指数与对数函数

1、 §2.5指数与指数函数教学目标1.掌握指数运算2.了解指数函数模型的实际背景3.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算4.理解指数函数的概念、指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点学习内容知识梳理 1 根式的性质(1)()na(n>1，且nN)(2)当n为奇数时a；当n为偶数时.2 有理指数幂(1)幂的有关概念正整指数幂： 零指数幂：a01(a0)负整指数幂：an(a0，nN)正分数指数幂：(a>0，m、nN，且为既约分数)负分数指数幂： (a>0，m、nN，且为既约分数)(2)有理指数幂的运算法则设a>0，b>0，对任意有理

2、数，、有aaa，(a)a，(ab)ab.3 指数函数的图象与性质yaxa>10<a<1图象定义域(1)R值域(2)(0，)性质(3)过定点(0,1)(4)当x>0时，y>1；x<0时，0<y<1(5)当x>0时，0<y<1；x<0时，y>1(6)在(，)上是增函数(7)在(，)上是减函数例题讲解 题型一指数幂的运算例1化简：(1)(a>0，b>0)；(2)()(0.002)10(2)1()0.巩 固(1)化简(x<0，y<0)得()A2x2y B2xyC4x2y D2x2y(2)()·

3、;_.题型二指数函数的图象、性质例2(1)函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是 ()Aa>1，b<0Ba>1，b>0C0<a<1，b>0D0<a<1，b<0(2)若函数f(x)(e是自然对数的底数)的最大值是m，且f(x)是偶函数，则m_.巩 固 (1)函数y的图象大致为 ()(2)若函数f(x)ax1(a>0且a1)的定义域和值域都是0,2，则实数a_.题型三指数函数的应用例3(1)k为何值时，方程|3x1|k无解？有一解？有两解？(2)已知定义在R上的函数f(x)2x.若f(x)，求x的值；

4、若2tf(2t)mf(t)0对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围巩 固设函数f(x)kaxax(a>0且a1)是定义域为R的奇函数(1)若f(1)>0，试求不等式f(x22x)f(x4)>0的解集；(2)若f(1)，且g(x)a2xa2x4f(x)，求g(x)在1，)上的最小值综合题库A组1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)()44.()(2)(1)(1).()(3)函数yax是R上的增函数()(4)函数y(a>1)的值域是(0，)()(5)函数y2x1是指数函数()(6)函数y()1x的值域是(0，)()2 若a(2)1，b(2)1，

5、则(a1)2(b1)2的值是 ()A1 B. C. D.3 设函数f(x)a|x|(a>0，且a1)，f(2)4，则 ()Af(2)>f(1) Bf(1)>f(2)Cf(1)>f(2) Df(2)>f(2)4 若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_5 已知0x2，则y3·2x5的最大值为_B组1 函数yaxa(a>0，且a1)的图象可能是 ()2 已知a，函数f(x)ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的关系为()Amn<0 Bmn>0Cm>n Dm<n3 若函数f(x)a|2x4

6、|(a>0，a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A(，2 B2，)C2，) D(，24 若存在负实数使得方程2xa成立，则实数a的取值范围是()A(2，) B(0，)C(0,2) D(0,1)5 已知实数a，b满足等式2 014a2 015b，下列五个关系式：0<b<a；a<b<0；0<a<b；b<a<0；ab.其中不可能成立的关系式有()A1个 B2个C3个 D4个6 (0.002)10(2)1()0_.7 若指数函数yax在1,1上的最大值与最小值的差是1，则底数a_.8 若函数f(x)axxa(a>0，且a1)有

7、两个零点，则实数a的取值范围是_9 已知函数f(x)b·ax(其中a，b为常量且a>0，a1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)(1)试确定f(x)；(2)若不等式()x()xm0在x(，1上恒成立，求实数m的取值范围10设a>0且a1，函数ya2x2ax1在1,1上的最大值是14，求a的值C组1 设函数f(x)若F(x)f(x)x，xR，则F(x)的值域为 ()A(，1 B2，)C(，12，) D(，1)(2，)2 若关于x的方程|ax1|2a (a>0且a1)有两个不等实根，则a的取值范围是()A(0,1)(1，) B(0,1)C(1，) D.3 关于x的

8、方程x有负数根，则实数a的取值范围为_4 已知f(x)()x3(a>0且a1)(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立5 已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x(0,1)时，f(x).(1)求函数f(x)在(1,1)上的解析式；(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性；(3)当取何值时，方程f(x)在(1,1)上有实数解？归纳总结方法与技巧1判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数的值再进行比较2指数函数yax (a>0，a1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与0<a<1.3

9、对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成失误与防范1恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来2复合函数的问题，一定要注意函数的定义域3对可化为a2xb·axc0或a2xb·axc0 (0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围§2.6对数与对数函数教学目标1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点3.了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a>0

10、，且a1)解指数函数模型的实际背景学习内容知识梳理 1 对数的概念一般地，对于指数式abN，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即blogaN(a>0，且a1)其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”2 对数logaN(a>0，且a1)具有下列性质(1)N>0；(2)loga10；(3)logaa1.3 对数的运算法则(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logalogaMlogaN；(3)logaMlogaM (R)4两个重要公式(1)对数恒等式：_N_(2)换底公式：logbN.5对数函数的图象与性质a>10<a

11、<1图象性质(1)定义域：(0，)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x1时，y0(4)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0(5)当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0(6)在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数6. 反函数指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线yx对称例题讲解 题型一对数式的运算例1(1)若xlog43，则(2x2x)2等于()A. B. C. D.(2)已知函数f(x)则f(f(1)f(log3)的值是()A5 B3 C1 D.巩 固已知函数f(x)则f(2l

12、og23)的值为_题型二对数函数的图象和性质例2(1)函数y2log4(1x)的图象大致是 ()(2)已知f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，设af(log47)，bf()，cf(0.20.6)，则a，b，c的大小关系是()Ac<a<b Bc<b<a Cb<c<a Da<b<c巩 固(1)已知a21.2，b0.8，c2log52，则a，b，c的大小关系为()Ac<b<a Bc<a<bCb<a<c Db<c<a(2)已知函数f(x)loga(xb) (a>0且a1)的图象过两

13、点(1，0)和(0,1)，则a_，b_.题型三对数函数的应用例3已知函数f(x)loga(3ax)(1)当x0,2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由巩 固已知f(x)log4(4x1)(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间，2上的值域综合题库A组1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)若log2(log3x)log3(log2y)0，则xy5.()(2)2log510log50.255.(

14、)(3)已知函数f(x)lg x，若f(ab)1，则f(a2)f(b2)2.()(4)log2x22log2x.()(5)当x>1时，logax>0.()(6)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.()2 (2013·课标全国)设alog36，blog510，clog714，则 ()Ac>b>a Bb>c>aCa>c>b Da>b>c3已知x，y为正实数，则 ()A2lg xlg y2lg x2lg y B2lg(xy)2lg x·2lg yC2lg x·lg y2lg x2l

15、g y D2lg(xy)2lg x·2lg y4 函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_5 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在0，)上为增函数，f0，则不等式f()>0的解集为_B组1 函数y的定义域是 ()Ax|0<x<2Bx|0<x<1或1<x<2Cx|0<x2Dx|0<x<1或1<x22 函数ylg|x1|的图象是()3 已知xln ，ylog52，z，则()Ax<y<z Bz<x<y Cz<y<x Dy<z<x4 设函数f(x)若f(a)>f(a

16、)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(，1)(0,1)5 函数f(x)loga(ax3)在1,3上单调递增，则a的取值范围是()A(1，) B(0,1) C. D(3，)6 计算(lg lg 25)÷100_.7 已知函数f(x)则使函数f(x)的图象位于直线y1上方的x的取值范围是_8 若log2a<0，则a的取值范围是_9 已知函数f(x)loga(x1)loga(1x)，a>0且a1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集10设

17、x2,8时，函数f(x)loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a1)的最大值是1，最小值是，求a的值C组1 设f(x)lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是 ()A(1,0) B(0,1)C(，0) D(，0)(1，)2 设函数f(x)定义在实数集上，f(2x)f(x)，且当x1时，f(x)ln x，则有()Af()<f(2)<f() Bf()<f(2)<f()Cf()<f()<f(2) Df(2)<f()<f()3 设函数f(x)logax (a>0，且a1)，若f(x1x2x2 015)8，则f(

18、x)f(x)f(x)_.4 设f(x)|lg x|，a，b为实数，且0<a<b.(1)求方程f(x)1的解；(2)若a，b满足f(a)f(b)，求证：a·b1，>1.(3)在(2)的条件下，求证：由关系式f(b)2f()所得到的关于b的方程g(b)0，存在b0(3,4)，使g(b0)0.5 已知函数y(x2axa)在区间(，)上是增函数，求a的取值范围归纳总结方法与技巧1 对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax的定义域应为x|x>0对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1