第八讲全等三角形复习(教师版)

1、第八讲 期中复习课时1 全等三角形复习目标能够完全重合的两个三角形叫全等三角形，判定两个三角形全等的方法有：SAS，ASA，AAS，SSS。 两个全等三角形的对应边，对应角相等，对应边上的中线，高线相等，对应角的平分线相等。运用三角形全等，可以证明线段相等，角相等，两直线垂直等问题。证明的思路是将要证明的问题，转化为证两个三角形全等，在要证的两个全等的三角形中，找出对应的边或角相等，但在找全等的条件时，要注意添加适当的辅助线，而辅助线的添加由图形特征及已知条件决定。我们实际遇到的图形，两个三角形并不重合在一起，而是处于各种不同的位置，但其中一个是由另一个经过平移，翻折，旋转等变换而成的。了解全

2、等变换的几种形式，有助于发现全等三角形，确定对应元素，善于在复杂的图形中发现问题，分解，构造基本的全等三角形是解题的关键。典型例题例1、如图所示，在AM为BC边的中线，求AM的取值范围难度分级：B 分析：可延长AM至N，使MN=AM，连接BN，构造，故NB=AC=8，在，能求出AN，即2AM的取值范围，从而求出AM的取值范围。解：延长AM至N使MN=AM，连接BN，因为AM为BC边的中线，所以BM=CM，又因为所以所以NB=AC=8，所以例2、如图所示，在是的平分线，延长BD至E，使DE=AD，求证：BC=AB+CE难度分级：B分析：本例是线段和差的证明，截长补短是证明这类问题的基本方法，即在

3、BC上截取BF使BF=BA，接下来，只要证明FC=CE即可，这样，就把问题转化为证明两个线段相等。证明：在BC上截取BF使BF=BA，连接DF例3、如图，求的面积。难度分级：B分析：延长BE与CD的延长线交于F，是一对特殊的旋转型全等三角形，有了这一对全等三角形，问题就可以解决了。解：延长BE与CD的延长线交于F，例4、如图，梯形，的延长线相交于，（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）；（2）从你写出的4组相等的线段中选一组加以证明难度分级：A 解：（1）四边形为等腰梯形，本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等腰三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有： 判定两个三角形全等

4、，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件求相等的线段，利用全等三角形和等腰三角形是常用的方法 例5、已知：如图，梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F（1）求证：BCEAFE；（2）若ABBC且BC=4，AB=6，求EF的长难度分级：B分析：（1）直接根据可判定 （2）根据直角梯形的性质，结合（1）中的证明得到，利用勾股定理可求出解答：证明：（1）解：（2）点评：主要考查了全等三角形的判定和梯形的性质要会利用全等的性质得到相等的关系和直角梯形的性质掌握其判定及其性质并会灵活运用 例6、如图，在等腰梯形A

5、BCD中，C=60°，ADBC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE于点P（1）求证：AF=BE；（2）请你猜测BPF的度数，并证明你的结论难度分级：B分析：由可证,得出,可得解答：证明：（1）（2）点评：此题考查了等腰梯形的性质和全等三角形的判定的理解及掌握B类题型课堂练习1、如图，在中，AB=7，AC=5，中线AD=m，求偶数m的值。解：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，则得BE=AC。2、在ABC=，AD，CE分别平分求证：AC=AE+CD解：设AD，CE交点为O，在AC上取点F，使AF=AE，连接OF，则3、如图，在ABC中，DE为A

6、C边的垂直平分线，AB=12cm，BC=10cm，则ABE的周长为多少？的周长，知道只要求得即可，根据线段垂直平分线的性质得于是答案可得解答：解：为边的垂直平分线的周长为点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等对线段进行等效转移是解答本题的关键课时2 轴对称与实数轴对称复习目标在轴对称变换下，图形中两点间的距离，弧长，角度，面积等保持不变，而这种变换在现实生活中有着广泛的应用和丰富的文化价值。同时通过这种变换，可以使相关元素相对集中，从而构造出新的图形，在解决问题中起到出奇制胜的效果。等腰三角形是以顶角平分线所在直线为对称轴的轴对称图形

7、，等腰三角形的“两底角相等”，“三线合一”等性质是几何证明和计算的重要依据。善于发现，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务是解几何题的常用技巧，常用的有：平行线+角平分线，角平分线+垂线，垂线+中线。等边三角形是特殊的等腰三角形。典型例题例1、如图，两个班的学生分别在M，N两处参加植树活动，现要在道路AB，AC交叉区域内设一个茶水供应点P，使点P到两条道路的距离相等，且使PM=PN。某同学说：“只要作一个角的平分线，这个茶水供应点的位置就确定了。”你说对吗？如果对，请在示意图上找出这个点的位置；如果不对，说明你的理由。难度分级：B分析：这个同学说的明显不对，只有一条角平分线无法确

8、定一个点的位置，从“两直线相交只有一个交点”知。要确定一个点的位置，必须画两条直线。画角平分线可以保证其上的点到道路（角的两边）两边的距离相等，而到M，N两点的距离相等的点应该在线段MN的垂直平分线上，故再作线段MN的垂直平分线，两直线相交于点P，则点P为所求的茶水供应点。例2、如图牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC，BD，且AC=BD，若A到河岸CD中点的距离为1500m，（1）牧童在A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路线最短?在图中做出该处并说明理由；（2）最短路程是多少?难度分级：B解：（1）作点A关于CD的对称点，连接B交CD于M则M即为所求饮水点

9、。（2）由（1）知：AM=AM，AC=AC=BD，从而得到故AM=BM，CM=DM，即M是CD中点，且AB=2AM又因AM=1500m，所以AB=AM+BM=2AM=3000 m，故最短路线的路程为3000 m。例3、如图已知直角（1）请以直线AC为对称轴，作与轴对称的图形；（2）所得图形与原图形组成的图形是等腰三角形吗？请说明理由。难度分级：B分析与解：（1）作点B关于AC的对称点D，连接AD，所得的就是所求的三角形；（2）所得的图形与原图形组成的图形是等腰三角形，由于ACBC，BC=CD所以点D是点B关于直线AC的对称点，当然点A得对称点A，所以线段AB与AD关于直线AC成轴对称，故AB=

10、AD，即是等腰三角形。能力训练例4、如图解：例5、如图解：先证实数复习目标本节的内容包括两个方面：数的开方的概念及性质的应用；实数的初步概念及性质的应用。如果x=a（n2，n为整数），那么x叫做a的n次方根。当n为奇数，a的n次方根记作x=（a可为任何实数），任何数（正数，负数和零）有且只有一个奇次方根。当n为偶数时，必须要求a0，这时，a的n次方根有两个，记作其中正的n次方根又叫做a的n次算术根。求一个数的方根的运算叫做开方（运算）。乘方运算和开方运算互为逆运算，即有有理数和无理数统称为实数，任一实数都可以开奇次方，但只有非负数才能开偶次方。有理数的运算律和运算性质在实数范围内仍然成立。实数

11、还有以下重要性质：1、设为有理数，为无理数。则为无理数;当时，都是无理数，当时，就是有理数了。2、若、都是有理数，是无理数，则要使成立，须使3、若都是有理数， ，是无理数，则要使=成立，须使典型例题例1、若都是有理数，那么（ ）（A）都是无理数 （B）一个是有理数，另一个是无理数（C）都是无理数 （D）是有理数还是无理数不能确定难度分级：A解：例2、已知实数满足（A）1991 （B）1992 （C）1993 （D）1994难度分级：B解：由题意知，因而，于是例3、已知实数在数轴上的位置如图所示：化简难度分级：B考点：实数与数轴分析：首先根据数轴得出值的大小关系，接着判断的符号，再利用绝对值的定

12、义计算即可求解解答：解：根据数轴可知： 点评：本题主要考查了学生数形结合的能力，及学生对数轴的掌握情况课堂练习1、若解： 2、如果解：3、下列各数中没有平方根的是（）A.B.0C. D. 答案：D4、一个数的算术平方根是,这个数是()A.4B. C.2D. 答案：C5、下列四种说法正确的是() 1的立方根是1 的立方根是与 -81无立方根 互为相反数的两个数的立方根互为相反数A.B.C.D.答案：A6、实数的大小关系是( )A. B. C. D. 答案：B作业1、ABCDEF，且ABC的周长为12，若AB=3，EF=4，则AC= 。2、若ABCEFG，且B60°，FGEE56

13、6;，则A 度3、如图，ABC与BDE都是等边三角形，AB<BD。如ABC不动，将BDE绕点B旋转，则在旋转过程中，你认为AE与CD的大小关系会怎样:_。4、瓦工师傅盖房时，看房梁是否水平，有时就用一块等腰三角板放在梁上，如图，从顶点系一重物，如果系重物的绳正好经过三角板底边中点，房梁就是水平的，你能说明这是利用了哪个数学原理吗?答：_5、如图，在ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，BAD=BCE，AD与CE相交于点F，试判断AFC的形状，并说明理由6、如图，在ABC与DEF中，给出以下六个条件中（1）ABDE（2）BCEF（3）ACDF （4）AD（5）BE（6）CF，以其中三个作为已知条件，不能判断ABC与DEF全等的是（）（1）（5）（2）（1）（2）（3）（4）（6）（1）（2）（3）（4）7、综合训练 求下列各式中的 答案：1、 5 2、 3、不变 4、等腰三角形底边上的中线也是底边上的高线5、解析BD=BE，BAD=BC