2第二节动态方程的建立

1、friday, november 12, 20211第二节 动态方程的建立friday, november 12, 20212从系统的机理出发建立动态方程由微分方程写动态方程由结构图求动态方程由传递函数写动态方程本节主要内容friday, november 12, 20213一、从系统机理出发建立：1、rcl电网络（略，见例6-1）。2、机械运动系统：例6-2试列出在外力f作用下，以质量 的位移 为输出的动态方程。21,mm21, yy1v2v1k2k1y2y1m2m1b2bf解：该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：2241132211,vyxvyxyxyxfriday, novemb

2、er 12, 20214则有：)()(122122111111yybyykykybym 及：fyykyybym)()(12212222 将所选的状态变量代入上式并整理出状态方程得：2241132211,vyxvyxyxyx11yk11ym 11yb )(122yyb 22ym )(122yykf1m2m质量块受力图如下：1v2v1k2k1y2y1m2m1b2bf假设y2y1friday, november 12, 202152211xyxy输出方程：fmxmbxmkxmkxxmbxmbbxmkxmkkxxxxx2322222122441231212121121342311状态方程：friday

3、, november 12, 20216写成矩阵形式：fmxmbmkmkmbmbbmkmkkx222221212121121211000010000100432100100001xxxxyfriday, november 12, 20217二、由微分方程写动态方程例：一阶方程buaxx画出摸拟结构图：1x1x uybaxx 1选择状态变量，输出,1xy buaxx111xy 1,cbbaafriday, november 12, 20218例xaxaxabuxbuxaxaxax012012, 画出摸拟结构图：ubx 3x 2ax 3x1a0a2x1xx x选择状态变量如下：,1xx ,12xx

4、x 23xxx 输出为：1xxy110213233221xyxaxaxabuxxxxxx 动态方程为：friday, november 12, 20219uxxxaaax100100010321210321001xxxy写成矩阵形式：110213233221xyxaxaxabuxxxxxx 动态方程为：friday, november 12, 202110三、由结构图求动态方程uy4k111stk122stkstk33例：结构图如下：u11tks111t22tk3x 3x1x 2x 2x1xs121t33tks14kyfriday, november 12, 202111图中有三个积分环节，三

5、阶系统，取三个状态变量如上图：则有：2131xtkx 3222221xtkxtxutkxtxtkkx11311114311xy 写成矩阵形式：utkxxxttkktkttkx1132111412223300101000xy001friday, november 12, 202112pspzskas1uy例：含有零点的系统，如下：upszsskas1y-有一个零点：s=-z。将具有零点的环节化简得 ：pspzpszs1friday, november 12, 202113取状态变量如上图。则状态方程为： 输出方程为： )()(133312211pzxupxxkxxukxxaxx1xy pz us

6、1ps1ks1ay1x2x3x3x 2x 1x friday, november 12, 202114写成矩阵形式：32132100100001xxxyupzkxxxpzpkkax)()(133312211pzxupxxkxxukxxaxx1xy friday, november 12, 202115四、由传递函数求动态方程（一）、传递函数的形式为有理分式时：01110111.)()(asasasbsbsbsbsusynnnmmmm式中： ，都是实数。)0, 10(,mjnibanmji将分子、分母同除 得：nsnnnnnnmnmmnmsasasasasbsbsbsbsusy0)1(12211

7、0)1(1)1(1)(.1.)()(上式分母可写成：)()(.)()(1)0)1(12211nnnnsasasasafriday, november 12, 202116回忆信号流图中的梅逊公式：kkpsusysg)()()(.1fedcballllll 若所有的反馈回路互相接触，所有的前向通路与反馈通路都互相接触，则：0., 1fedcbklllll梅逊公式可简化为：aklpsusysg1)()()(式中， 为个前向通路的增益， 为各反馈回路增益。kpal 我们知道，同一系统可以有不同的信号流图。现在来看看能不能画出的信号流图出来。friday, november 12, 202117例系统

8、传递函数为：012233401223344)()()(asasasasbsbsbsbsbsusysg)()()()(140312213403122134sasasasasbsbsbsbb 把分子的五项看作五个前向通路的增益，把分母的后四项看成是四个反馈通路的增益，则可画出两个接触的信号流图如下图。四阶系统，四个积分器：4x 4b3b2b1b4x3x2x1x3a2a1a0a1s11s1s1su0byfriday, november 12, 202118 由图可见每个回路是接触的，与每条前向通路也是接触的。满足传递函数 。取状态变量如图（一般取积分器后的信号为状态变量）：)()(susy43322

9、1104433221xaxaxaxauxxxxxxxubxabbxabbxabbxabbxbxbxbxbxby443433242214110404443322110)()()()(输出：u14x 1s4b1s3b1s1s2b0b1b4x3x2x1x3a2a1a0ay1x 2x 3x friday, november 12, 202119写成矩阵形式：ubxabbabbabbabbyuxxxxaaaaxxxxx43432421410404321321043211000100001000010 这种形式的模型称为相变量形式的状态变量模型。特点：a阵，对角线上方元素为1，最后一行元素为分母负系数的反

10、向罗列，其他元素为0；b阵，最后一行元素为1，其他元素为0。friday, november 12, 202120 还有一种称为输入前馈形式的状态变量模型。上例的信号流图还可以画成下图形式（令 ，分子比分母至少低一阶）：04b)(su4x 0b1s1b11s1s1s2b3b1114x3x 3x2x 2x1x 1x0a3a2a1a)(sy可见满足两个接触，而且传递函数也满足 。)()(susy)()()()(1)()(4031221340312213sasasasasbsbsbsbsusyfriday, november 12, 202121取状态变量 如图。有：1010314113231223

11、2131xyubxaxubxxaxubxxaxubxxax )(su4x 0b1s1b11s1s1s2b3b1114x3x 3x2x 2x1x 1x0a3a2a1a)(syfriday, november 12, 202122写成矩阵形式：43210123432101230001000100010001xxxxyubbbbxxxxaaaax10103141132312232131xyubxaxubxxaxubxxaxubxxaxfriday, november 12, 202123若分子分母同阶，则要化分子比分母低一阶。01223340122334012233401223344)(asasas

12、asbsbsbsbbasasasasbsbsbsbsbsg例如：2121222341223412234762)()()(ssssssssssssusysg22xu2x 1x1x 324y1111s1suxyuxxuxxx2324112211uxxyuxxxxx201120314212121即：friday, november 12, 202124例： ，分别写出相变量、输入前馈形式的动态方程。6168682)()()(232ssssssusysg32132161681682)()(sssssssusy解：相变量形式信号流图及状态变量如下图，状态方程如下：2)(su11s1s1s683x 1x2

13、x3x2x 1x 8616)(sy321332218166xxxuxxxxx321286xxxyfriday, november 12, 202125写成矩阵形式：3213213212861008166100010 xxxyuxxxxxxxfriday, november 12, 202126输入前馈形式的信号流图及状态变量如下图：)(su)(sy1s1s1s61118261681x2x3x3x 1x 2x uxxuxxxuxxx6681628133122111xy 即：uxx6820061016018xy00132132161681682)()(sssssssusyfriday, novem

14、ber 12, 202127（二）、传递函数的形式为零极点形式时： 可以得到串联形式和解耦形式的状态变量模型。njjmiitssksg11)()()(q 串联形式：5) 1(5ss21s36s)(sr)(sy)3)(2)(1() 1(30)(sssssgfriday, november 12, 202128 前面我们介绍了由结构图求动态方程的方法，这里介绍用信号流图求解。55205) 1(5sss5) 1(5ss51s205rrr111s5205r11s1s1s52056y23全系统信号流图为：1x1x 2x2x 3x3x 11friday, november 12, 202129定义状态变量

15、如上图，得：1333222115520263xyrxxrxxxxxx写成矩阵形式： xyrxx0011505002020063friday, november 12, 202130q 解耦形式：（对角阵形式）例：上例中， 325)3)(2)(5() 1(30)(321sksksksssssg式中：20)3)(2() 1(3051ssssk10)3)(5() 1(3022ssssk30)2)(5() 1(3033sssskfriday, november 12, 202131有： 321332211301020325xxxyrxxrxxrxx及：321321303102205xxxyrxxrxx

16、rxx信号流图为：1s1s1s3x3x 2x2x 1x1x 111532yr2030101s1s1s3x3x 2x2x 1x1x 111235ry203010或：330210520)(ssssgfriday, november 12, 202132写成矩阵形式：xyrxx111301020300020005或：xyrxx301020111300020005friday, november 12, 202133（三）由传递函数写特殊形式的动态方程：)(sz)()()()()(suszszsysg引入中间变量 ，有：022110111.)()()(asasasbsbsbsbsusysgnnnnnn

17、nnn1.可控标准型：设令：01110111.1)()(.)()(asasassuszbsbsbsbszsynnnnnnn其对应的微分方程为：)()(.)()()()()(.)()()(01)1(1)(01)1(1)(tzatzatzatztutzbtzbtzbtzbtynnnnnnnfriday, november 12, 202134选择状态变量如下：)1(21,nnzxzxzxzx 于是有：102112101)2(2)1(1)(13221xaxaxaxauzazazazauzxxxxxxxnnnnnnnnnnnn输出方程：111222211100102112100212312110211

18、21)()()()()(xbabxbabxbabxbabubxbxbxbxbxaxaxaxaxaubxbxbxbxbxbynnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnfriday, november 12, 202135动态方程写成矩阵形式得：uxxxxaaaaxxxnnn100010000001000010321121021ubxxxxbabbabbabynnnnnnn321111100friday, november 12, 202136令：ncnnnnnnccncbdbabbabbabbabcbaaaaa,1000,10000001000010112211001210定义：凡具有

19、 ， 形式的动态方程称为可控标准型。可见：相变量型的就是可控标准型。caa cbb friday, november 12, 202137例：试化 为可控标准型。1064232)()()(232ssssssusysg解：分子、分母同除以2得：5322321)()()(232ssssssusysg可得：,235100010ca100cb5 . 015 . 1ccfriday, november 12, 2021382.可观测标准型： 0111011211)()()(asasasbsbsbsbsusysgnnnnnnn 分子比分母低一阶以上，若分子分母同阶，应处理成分子比分母低一阶，这时，输出方程

20、中的 ，表示输出含有与输入直接关系的项。nbd 对应的微分方程为：ububububyayayayaynnnnnnnnn01)2(2)1(101)2(2)1(1)(friday, november 12, 202139选择状态变量如下：yxubyayxububyayayxubububyayayxubububyayayxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn111212122)4(2)3(12)3(1)2(21)3(2)2(11)2(1)1(1 ubxaxxubxaxxubxaxxubxaxxubxaxnnnnnnnnnnnnn111222122231112001状态方程为：输出方程为：nxy friday, november 12, 202140122100100010000100001000nnaaaaaa1100nbbbb10000c定义：凡满足 的动态方程称为可观测标准型。 00,ccaafriday, november 12, 202141例：试化 为可观测标准型。 52337)()()(23sssssusysg解：直接套用公式得：xyuxx100073310201500friday