-动点问题中的最值最短路径问题解析版

1、专题01动点问题中的最值、最短路径问题动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法.、基础知识点综述1. 两点之间，线段最短;2. 垂线段最短；3若A、B是平面直角坐标系内两定点，P是某直线上一动点，当P、A、B在一条直线上时，PA PB最大，最大值为线段 AB的长（如下图所示）4.最短路径

2、模型（1）单动点模型作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置.如下图所示，P是x轴上一动点，求 PA+PB的最小值的作图AP'（2）双动点模型P是/ AO餉一点,M N分别是边OA OB上动点，求作 PMN周长最小值.作图方法：作已知点P关于动点所在直线 OA OB的对称点P'、P'',连接P' P''与动点所在直线的交点M N即为所求5.二次函数的最大（小）a>0时，y有最小值k；当a<0时，y有最大值k.二、主要思想方法利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解

3、答.（详见精品例题解析）二、精品例题解析例1.（2019 凉山州）如图，正方形ABCDLAB=12,AE=3,点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQL EP,交CD于点Q则CQ的最大值为 例2.（2019 凉山州）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8,0），（0,8 ） 点C F分别是直线x=5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E,当厶ABE面积取最小值时，tan/ BAD：()CB:DEFOAx=-5I y8A177_174C9例3.(2019 南充)如图，矩形硬纸片ABCD勺顶点A在y轴的正半轴及原点上滑动，顶点B在x轴的正半轴及原点上滑动，点E

4、为AB的中点,A&24,BC=5,给出结论：点 A从点O出发，到点B运动至点O为止，点 E经过的路径长为12 n :厶OAB的面积的最大值为144;当 OD最大时，点 D的坐标为（竺空心），其中正确的结论是26 26（填写序号）例4.（2019 天津）已知抛物线 y x2 bx c （b、c为常数，b>0）经过点 A 1,0），点MmO）是x轴正半轴上的动点，若点 Q（ b -,yQ ）在抛物线上，当.2 AM 2QM的最小值为32时，求b24的值.例5. （2019 舟山）如图，一副含 30°和45°角的三角板 ABC和EDF拼合在个平面上，边 AC与EF重

5、合，AC 12cm 当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为 cm ；连接BD,则厶ABD的面积最大值为2cm 过点O作OHL BC于点H,以O为例6.（2019 巴中）如图，在菱形 ABCD，连接BD AC交于点圆心，OH为半径的半圆交 AC于点M（1）求证：DC是圆O的切线；（2）若AO4MC且AO8,求图中阴影部分面积；PHPM的值最小，并求出最小值（3）在（2）的前提下，P是线段BD上的一动点，当 PD为何值时,专题01动点问题中的最值、最短路径问题（解析）例1.（2019 凉山州）如图，正方形ABCDKAB=1

6、2,AE=3,点P在BC上运动（不与B、C重合）,过点P作PQL EP,交CD于点Q则CQ的最大值为 諾E【答案】4.【解析】解： PQL EP,/ EPQ90°,即/ EPB/ QPC90°,四边形ABCDI正方形，/ B=Z C=90°,Z EPB/ BEP=90°,/ BEP：/ QPC BEPA CPQ BE BPCP CQ，/ AB=12, AE=3, BE=9,设 CQy, BF=x, CP=12 x, （0<x<12）.9 x12 x yx 12 x当x=6时，y有最大值为4，即CQ的最大值为4.【点睛】此题为“一线三直角模型”

7、，解题方法为相似三角形性质求解，综合利用二次函数的性质求解最值问题.x= 5tan /例2.(2019 自贡)如图，已知 A B两点的坐标分别为(8,0 ), (0,8 ) 点C F分别是直线和x轴上的动点，CF=10,点D是线段CF的中点，连接 AD交y轴于点 巳当厶ABE面积取最小值时， BAD=()A A17B.17c-4【答案】B.【解析】解:1ABE=2BE OA4BE,当BE取最小值时， ABE面积为最小值设x= 5与x轴交于点G,连接DG因为D为CF中点， CFG为直角三角形,1所以 D(=-CD 5,2 D点的运动轨迹为以 G为圆心，以5半径的圆上，如图所示由图可知：当AD与圆

8、G相切时，BE的长度最小，如下图,过点E作EHLAB于H,/ 0(=5， O/=8， D(=5, 在RtA ADG，由勾股定理得： A&12, A0» ADGAO ADOE DG求得：OE：10 ,3由0号0/=8,得:BE=14，/ B=45°, AB=8.2342:.EH=BH=BE2722,AH=ABBH=,33 tan / BAI=-EHAH7 -2T 1_17.2 仃3故答案为B【点睛】此题解题的关键是找到厶ABE面积最小时即是 AD与D的远动轨迹圆相切的时刻进而构造以/ BAD为内角的直角三角形，利用勾股定理求出边长，代入三角函数定义求解例3. （201

9、9 南充）如图，矩形硬纸片 ABC啲顶点A在y轴的正半轴及原点上滑动，顶点 B在x轴 的正半轴及原点上滑动，点 E为AB的中点，AB=24,BC=5,给出结论：点 A从点0出发，至到点 B运动至点0 为止，点 E经过的路径长为 12 n :厶OAB的面积的最大值为 144;当 OD最大时，点 D的坐标为25 26 125 26（,），其中正确的结论是 （填写序号）26 261【解析】解：根据题意可知：O昌一 AB=12,2即E的轨迹为以0为圆心以12为半径的四分之一圆（第一象限的部分）90根据弧长公式，得点 E的路径长为：12=6 n，故错误；180因为AB=24,当斜边AB上的高取最大值时，

10、 OAB勺面积取最大值,点0在以AB为直径的圆上（圆心为 E）,当0E1AB时，斜边 AB上的高最大,1所以 OAB的面积取最大值为：一24 1 2=144,故正确；2连接OE DE得：0& 0庄DE当O E、D三点共线时取等号，即0D勺最大值为25,如图，过点 D作DF丄y轴于F,过点E作EGL y轴于G可得:EGDF0E0D1225即：EG25AF AD 5EG AE 1251即: AF /EG 5DF，设DF=x,在RtAADF中，由勾股定理得:25，解得:25 26 x= 在RtA 0DF中，由勾股定理得:0.即点D的坐标为(6,12®26)，故正确.26 26综上所

11、述，答案为：例4. (2019 天津)已知抛物线 y x2点Q（ b , yQ ）在抛物线y x bx c上, bx c (b、c为常数，b>0)经过点 A 1,0)，点MmO)是x轴正半轴上的动点.若点Q( b -,yQ)在抛物线上，当2AM 2QM的最小值为3-2时，求b24的值.【答案】见解析【解析】解：t y x2 bx c经过点A 1,0),21+b+c=0,即 y x bx b 1/ b>0,. Q点在第四象限，.2AM 2QM 2 AM QM2所以只要构造出QM 即可得到2AM2QM的最小值取N (1,0 ),连接AN过M作 MdAN于G连接QM如图所示, AGM为等

12、腰直角三角形,GIMAM，即当G M Q三点共线时,GM+MC取最小值，即,2 AM2QM取最小值，此时 MQH为等腰直角三角形,qm .2qh=，2 b 4 , gm¥am=¥ m 1.2AM 2QM子AMQM=2”33 24b .1b 1 QHHMH一 _ = b m，解得：m=-242'24联立得：n=7， b=4.4即当,2AM3/22QM的最小值为壬二时，b=4.4【点睛】此题需要利用等腰直角三角形将.2AM 2QM转化为2 AM QM ，进而根据两点2之间线段最短及等腰三角形性质求解例5. （2019 舟山）如图，一副含 30°和45°

13、;角的三角板 ABC和EDF拼合在个平面上，边 AC与EF重合，AC 12cm 当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为 cm ；连接BD，则 ABD的面积最大值为2cm【答案】24-12、2;36、. 2 24.3 12、6【解析】解：如图1所示，当E运动至E', F滑动到F'时,ID过 D'作 D' G± AC于 G D'H丄BC交BC延长线于点可得/ E' D' GfZ F' D' H,D' E =D' F',

14、 Rt E' D 3 Rt F' D' H, D GG H D在/ ACH勺角平分线上,即C, D, D三点共线.通过分析可知，当D' E'丄 AC 时,DD的长度最大，随后返回初始D点，如图2所示,D点的运动路径为D t D,行走路线长度为 2DD ;图2/ BAC30°, AG=12, DE=CD BC=4、3 , cd=de=6、,2 ,由图知：四边形 E' CF D'为正方形，CD =EF=12,DD =CD -CD=12-6、2 ,D点运动路程为 2DD =24-12、2 ;D'如图3所示，当点D运动至D时，

15、ABD的面积最大，最大面积为:SABCS正方形 e'cf 'D'Saae'd 'Sabd'f62 2 2 6& 12 62= 36,2 24.3 12.6【点睛】准确利用全等、角平分线判定得到D点的运动轨迹是关键，利用三角函数及勾股定理求解,计算较为繁琐，尤其是利用割补法求解三角形的面积时对学生计算能力要求较高，此题难度较大，新颖不失难度例6.（2019 巴中）如图，在菱形ABCD中,连接BD AC交于点 O过点O作OHL BC于点H,以O为圆心,OH为半径的半圆交AC于点M（1）求证：DC是圆O的切线；（2）若AO4MC且AO8,求图中阴影部分面积；（3） 在（2）的前提下，P是线段BD上的一动点，当 PD为何值时，PHPM的值最小，并求出最小值【答案】见解析.【解析】（1）证明：过点O作ONL CD于 N,AC是菱形ABCD勺对角线, AC平分/ BCD/ OHL BC ONL CD OHON又OH为圆O的半径, ON为圆O的半径，即CD是圆O的切线(2)由题意知：O(=2MC4, MCOM2,即 OH2,在 RtA OHC中, O(=2OH可得：/ OCH3O°,/ COH60° ,由勾股定理