去求.怎样去求E(Y)呢 ?定理定理: 是连续随机变量是

12、连续随机变量若若是离散随机变量是离散随机变量若若XdxxpxgXxpxgXgEiii ,)()( ),()()(的数学期望为的数学期望为的某一函数的某一函数则则表示表示或密度函数或密度函数的概率分布用分布列的概率分布用分布列若随机变量若随机变量)(,)()(XgXxpxpXi.期望都存在期望都存在假设这里所涉及的数学假设这里所涉及的数学但实际上但实际上, 当我们已知当我们已知X的概率分布时的概率分布时, 可根据下面的定可根据下面的定理理, 直接利用直接利用X的分布列或密度函数去求的分布列或密度函数去求E(g(X), 从而避从而避免求免求Y=g(X)的概率分布的过程的概率分布的过程. 1)()(

13、)(jjxgiiixXPxg jiyxgijjxXPy)(1)( jiyxgijxXPyYP)()()( 1)()()(jjjyYPyYEXgE证明证明: 以离散情形为例. 令Y=g(X), 则Y仍是一离散随机变量, 设其可能的值为yj (j=1,2,),于是有由数学期望的定义有 1)()(iiixXPxg数学期望有如下的性质数学期望有如下的性质:,)( ,C)1(CCE 则则是常数是常数若若)()( ,)2(XaEaXEa 有有对于任意常数对于任意常数).()()()( )( )( )3(212121XgEXgEXgXgExgxg 有有和和对任意的两个函数对任意的两个函数基于该定理和数学期望的定义, 容易看出例五例五. 设风速V在(0,a)上服从均匀分布, 又设飞机机翼受到的压力W是V的函数,)0( 2kkVWdvvpkvWE)()( :2解求W的数学期望. akadvakv022311例六例六. 按季节出售的某种应时果品, 每售出一吨可获纯利润3000元, 如到季节末尚有剩余则每吨将亏损1000元. 每年商店该果品的销售X服从均匀分布U2,4 (单位:吨), 问该店应进货多少吨才能获得最大的期望利润? yXyyXXyX ,3 ),(