2019广州二模文科试题及参考答案

1、试卷类型：A92019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）2019. 4数学（文科）本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、 座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置 上.2 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷 上.3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的 答案；不准使用铅笔

2、和涂改液.不按以上要求作答的答案无效 .4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答 .漏涂、错涂、多涂的，答案无效 .5 考生必须保持答题卡的整洁 .考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.1参考公式： 锥体的体积公式是 V Sh,其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.3一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，满分50分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1若复数z满足i z = 2，其中i为虚数单位，则z等于A . -2iB. 2iC. -2D. 22已知集合 A=0,1,2,3,B=xx2x = 0 ，则集合 AIB的子集个数为A . 2B . 4

3、C. 6D . 83. 命题对任意x，R，都有x3 x2 ”的否定是A .存在Xo R，使得Xo-XoB.不存在Xo R，使得X3-对3232C.存在Xo R，使得Xo - XoD.对任意X，R,都有X- X4. 下列函数中，既是偶函数又在0,匸：上单调递增的是A . y = . xB . y = -x2 1C . y = cos x D . y = x 15. 有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3 ,将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是111A .B .C .6326. 一个几何体的三视图如图1,则该几何体的体积为A . 12

4、二B . 6 二C . 4 二D . 2 二1 )r 2d侧视图7.设Sn是等差数列an '!的前n项和，公差d = 0 ,若Si =132旦-ak =24，则正整数k的值为A. 9B . 10C. 11D . 12&在 ABC 中，乙ABC =60 , AB=1, BC =3 ,则sin . BAC的值为-31414143, 21142 2X y9设RE分别是椭圆C:二2 =1 a b 0的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1a b的中点在y轴上，若 PF1F30，则椭圆C的离心率为1C.-310.将正偶数2,4,6,8,|按表1的方式进行aij-2014，则 i-j的值为

5、A.257B .256C.254D .253第1列第2列第3列第4列第5列第1行24P 68第2行16141210第3行18202224第4行32302826第5行3436P 3840 1、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.排列，记 可表示第i行第j列的数，若（一）必做题（1113题）11 .不等式x 1 x -20的解集为12.已知四边形ABCD是边长为3的正方形，若DE =2EC,CF =2FB，贝U AE AF 的值2x - y 2 _0,13. 设x, y满足约束条件8x-y-4空0,若目标函数 ax by a 0,b 0的最大值x _ 0, y _0.为

6、8，则ab的最大值为.（二）选做题（1415题，考生从中选做一题）x = a t14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系 xOy中，直线'（t为参数）与y=tX =1 COSH圆G为参数）相切，切点在第一象限，则实数 a的值为.y =si n815. （几何证明选讲选做题）在平行四边形 ABCD中，点E在线段AB上，且1 2AE = E B连接DE, AC , AC与DE相交于点F ,若厶AEF的面积为1 cm ，则22 AFD的面积为cm .三、解答题：本大题共 6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. （本小题满分12分）已知函数 f x = 2

7、cos i x , x R .I 4丿（1）求函数f x的最小正周期和值域；i1（2）若厂 0,，且f，求sin2r的值.I 2丿217. （本小题满分12分）某校高三年级一次数学考试之后，为了解学生的数学学习情况，随机抽取n名学生的数学成绩，制成表2所示的频率分布表.（1）求a , b , n的值；（2）若从第三，四，五组中用分层抽样方法抽取 6名学生，并在这6名学生中随机抽取 2名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.组号分组频数频率第一组(90,100)50.05第二组1100,110)a0.35第三组1110,120)300.30第四组1120,130)20b第五组

8、H30,140)100.10合计n1.00表218. (本小题满分14分)如图2，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF /平面ABCD ,EF -1 , FB 二 FC, BFC =90 ,AE»t3 , H是BC的中点(1) 求证：FH /平面BDE ；(2) 求证：AB _平面BCF ；(3) 求五面体ABCDEF的体积.19. (本小题满分14分)2已知等差数列an的前n项和为Sn pn q(p,T R)，且a2,a3,a5成等比数列.(1) 求 p,q 的值；(2) 若数列:b/?满足an log2 n=log2bn，求数列的前n项和Tn.20. (

9、本小题满分14分)2已知函数 f x =1 nx，x ax, a R .(1)若函数f x在其定义域上为增函数，求 a的取值范围;f(X )r*(2)当a =1时，函数g xx在区间t, = ( r N )上存在极值，求t的最大x +1值.(参考数值：自然对数的底数e丸2.71828 )21. (本小题满分14分)已知点A 2,1在抛物线E : x2二ay上，直线l1:kx 1( R，且k = 0)与抛物线E相交于B,C两点，直线 AB, AC分别交直线l2 : y =1于点S,T .(1 )求a的值；(2) 若ST =25，求直线l1的方程；(3) 试判断以线段 ST为直径的圆是否恒过两个定

10、点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几 种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点 和能力对照评分标准给以相应的分数.2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误， 就不再给分.3 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数

11、.4 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.能选做一题.11.-1,212. 913. 414.2 115. 3三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）（1 ）解： f X i2cos X I 4丿函数f X的最小正周期为2二./ X R,/. .2 cos x -、.2八2 .函数f X的值域为|-，2 ''2 .1(2)解法 1：v f2/. -2 cos1.I 4丿2- COS I 4丿4 sin 2 j - -cos 2v211分12分解法2：v f'一 2 cos I 一-、“ 2 i cos

12、 J cos -sin)sin I41二 cost -sin t210分两边平方得 cos2 v - 2cos vs in v - sin2 二17.(1) sin 2- - 3.4（本小题满分12分）5a20解：依题意，得 0.05,0.35, b ,nnn解得，n =100, a = 35 , b = 0.2 .解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取3020106名学生,则第三、四、五组分别抽取6=3名，6 = 2名，6=1名.60606012分第三组的3名学生记为a,a2,a3，第四组的2名学生记为bb?，第五组的1名学生记为G ,则从6名学生中随机抽取 2 名,共有1

13、5种不同取法，具体如下:at 1,玄2，gZ，: b1，c/?，也，*3种，具体如下:其中第三组的 3名学生 印,a2，a3没有一名学生被抽取的情况共有解得p - T.7分13(2)证法1：取AB的中点M，连接EM，贝U AM = MB =1 ,10分b,bb,c *b,G 二3故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为10.8. 12分1518. (本小题满分14分)(1)证明：连接AC , AC与BD相交于点O,则点O是AC的中点，连接 OH , EO , H是BC的中点,1OH / AB , OH AB =1. 1 分2EF /平面 ABCD , EF 平面 ABFE，平面 ABCD

14、门平面 ABFE = AB ,EF / AB . 2 分EF =1 ,OH / EF , OH =EF .四边形EOHF是平行四边形.EO / FH , EO FH . 3 分EO 二平面 BDE , FH 二平面 BDE ,FH / 平面 BDE . 4 分由（1）知，EF / MB，且 EF = MB ,四边形EMBF是平行四边形. EM / FB , EM FB . 5 分在 Rt BFC 中，FB2 FC2 =BC2 =4，又 FB = FC，得 FB = ：'2. EM 2.在厶 AME 中，AE = ：；3 , AM =1 , EM =臣, AM 2 EM 2 =3 =AE

15、2. AM _ EM . 7 分 AM _ FB，即 AB _ FB .四边形ABCD是正方形， AB _ BC . 8 分/ FBBC =B , FB 平面 BCF , BC 平面 BCF , AB _ 平面 BCF . 9 分证法2：在Rt BFC中，H为BC的中点，1 FH BC=1.在厶 AEO 中，AEAO =1aC =弋2 EO =FH =1, AO2 EO2 =AE2. AO _ EO./ FH / EO, AO _ FH9分FH _ BC, BC 平面 ABCD , AO 平面 ABCD , AO 门 BC = C , e FH 平面 ABCD ./ AB 平面 ABCD ,

16、FH _ AB . 7 分四边形ABCD是正方形， AB _ BC. 8分/ BC 平面 BCF , FH 平面 BCF , BCFH AB _ 平面 BCF .(3)解：连接EC ,1在 Rt BFC 中，FH BC =1,2 EO 二 FH =1.由(2)知 AB _ 平面 BCF，且 EF / AB , EF _ 平面 BCF . 10 分/ FH 平面 ABCD , EO / FH ,11分四棱锥E - ABCD的体积为V1 J EO 5正方形abcd = 1 1 2- . 12分 EO _ 平面 ABCD .3332二棱锥E 'BCF的体积为V? = EF S bcf = 1

17、 ，i -，, 2 13 分33235五面体ABCDEF的体积为V+V2 14分319. (本小题满分14分)(1)解法 1：当 n=1 时，4=0=117 ,当 n 一2时，an =S -Supn q -1| .： n T - p n_1 an是等差数列, 1 p q = 2 1 _1 p，得 q = 0. 4 分又 a2 = 3 p,a3 = 5 p,a5 = 9 p , 5 分 a2,a3,a5成等比数列，2 2 a： = &2氏，即 5 p = 3 p 9 p , 6 分解法2：设等差数列an的公差为d ,卄n（n-Ud 2d则 Sn = nqd n I a -2 2 2 Sn

18、 二 n2 pn q ,.d, d1 , aip , q = 0 .2 2-d = 2 , p 3i -1, q=0. a2,a3,a5成等比数列，2a3 = a2a5 ,2即 ai 4 pal 2 ai 8 .n . 1 分.p - -1. 7 分（2）解法 1：由（1）得 an =2 n -2. 8 分 anlog2 n ngbn,an2n-2nJ d = n 2= n 2= n 4. 9 分.Tn=bb2bJ Hbn 4b 40241342HI n-1 4n° n -4nJ ,10分4Tn -41 2 42 3 43 I” n -1 4nJ - n 4n ,11分-得-3T40

19、 41 4MIT 4n4 -n 4nn-n 41 -3n 4n -11-413分A 14分 Tn 匚慣n-1 4n 1 .解法 2：由（1）得 an =2n -2. an log2 n rgbn,9n2 n -2n 4 0 = n 2 n = n 2 n 4 Tnb2b3川bnbn=4°241342川 n1 -4n n -4nJ.10分n +11分由 x X2 X3 川 xn 丄 J X = 1 ,1 X两边对X取导数得,2X1 3x2| I nxn'nxnd1 -( n +1 )xn +12C-x)12分 t的最大值为3.14分171 _令 X =4，得40241342IH

20、 n-1 4心 n4n=3n-14n1 .91 Tn = (3 n 1 )4n +1. 14 分920. (本小题满分14分)(1)解法1：函数f x的定义域为 0,亠 1分2 1 f x = ln x x ax, f x2x a. 2 分x函数f x在0, ：上单调递增，1 f x -0,即 2x 0对 i0, ：都成立.3 分x1 -a2x对iO,七都成立 4分x11-1V2当x 0时，一，2x_2, 2x=2'.2，当且仅当2x,即卩x时,取等号xV xx25分a 乞2 ,2,即 a - -2.2 . a的取值范围为-2迈 畑).6分解法2:函数f X的定义域为 0,2x a_

21、2x2 ax 1方程2x ax 0的判别式厶=a -8 . 3分 当: <0,即 一2、. 2 乞 a 乞 2、2 时，2x2 ax 0 , 此时，f x -0对x"0, 都成立， 故函数f x在定义域 0,匸：上是增函数.当.：0,即 a ： -2、2 或a2J2时,要使函数f（x）在定义域（0,亦）上为增函数，只需2x2 ax 1 _ 0对（0 都成立.h 0 =1 0,设 h x 二 2x2 ax 1,则 a得 a . 0.rr0,故 a 2 2.综合得a的取值范围为(2)解:2当a=1时，gxA兀+ -x七1 +1 I rx函数g x在t,N ）上存在极值,方程g x

22、=o在匕： （ r n*）上有解,1r*即方程1 In x = 0在It, :( t N )上有解.x1令 X =1 -Inx x 0，由于 x 0,则 X x =x1<0,x函数'x在0, ：上单调递减.41e412 543 ln3 lnln0,3 32732710分51：14 ln 4 ln445e2564256<0,11分函数'x的零点xi 3,4 . 12分方程'x =0 在t, ： (r N * )上有解，t N * t _ 3 . 13 分 t N ,21. （本小题满分14分）（1）解：点 A 2,1 在抛物线 E ：X2 二 ay上， / a

23、 =4.第（2）、（3）问提供以下两种解法: 解法1：（ 2）由（1）得抛物线E的方程为x2 =4y.2 2设点B,C的坐标分别为 N，% , X2，y2，依题意，X1 =4叶公2 =4y2，由 y? kx 1,消去 丫 得 2-4kx-4 = 0 ,X =4y,4k ±4 Jk2 +1 ci c FT2-解得 x-! 2 = 2k±2Jk +1 .2x1 x2 二 4k,为 X2直线AB的斜率kABy1 -124X|2x-i24故直线AB的方程为y亠X142 x2.48令y = _1 ,得X =2 ，点S的坐标为 2X1 +2I同理可得点T的坐标为 2-X2 +2 ST8

24、2 -x,282 .x2j8 为X2仪1+2仁+2)8(X1 X2)8(X1 X2 % x2x)x2 +2(x +x2 )+48kk= 2、5k . ST =2.5 ,由 X1 -X22“222=X1 X2 -4X1X2，得 20k -16k 16 ,直线h的方程为y=2x，1，或y =2x".2分3分4分5分6分7分9分（3）设线段ST的中点坐标为 X0,-1 ,解法X!亠2X2 +2 y= 2-2- 44k 4 亠xx +2（为 +x2 ） + 4而ST4 x-!x24Xi2 X224 4k 428k _ k10分2 2 22 _ X X2X1 X24x1x2 16 k 1k2k2k2，11分以线段ST为直径的圆的方程为J22I k丿4 k2 14展开得 x2 +«x + （y+1, = 4.kk k2令 X=0,得 y，14，解得 y =1 或 yr-3.以线段ST为直径的圆恒过两个定点0,1 , 0,-3 .2： （2）由（1）得抛物线E的方程为x2 =4y .设直线AB