初三数学直角三角形三角函数

1、1解直角三角形常用方法:(1) 勾股定理:c2=a2+ b2a&absin>l= cos>l = tw.A= (cot4= J(2) 三个锐角三角函数：(3) 三个三角函数之间的关系：互余关系 sinA=cos(90 ° A)、cosA=sin(90 ° A)平方关系：皿心'-4=：商数关系:sin AtanH =cos A2、注意两个转化(1) 把实际问题转化为数学问题：将实际问题图形转化为平面几何图形，依题意，画 出图形(2) 若三角形不是直角三角形，应添加适当的辅助线，将原图形分割成几个直角三角 形，找出边、角之间关系，求出所需要的量0&#

2、176;30°45°60°90°sin a01cos a10tan a01不存在3、特殊角0°, 30°, 45°, 60°, 90°的三角函数值要在理解基础上记住.O L °o4、三个三角函数值随角的增加，函数值的变化特征:当0°<a< 90°时，正弦与正切的函数值随角的增大而增大，但tan90°的值不存在，而余弦的函数值是随角的增大而减小.5、理解仰角、俯角、坡角、坡度等概念有时为了测出江河、水库、筑路等的坡面AB与地面BC的倾斜程度，有时用坡角a的

3、大小来反映。当a( 0°<a< 90°)较大时，则倾斜程度就较徒，有时把坡面 AB的铅垂高度h和水平宽度'的比叫做坡度，用字母i表示，、重难点知识概述1重点(1)锐角a的sin a ,cos a ,tan a的特殊角及对应的特殊值(2) 0°、90° 的特殊情况：sinO ° =0, cos0 ° =1, tanO ° =0, sin90 ° =1, cos90 =0, tan90 ° 不存在.(3)已知锐角a,则可求出sin a ,cos a ,ta n a的值，当a是0°

4、90°中一般角时, 可用科学计算器求出，反过来，若已知某三角函数值时，也可求出0° 90°间的角.(4) 利用直角三角形中的边角关系，解决实际冋题2、难点将一般三角形中所要求的值，转化为直角形求其值，即辅助线要恰当地作出 般来说，辅助线不要破坏所给的特殊角 一、周知识概述1、从实际问题出发一一梯子靠在墙上，有的较陡，有的较缓，用什么值反映出来？通 过学习发现：把这一问题转化为在直角三角形中，某锐角的对边与邻边的比tan 4 =.所以规定显然，梯子的倾斜程度与tanA的值的大小有关，当0° <A° <90°，若/ A逐渐 增

5、大，则tanA的值逐渐增大，梯子越陡.山的对边-曲的邻边c 1 jo |r n c iJ2、相应地规定正弦：3、关于30°, 45°, 60°的正弦，余弦、正切值，可由直角三角形来确定，与直角三角形大小无关，而与两锐角大小有关BCB当/ A=30o时当/ A=45°时当/ A=60o时则£匚=AC =ABAB ABAB ABan6(r- AB£返AB 2_2肋AB ABACcos(0°-AB-ABAB 2-AB将它们的特殊值列表如下：三角函数角a的度数sin aCOS atan a30° 45°4、为方便

6、学习, 余切，即60°应了解一下在直角三角形中，把/A的邻边与/ A的对边之比起名为珅山的邻气显燃w丄 山的对边tan A5、在 Rt ABC中，由锐角 A (0° <A<90 )的特点，可得到 0<sinA<1, 0<cosA<1，由 定义：£in A=(曲扛卫尸十(cm卫尸=罕亠身=牛=1.-可得出- 匚 即 sin 2A+ cos2A=1.6、除特殊角30°，45°，60°的三角函数值外，还有0°，90°的极端情况规定:nL 疔 口sinO°= _ = _ = 0

7、, cos0° = = = 1, tan Ci° =0c cc cb b(b0)，而 sin90 ° =1, cos90 ° =0, tan90。不存在. 、本周重难点1、重点：特殊角30°，45°，60°的正弦值，余弦值及正切值，且能根据特殊角的三角函数值，仅求锐角的大小.2、难点：如何将一般三角形，通过作辅助线转化为直角三角形去解决某些问题.三、重难点知识讲解例1、若关于x的一元二次方程x2+ ax+ b=0的两根是一直角三角形两锐角的正弦 值，且a+ 5b=1，求a,b的值.分析：此题要用到两个方面的知识.一是一元二次

8、方程根与系数的关系，二是利用 在 Rt中，当/ C=90° 时，有/ A+Z B=90°，aZ B=90°-Z A,贝U sinB=sin(90 A)=cosA的关系，建立a,b的方程组求解.解：设直角三角形ABC中, Z C=90o，依题意：sinA + sinB= a (1)，sinA sinB=b，又tZ A+Z B=90° ,：Z B=90° Z A. sinB=sin(90 ° A)=cosA 则将(1)，( 2)式化为:si nA + cosA= a (3) sinA cosA=b (4)(3) 2 (4)x 2,得2 2

9、 2sin A+ cos A+2 si nA cosA 2 si nA cosA= a 2b，由 sin 2A+ cos2A=1，二 a2 2b=1 (5)，又由条件可知a+ 5b=1(6)，解(5)( 6)组成的方程组，消去a得12?-12J? = 0p ，也定（X 2-12 =0,贝a =-155综上所得例2、为了农田灌溉的需要，某乡利用土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出一个深为1.2米，下底宽为2米，坡度为1 : 0.8的渠道(其横断面为等腰梯形)(如图)，并把挖 出来的土堆在两旁，使土堤的高度比原来增加0.6米.求(1)渠面宽EF的长；(2)若修300米长的渠道需挖的土方数是多少?解析：从

10、图中可知，将原土堤横断面MNP中挖出一个等腰梯形 ABCD且将挖出的土方 填在原土堤两边加高后，修成一个等腰梯形EBCF勺渠道以便灌水，这中间要求AD EF 等量.解：(1)如图过F作FG丄BC交BC的延长线于 G贝U: FG=0.6+ 1.2=1.8(米)(2)过D作DHLCG交CG于 H,贝U由DH 1：且 DH=1.2,例3、在 Rt ABC中/C=90° , AB=6 BC=2求(1) si nA, cosA, tanA 的值；(2) si nA与cosB是否相等？ si nB与cosA是否相等？为什么, tanA与sinA , cosA又有什么关系，为什么？(3) sin

11、2A与cos2A有什么关系？为什么？解： BC=2 AB=6 二込 J侣奸=Ju 屈=4血.A a BC 2 sin A = =(1)一 4 二.1-'J sin 4 = cosB = sin cos.(2) :匚又/ B=90°-Z A, 即卩 sinA=cos(90 ° - A)而 sin = cos J1 = T二 sinB=cosA 而/ A=90°-Z B sinB=cos(90 ° - B)(3) -I *221且 sin A+ cos A=-综上所述，除了掌握从0°90°间的特殊角的三角函数值外，还需了解它们之间的关 系，可分为：(1) 互余关系:sinA=cos(90 ° A), cosA=sin(90 ° A)(2) 平方关系：sin 2A+ cos2A=1sm A =-.例4、在 Rt ABC中，/ C=90，若 -求