北师大版八年级数学(下)第一章三角形的证明第5节直角三角形的性质与判定

1、北师大版八年级数学（下）第一章 三角形的证明第5节宜角三角形的性质与判定例 1：在ZVIBC 中，ZA=90° , ZB=2ZC,则 ZC：的度数为（）A. 30。B. 45°C. 60°D. 30。或 60。解：在AABC 中，ZA=90° , ZB=2ZC9 A2ZC+ZC=90° , A ZC=30° ,故选：A.练习:在RtAABC中，ZC=90° , ZAZB=50° ,则乙4的度数为（）B. 70°D. 50°解：V ZC=90° , A ZA+ZB=90° ,

2、VZA - ZB=50° , A2ZA = 140° ,A ZA=70° ,故选：B.作业：1. 直角三角形的一个锐角ZA是另一个锐角ZB的3倍，那么的度数是（）A. 22.5°B. 45°C. 67.5°D. 135°解：设ZB=x。,贝|ZA=3x° ,由直角三角形的性质可得ZA+ZB=90° , x+3x=90,解得 x=22.59 :. ZB=22.5Q ,故选：A.例厶在下列条件中：ZA+ZB=ZC,乙心ZB： ZC=1： 2： 3,（3）ZA=90° - ZB,ZA = ZB=*ZC

3、,ZA=2ZB=3ZC中，能确定AABC是直角三角形的条件 有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个解：因为ZA+ZB=ZC,则2ZC=180。，ZC=90° ,所以AABC是直角三角形； 因为ZA： ZB： ZC=1： 2： 3,设则 x+2r+3x=180, x=30° , ZC=30° X3 =90。,所以AABC是直角三角形； 因为ZA=90° ZB,所以ZA+ZB=90° ,则ZC= 180° -90° =90° ,所以AABC 是直角三角形； 因为ZA = ZB =丄,所以ZA+ZB+ZC =丄Z

4、C+占ZC+ZC=180。，则ZC=90° ,所以AABC是宜角三角形； 因为3ZC=2ZB=ZA, ZA+ZB+ZC=丄ZA+izA+ZA = 180° , ZA=,3211共4个,所以心力为钝角三角形.所以能确定AABC是直角三角形的有 故选：C.练习：在下列条件中：®ZA = ZB- ZC, ®ZA - ZB=90° , ZA = ZB=2ZG ZA = £zB=£zC中，能确定AABC是直角三角形的条件有()23A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解：由ZA+ZB+ZC=180° , ZA = ZB Z

5、C 得到：2ZB = 180。,则ZB=90° ,则AABC是直角三角形，故符合题意； ZAZB=90。得到：乙4>90° ,则AABC不是直角三角形，故不符合题意； 由ZA+ZB+ZC=180° , ZA = ZB=2ZC 得到：5ZC=180° ,则ZC=36° ,则ZA = ZB=72° <90° ,则AABC不是直角三角形，故不符合题意； 由ZA+ZB+ZC=180° , ZA = AzB = AzC 得到：ZC=90° ,则AABC 是直角三23角形，故符合题意；综上所述，是直角三角

6、形的是，共2个.故选：B.作业：2. 在下列条件中： ZA+ZB=ZC；®ZA： ZB： ZC=1： 2： 3； 厶=2ZB=3ZC； ZA = ZB = ZC中，能确定AABC是直角三角形的条件有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解：ZA+ZB=ZC是直角三角形； ZA： ZB： ZC=1； 2： 3,是直角三角形； ZA=2ZB=3ZC,则设ZA=x, ZB = M ZC=兰，则 卄兰+ 兰= 180° ,解得 x=232 3口；。,乙4=晋乞，zb眷 ,zc二彎；aabc不是直角三角形； ZA = ZB = ZC,不是直角三角形，是等边三角形，能确定AABC

7、是直角三角形的条件 有2个，故选：B.例 3：在 RtZUBC 中，斜边 AB=3,则 AB2+BC2+CA2=.解：AABC 为直角三角形，:.AC2+BC2=AB2, XAB=3, :.AC2+BC2=AB2 =9,则 AB2+BC2+CA2=AB2+ (BC2+CA2) =9+9=18故答案为：18练习：如图所示，在AABC中，ZABC=90。，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形， 面积分别为225. 400、S则S% ()225B qc400DA. 175B 600C. 25D. 625解：由勾股定理得，AB2+BC2=AC29则5=25+400=625,故选：D.作业：3.已知A

8、ABC中Zf=90° , c为斜边，（i、b为直角边,若a+b=17cmf c = 13c加，则厶 ABC的面积为（）A. 15cm2B. 30c加2c. 45cm2D. 60c胪解：Va+b = 179（a+b） 2=289, ：.2ab=2S9 - （a2+b2） =289 - c2=289 - 169=120丄血=30,故选：B.2例4：如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB=3, BC=4, CD=2, AD = 13, ZB= 90° 求阴影部分的面积.解：如图，连接AC. ABC 中，ZB=90° , AB=3, BC=4, :.AC=2+2=5-V

9、CD=12, AD=13, AC=5, :.AC2+CD2=AD29 AAA CD 是直角三角形，:S 阴形=Smcd * abc=-J X5X12 -占X3X4=30 - 6=24.练习：如图，在RtAABD中，ZABD=90° , AD = 10, AB=&在其右侧的同一个平面内 作BCD,使 BC=8, CD=2航.求证：AB/DC.8 d证明：在 RtAABD 中，ZABD=90° ,AD=10,AB=8, ABD = AD2-AB2=7102-82 =6, VBC=8, CD=2乐 A62+ (27) 2=82,:仏BDC 是直角三角形，A Z5OC=90

10、° ,；ZABD=ZBDC, :.AB/DC.作业：4.如图所示，在四边形 ABDC 中.ZA=90° , AB=9f AC=12, BD=89 CD=17.(1) 连接BC,求BC的长；(2) 判断的形状，并说明理由.解：(1) ZA=90° , :.BC= 7aB22=V92 +12 2= 15;(2) BCD 是直角三角形，理由：VBC2=152=225, BD2=82=64,CD2 = 172=289, :.BC2+BD2=CD2=2899 :. ABCD 是直角三角形.例5：如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1,点A, B, C为网格的交点.(1)

11、判断AABC的形状，并说明理由；(2) 求AB边上的高.解：(1) AABC为直角三角形，理由：由图可知,AC=5/22 + 42 = 25, BC=dAB=寸护十42=5, /.AC2+BC2=AB2,ABC是直角三角形；(2)设AB边上的高为几由(1)知，心2品 BC=襄,AB=5, AABC是直角三角形，*BCM： = *ABh，乙乙即亦X2真=斗>< 射，解得，h=2,即仙边上的高为2.乙乙练习：如图，在四边形 ABCD 中，AB=3, BC=49 CD=12, AD=13, ZB=90° .(1) 连接AG 求证：20/)是直角三角形；(2) 求心仞中AD边上的

12、髙解：(1)证明：连接 AC,在 RtAABC 中，AC2=AB2+BC2=32+42=25,:.AC=59 VCD = 12, AD=139 :.AC2+CD2=AD29 :. ZACD=90° ,:.AACD是直角三角形；(2)解：过点 C 作 CH丄AD 于点弘 贝!| SMci)=ADXCH=ACXCD92 2作业:5.如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1, A, B, C为格点(1) 判断2BC的形状，并说明理由.(2) 求BC边上的高.解：(1)结论：AABC 是直角三角形理由:V5C2=l2+82=65, AC2=22+32 = 13, AB1 =62+42=52, :.AC2+AB2=BC29 :.AABC 是宜角三角形.设BC边上的槪为h.则有护5 =寺心，施=皿AB5 BC=:h =例6：写出命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等”的逆命题该逆命题是命题（填“真”或“假 解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等”写成它的逆命题：如果两个 三角形的周长相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，故答案为：如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等；假练习：“两直线平行内错角相等”的逆命题是命题.（填“真”或“假”）解：原命题的条件为：两宜线平行，结论为：内错角相