第3章平稳性与功率谱密度

1、第第3章章 平稳性与功率谱密度平稳性与功率谱密度2021-11-122问题问题 平稳和非平稳的含义是什么？平稳和非平稳的含义是什么？ 现实生活中哪些是平稳信号或非平稳信号？现实生活中哪些是平稳信号或非平稳信号？ 严格平稳与广义平稳（或宽平稳）有什么关严格平稳与广义平稳（或宽平稳）有什么关系？系？ 严格平稳与严格循环平稳有什么关系？严格平稳与严格循环平稳有什么关系？2021-11-123目录目录3.1 平稳性与联合平稳性平稳性与联合平稳性 3.2 循环平稳性循环平稳性3.3 平稳信号的相关函数平稳信号的相关函数 3.4 功率谱密度与互功率谱密度功率谱密度与互功率谱密度3.5 白噪声与热噪声白噪声

2、与热噪声3.6 应用举例应用举例2021-11-1243.1 平稳性与联合平稳性 平稳性（平稳性（Stationarity）:n随机信号的主要（或全部）统计特性对于参量t保持不变的特性。n包括严平稳与宽平稳。严平稳又称为狭义平稳或强平稳，宽平稳又称为广义平稳或弱平稳。2021-11-125严格平稳信号的定义2021-11-126严格平稳信号的理解 一个随机信号X(t)，如果它的n维概率密度（或n维分布函数）不随时间起点选择的不同而改变，则该随机信号为平稳的 平稳信号的统计特性与所选取的时间起点无关，或者说平稳信号的统计特性不随时间的推移而变化2021-11-127广义平稳信号的定义2021-1

3、1-128非平稳信号 不是广义平稳的信号 统计量随时间变化的信号（时变信号）2021-11-129平稳信号和非平稳信号举例平稳信号和非平稳信号举例 接收机噪声信号：如果产生随机信号的主要物理条件在时间进程中不变化，则此信号认为是平稳的。例如，一个工作在稳定状态下的接收机，其内部噪声可以认为是随机平稳信号。但当刚接上电源，该接收机工作在过渡状态下或环境温度未达到恒定时，此时的内部噪声则是非平稳随机信号。 语音信号：语音信号本身是非平稳信号，但在10-30 ms时段内可以看成是短时平稳的，便于用平稳信号的分析方法去处理问题。 将随机信号划分为平稳和非平稳有重要的实际意义，若是平稳的，可简化分析。例

4、如，测量电阻热噪声的统计特性，由于是平稳的，在任何时间测试都可以得到相同的结果。2021-11-1210语音信号语音信号接收机噪声信号接收机噪声信号2021-11-1211严格平稳与广义平稳的关系严格平稳与广义平稳的关系l 如果广义平稳信号是高斯信号，则也是严格平稳信号。l独立同分布的信号必定是严格平稳信号。l 关于离散随机信号（或离散序列）的平稳性问题，只需要将连续时间变量t换为离散时间n即可。严格平稳要求全部统计特性都具有移动不变性，而广义平严格平稳要求全部统计特性都具有移动不变性，而广义平稳只要求一、二阶矩特性具有移动不变性。稳只要求一、二阶矩特性具有移动不变性。2021-11-1212

5、严格平稳信号的性质（1）X(t)的一阶分布、密度函数和均值都与时间无关的一阶分布、密度函数和均值都与时间无关 F(x;t)=F(x;t+u)=F(x) f(x;t)=f(x;t+u)=f(x) EX(t)=m(t)=m(t+u)=常数（2）X(t)的二维分布和密度函数与两个时刻的二维分布和密度函数与两个时刻(t1,t2)的绝的绝对位置无关，只与它们的相对差对位置无关，只与它们的相对差=t1-t2有关有关 F(x1,x2;t1,t2)= F(x1,x2;t1+u,t2+u)= F(x1,x2;,0)= F(x1,x2;) f(x1,x2;t1,t2)= f(x1,x2;t1+u,t2+u)= f

6、(x1,x2;,0)= f(x1,x2;) R(t1,t2)=R(t1+u,t2+u)=R(,0)= R()只关注两个参量只关注两个参量(t1,t2)的相对差，而绝对位置可以任意移动，的相对差，而绝对位置可以任意移动，其中其中=t1-t2为核心变量，有文献称为时滞。为核心变量，有文献称为时滞。2021-11-1213一阶密度函数平稳性示例相关函数的平稳性示例2021-11-1214证明：如果高斯信号X(t)是广义平稳的，则其均值为常数m，协方差满足平移不变性，即C(s,t)=C(s+,t+)。高斯信号的特征函数为1212121111( ,; , ,)exp( ,)2nnnnX XXnnkiki

7、kkikv vv t ttjmvC t t vv121212121212( ,; , , )( ,;,)nnX XXnnX XXnnv vv t ttv vv ttt对于任何 ，有故该信号是严格平稳的。定理定理3.1 广义平稳的高斯信号必定是严格平稳的。广义平稳的高斯信号必定是严格平稳的。2021-11-1215解：由独立性，有上式与各个参量ti本身无关，也与这组参量的平移无关，故U(t)是严格平稳信号。niinnnautttuuuf122212121exp21,;,2021-11-1216解：解：根据各个信号的均值、相关函数及概率特性，容 易得出：(1) 伯努利信号是严格平稳信号，也是广义平

8、稳信号；(2) 随机正弦信号（该例条件下）是广义平稳信号；(3) 半随机二进制传输信号与泊松信号是非平稳的。例例3.2 试说明试说明2.2节各例的平稳性。节各例的平稳性。2021-11-12172021-11-1218 00( )( )cos()( )cos()0E Y tE X tw tE X tEw t 00000(, )( )()cos()( )cos()()( )cos()cos()1cos2XR ttE Y tEX tw tX tw tE X tX tEw tw tRw解：Y(t)的均值和相关函数分别为：由于Y(t)的均值为零，相关函数仅与有关，故Y(t)是广义平稳的。2021-11

9、-1219补充例1 设随机过程X(t)=At ，A为均匀分布于0,1上的随机变量，试问X(t) 是否平稳？解：因为 其中a为随机变量A的样本,可见不是平稳的。 10/ 2Am tEX tE Attafa dat2021-11-1220补充例2 ( )( )cos sin()cos()sin0coscossinsin2costE Z tE X ttE YtPty P ytYZiiiiiiZ1212221212m =xxRt ,t =E Z(t )Z(t )=E Xtttt解：因为设随机变量Z(t)=Xcost+Ysint, -t 0。24221wwj w分析下面两式是否是功率谱的表达式。由于上式

10、可能为虚数，不是正确的功率谱表达式。又如，1-e -(w-1)2可能为负数，也不是偶函数，因此也不是正确的功率谱表达式。211we2021-11-12670()( )cos2( )cosXXXSwRw dRw d 011( )()cos()cos2XXXRSww dwSww dwRX()与SX(w)都是实偶函数，只需关心e jw的实部，相关函数和功率谱的关系可以表示为：2021-11-1268鉴于偶函数的特点，应用中经常使用单边功率谱，表示为： 2, 00, 0XXSwwGww2021-11-1269互功率谱密度互功率谱密度互功率谱通常是复函数，反映了两个信号的关联互功率谱通常是复函数，反映了

11、两个信号的关联性沿性沿w轴的密度状况。轴的密度状况。2021-11-1270（1)两种互功率谱的实部相同，而虚部反号；（2)实信号的互相关函数为实函数，因此，互功率谱的实部都是偶函数，虚部都是奇函数。 性质性质2 互功率谱具有对称性。互功率谱具有对称性。*( )( )XYYXSwSw*( )()XYXYSwSw2021-11-12710( )cos0E Z tAEw t200001(, )cos()cos()cos2ZRttEAw twAw tAw解：由于X(t)与Z(t)独立，且Z(t)是零均值的，因此它们正交。例例3.10 讨论（加性）单频干扰。若实平稳信号讨论（加性）单频干扰。若实平稳信

12、号X(t)受到加性的独立随机正弦分量受到加性的独立随机正弦分量Z(t) = Acos(w0t+)的干扰。已知的干扰。已知A, w0为常数，为常数，是在是在0,2)上均匀分上均匀分布的随机变量。求（布的随机变量。求（1）受扰后信号）受扰后信号Y(t)的相关函的相关函数；（数；（2）信号）信号X(t)与与Y(t)是否联合平稳？若是，是否联合平稳？若是，进一步求功率谱进一步求功率谱SY(w)与互功率谱与互功率谱SXY(w)。2021-11-1272 20,()( )1 ,( )cos2YXZXRttEX tZ tX tZ tRttRttRAw X,( )=R ( )XYRttEX tX tZ t对于

13、Y(t)=X(t)+Z(t), EY(t)=mX正交项使得交叉项为0故X(t)和Y(t)为联合平稳信号。2021-11-1273200()()2YXASwSwwwww()()XYXSwSw通过傅里叶变换得到从Y(t) 的功率谱中可以看到单频干扰成分w0。2021-11-12743.5 白噪声与热噪声 2021-11-1275 1,00,000CRCR 白噪声通常均值为零，因此C()=R()。相关系数为：白噪声有时也通俗地称为“纯随机的”： （1）无限带宽的理想随机信号 （2）功率（即方差）为无穷大 （3）而不同时刻上彼此不相关 2021-11-1276 若白噪声的每个随机变量都服从高斯分布，则

14、称其为高斯白噪声（信号）（WGN, White Gaussian Noise）。它是无关信号，也是独立信号，代表信号“随机性”的一种极限。02NR mm0()/2jwjwmmS eR m eN如果平稳序列对所有m满足或者则该序列是白噪声序列。高斯白噪声序列是独立序列。2021-11-12772121212,R n nC n nnn 121212/221,;,11exp22nnniininnif x xx n nnf xx例例3.11 若若N(n)是方差为是方差为2的零均值高斯白噪声序的零均值高斯白噪声序列，试求：列，试求：（1）它的相关函数）它的相关函数Rn1,n2与协方差与协方差函数函数Cn

15、1,n2；（；（2）它的）它的n维概率密度函数。维概率密度函数。解：相关函数和协方差函数为因为N(n)是独立同分布的，其n维概率密度函数为2021-11-1278 0cosAE X tm Ew t000cos2j w tj w teew t 000022j w tj w tjw tjw tjjAAmmE X tE eE eeE eeE e 3.6 应用举例 解：由欧拉公式，有当且仅当(1)=0时，EX(t)=0 (常数)。例3.13 讨论随机相位正弦信号的广义平稳条件。正弦随机信号X(t)=Acos(w0t+)，其中随机变量A的均值为mA，方差为A2，的特征函数为(v)，与A统计独立。讨论X(

16、t)的广义平稳性。2021-11-1279 2120 10 220120 10 2coscoscoscos22 E X tX tE AEw tw tE AEwttw tw t0 10 20 10 2220 10 21cos22j w tw tj w tw tjjEw tw teE eeE e 22212012012coscos22AAE AmE X tX twttwtt当且仅当(2)=0时，上式为0。2021-11-1280(1)(2)0( )0E X t212012,cos2E AR t twttsin( )vvv, U随机相位正弦信号广义平稳的充要条件是：此时当有2021-11-1281

17、000011*2214 YXXXSwSwwwwwSwwSww 01cos2YXRRw解：Y(t)是广义平稳信号，有2021-11-1282调制使得信号的频谱发生搬移。2021-11-1283例例 3.15讨论随机二元（二进制）传输信号的平稳讨论随机二元（二进制）传输信号的平稳性与功率谱。性与功率谱。2021-11-1284( )()nnX ta g tnT2021-11-1285( )()( 1)( 1) Ym tE X tDpqpq121212( , )( ) ( )()()YR t tE Y t Y tE X tD X tD 21212122( , )( ) ( )()()1 4 YYR

18、t tE Y t Y tE X tDE X tDmpqpq解：Y(t)的均值为Y(t)的相关函数为(1)假定|t1-t2|T ，两时刻上独立，则2021-11-1286(2) 假定|t1-t2|T, 则独立的概率为： |t1-t2|/T不独立的概率为：1- |t1-t2|/T2021-11-1287121212211212( , )()()/()1/1 4/ YR t tE X tD X tDttTE XtDttTpq ttT于是1 4/ , ( )1 4, YpqTTRpqT2021-11-1288 222sin/22sin/2421 416sin/221 4YwTwTpqSwpqwTwwpqwTpqww T 4( )*( )1 4YTTpqRPPpqT 2sin/2TwTPw功率谱为：注意：而PT(t)为中心在原点、宽度为T、高度为1的方波脉冲。2021-11-1289注意：该信号的直流成分，主瓣带宽 (F=1/T Hz)，F是正数据率。2021-11-1290( )( 0)amE Y tG jT 1( )YagkRRk rKTT21( ) jkwTYakSwG jwR k eT ( )*grg tg t dtgg定理3.5 假定an为平稳序列，均值为ma，自相关函数为Rak。设g(t)为中心在原点、宽度