数理方程特殊函数非齐次边界条件定解问题求解PPT课件

1、1(一一)、边界条件齐次化方法、边界条件齐次化方法1、一般方法、一般方法)(),()(),()0,0(),(0021022222xtuxutuutuutLxtxfxuatuttLxx讨论如下定解问题边界条件齐次化：讨论如下定解问题边界条件齐次化：采用未知函数代换法：采用未知函数代换法：),(),(),(txWtxVtxu即：选择适当的即：选择适当的W(x,t)，使关于，使关于V(x,t)定解问题边界条定解问题边界条件是齐次的。件是齐次的。第1页/共40页2具体过程：具体过程：(1)、作代换：、作代换：(2)、将代换式代入定解问题中得：、将代换式代入定解问题中得：),(),(),(txWtxVt

2、xu2200120000( , ),(0,0)( ),( )( ),( )ttttxxxxxxx Lx LttttVWa Va Wf x txL tVWu t VWu tVWVWxxtt第2页/共40页3(3)、选择、选择W(x,t)，使关于，使关于V(x,t)定解问题边界条件齐次！定解问题边界条件齐次！由由(2)、只要、只要W(x,t)满足如下条件即可：满足如下条件即可：012( ),( )*xx LWu t Wu tW(x,t)如何选取？如何选取？W(x,t)的选取方式很多！下面采用多项式函数待定法的选取方式很多！下面采用多项式函数待定法选择选择W(x,t)令：令：)()(),(tBxtA

3、txW由由*可得：可得：)()(,)()(1)(112tutBtutuLtA第3页/共40页42111( , )( )( )( )W x tu tu txu tLxLuuuVu121于是得于是得W(x,t)的一种选择式为：的一种选择式为：将下式将下式代入原定解问题中：代入原定解问题中：22212200101( , ),(0,0)0*( ),( )xxLttVVafx txL ttxVVVVxxt第4页/共40页5 xLuuuxxxLuuuxxxLtutututxftxf)0()0()0()()()0()0()0()()()()()(),(),(121112111211其中：其中：(*)属于齐次

4、边界条件下的非齐次方程定解问题，可属于齐次边界条件下的非齐次方程定解问题，可用齐次化原理或级数法进一步求解！用齐次化原理或级数法进一步求解！注：上面定解问题边界条件是第一类的，如果是其它注：上面定解问题边界条件是第一类的，如果是其它情形，只需恰当设置待定多项式的形式，也可以求出情形，只需恰当设置待定多项式的形式，也可以求出需要的需要的W(x,t),具体过程如下：具体过程如下：第5页/共40页6(1)、若边界条件为：、若边界条件为：作代换：作代换：),(),(),(txWtxVtxu012( ),( )xxx Luu t uu t得得W(x,t)需要满足的条件为：需要满足的条件为：012( ),

5、( )xxx LWu t Wu t可令：可令：)()(),(tBxtAtxW12( , )( )( )W x tu tut x第6页/共40页7(2)、若边界条件为：、若边界条件为：作代换：作代换：),(),(),(txWtxVtxu012( ),( )xxx Luu t uu t得得W(x,t)需要满足的条件为：需要满足的条件为：012( ),( )xxx LWu t Wu t可令：可令：)()(),(tBxtAtxW122( , )( )( )( )W x tu t xutut L第7页/共40页8(3)、若边界条件为：、若边界条件为：作代换：作代换：),(),(),(txWtxVtxu0

6、12( ),( )xxxx Luu t uu t得得W(x,t)需要满足的条件为：需要满足的条件为：012( ),( )xxxx LWu t Wu t可令：可令：2( , )( )( )W x tA t xB t x2211( )( )(, )( )2ututWx tut xxL第8页/共40页9(4)、若边界条件为：、若边界条件为：作代换：作代换：),(),(),(txWtxVtxu10122( ),( )xxxx Luuu t uuu t得得W(x,t)需要满足的条件为：需要满足的条件为：10122( ),( )xxxx LWWu t WWu t可令：可令：2( , )( )( )W x

7、tA t xB t x22112111211( )( )( )1(, )( )utututWx tut xxL第9页/共40页10 例例1、设弦的一端（、设弦的一端（x=0）固定，另一端（）固定，另一端（x=L）以以sint 作周期振动，作周期振动，这里这里n na/L(n=1,2)a/L(n=1,2)且初值为零。试研且初值为零。试研究弦的自由振动。究弦的自由振动。解：依题意，得定解问题解：依题意，得定解问题 22222, 0,0(0, )0, ( , )sin,( ,0)0,( ,0)0tuuaxL ttxn autu L ttLu xu x令：令：),(),(),(txWtxVtxu第10

8、页/共40页11由边界条件齐次化的多项式待定法可得：由边界条件齐次化的多项式待定法可得：( , )sinxW x ttL代入原定解问题得：代入原定解问题得：222222sin, 0,0(0, )0,(, )0( ,0)0,( ,0)tVVxatxL tLtxVtV L txV xVxL 该问题可用齐次化原理或级数法求解该问题可用齐次化原理或级数法求解!第11页/共40页12 但是，是否可以恰当选择但是，是否可以恰当选择W(x,t)，使关于，使关于V(x,t)的的定解问题成为齐次方程和齐次边界条件的定解问题？定解问题成为齐次方程和齐次边界条件的定解问题？ 由原定解问题边界条件特点，欲使边界条件齐

9、次由原定解问题边界条件特点，欲使边界条件齐次化，可假定：化，可假定：( , )( )sinW x tX xt 将将u(x,t)=V(x,t)+X(x)sint代入定解问题中分析，代入定解问题中分析，要使关于要使关于V(x,t)的定解问题成为齐次方程和齐次边的定解问题成为齐次方程和齐次边界条件，只需界条件，只需X(x)满足：满足：220(0)0,( )1XXaXX L第12页/共40页131( )cossinLxX xaataLaxtxWsinsinsin),(求出求出X(x)的解为的解为：于是于是),(),(),(txWtxVtxu将将代入原定解问题中得：代入原定解问题中得：第13页/共40页

10、141221sinsin)()() 1(2),(nnLxnLatnanLaLxtVaLaxxVxVLtVtVxVatVtsinsin),0(,0),0(0),()0,(22222由分离变量得：由分离变量得：原定解问题解为：原定解问题解为：11221( 1)( , )2sinsinsinsin()()nnn atn xLxu t xaLLn aLLaa第14页/共40页152、特殊情形下齐次化方法、特殊情形下齐次化方法如果方程自由项和边界条件表达式均与如果方程自由项和边界条件表达式均与t无关，则可以无关，则可以令：令：可以把关于可以把关于V(x,t)的定解问题直接化为齐次方程和齐次的定解问题直接

11、化为齐次方程和齐次边界条件。边界条件。( , )( , )( )u x tV x tW x第15页/共40页16例例2 求如下定解问题求如下定解问题 0, 0)0,0( ,00022222ttLxxtuuBuutLxAxuatu解解：令 )(),(),(xWtxVtxu将其代入定解问题中得：将其代入定解问题中得：第16页/共40页17 BWWAxWaLxx, 00)(02xLBaALxaAxW22222)(0),(0) 0,0( ,00022222ttLxxtVxWVVVtLxxVatV可将其分解为：可将其分解为：220000( ),(0,0)0,( )0,0ttxxxxx Lx LtttVa

12、 Va WxAxL tVWVWBVW xV于是得：于是得：第17页/共40页181sinsincos),(nnnxLntLanDtLanCtxV由分离变量得一般解为：由分离变量得一般解为：由初值条件得：由初值条件得：1sin)(nnxLnCxW1222sin22nnxLnCxLBaALxaA由傅立叶级数展开得：由傅立叶级数展开得：第18页/共40页19LnxdxLnxLBaALxaALC0222sin222nBnaALnnaALxdxLnxLBaAxdxLnxLaALLcos22sin2sin222233220022221222sincos22),(nnxLntLanCxLBaALxaAtxu

13、所以，原定解问题的解为：所以，原定解问题的解为：第19页/共40页201、适用范围、适用范围 :(二二)、分离变量法总结、分离变量法总结有界域上的波动、热传导定解问题和一些特殊区域上的稳态场方程定解问题；2、基本要求、基本要求 :叠加原理要能够使用，并能够定出固有值问题.3、主要方法、主要方法 :(1)、最基本的分离变量求解(要求齐次方程和齐次边界条件或园域上的周期性条件);(2)、固有函数展开法(要求齐次边界条件或园域上的周期性条件)。第20页/共40页214、主要步骤、主要步骤 :(1)、根据边界的形状选取适当的坐标系 。原则是使边界条件表达式最简单。若边界是圆、扇形，柱形，球形，要使用极

14、坐标，柱面坐标和球坐标表示定解问题；(2)、若边界非齐次、若边界非齐次, 作函数代换化为齐次边界问题作函数代换化为齐次边界问题 ；(3)、若定解问题是非齐方程、齐次边界条件，、若定解问题是非齐方程、齐次边界条件，采用函数分解方法将定解问题进行分解。分解后采用函数分解方法将定解问题进行分解。分解后考虑采用齐次化原理或固有函数值方法求解。考虑采用齐次化原理或固有函数值方法求解。第21页/共40页22应用举例应用举例2222200022sincos,(0,0)3,643(1),sinxx Lttuuaxxxl ttxlluuxuuxltl解解：令 )(),(),(xWtxVtxu将其代入定解问题中得

15、：将其代入定解问题中得：例例3 求如下定解问题求如下定解问题 第22页/共40页232022( )sincos03,6xx la WxxxllWW2224( )sin3 132lxW xxall22222000,(0,0)043(1)( ),xx LttVVaxL ttxVVxVVW xxltl可将其分解为：可将其分解为：22000022( )sincos,(0,0)3,64( )3(1),sinttxxxxx Lx LtttVa Va Wxxxxl tllVWVWxVW xVxll于是得：于是得：第23页/共40页241( , )cossinsinnnnn an anV x tCtDtxll

16、l由分离变量得一般解为：由分离变量得一般解为：由初值条件得：由初值条件得：由傅立叶级数展开得：由傅立叶级数展开得：13(1)( )sinnnxnWxCxll14sincosnnnanaxDxlll第24页/共40页2522202sinsin32lnlnnCxxdxlall2220,4,432nlna024sinsinlnnDxxdxn all0,4,44nlna第25页/共40页26所以，定解问题的解为：所以，定解问题的解为：22 2444( , )cossinsin324lalaxV x tttalall 原定解问题的解为：原定解问题的解为：222222444( , )cossinsin32

17、44sin3 132lalaxu x tttalalllxxall 第26页/共40页27例4 解环形域内的定解问题： 2222byxa0, 112222222222222byxayxnuuyxyuxu 分析：定解问题属于环形域内的泊松方程定解问题，因此，不能直接分离变量求解。但是，通过观察方程特征，很容易发现其泛定方程的特解形式为： 44( , )u x yaxby第27页/共40页28因此可采用特解化简方法化泊松方程为拉普拉斯方程 解：设方程特解形式为： 44),(byaxyxV44Vxy得：又令( , )( , )( , )u x yV x yW x y代入定解问题并采用极坐标得：222

18、4311()0,()( , )( , )( , )1cos24cos2r br buuWrarbrrrrW au aV aaWuVbrrr 第28页/共40页29100sincosnnnnnnnnDnCrBrALnrBAW极坐标系下拉氏方程的一般解为：根据等式特点，可令：40011cos2cossinnnnnnnnaAB LnaA aB aCnDn由边界条件得：220022( , )()cos2W rAB LnrA rB r311014cos2cossinnnnnnnnBbnAbnB aCnDnb 第29页/共40页3010000LnaBAbB3322422222bbBbAaaBaA所以有：4

19、2200221cos2()cos2aAB LnaA aB a330224cos2(22)cos2BbAbB bb通过比较系数得：第30页/共40页31442244244662002201bababaBbabaABA2cos2212442244244664rbababarbabarWVu得：原定解问题的解为：第31页/共40页32作业作业P7677习题习题3.6第第2、4、5、6题题第32页/共40页33Thank You !第33页/共40页3400( , )(0,0)( ),( )( ),( )xxyyxx ayyyy buuf x yxaybug y uh yux ux解解：令 ( , )( , )( , )u x yV x yW x y取：取：例例 求如下定解问题求如下定解问题 2( )( )( ,)( )2xxW x yyx yb第34页/共40页3500( ,)( ),( )(*)0,0 xxyyxxayyyybVVF x yVG yVH yVV得定解问题为：得定解问题为：