八(上)数学全等三角形证明辅助线分析实例及复习题答案课案

1、泽邦教育初二数学全等三角形综合复习易错点：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。例 1. 如图，a,f,e,b 四点共线， ac_lce, bd_ldf, ae = bf , ac=bd。求证:mcf 与 abde。思路：从结论 mcfmabde入手，全等条彳只有 ac = bd ;由正b 两边同时减去 ef 得到af =be ,又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是 cf = de ,也可以 是/a=/b。由条件 ac ice , bd_ldf 可得/ace =/bdf = 900,再加上 ae = bf , ac = bd , 可以证明aa

2、ce -abdf ,从而得到/a=/b。证明=ac ice , bd _ldf /ace zbdf =90：在 rtmce 与 rtibdf 中 ae 二bf ac =bdrt . ace 三 rt bdf (hl).a = b . ae =bf 二 ae -ef =bf -ef ,即 af =be 在mcf与ibde中 af =be 4/a zb ac =bdacf 三 bde (sas)思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需 要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结 论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出

3、解题思路。小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。例2.如图，在 mbc中，be是/ abc 的平分线， ad _l be ,垂足为 d。求证:/2 =/1 +4 。-1 -泽邦教育思路：直接证明/2 =/1 +/c比较困难,我们可以间接证明，即找到not ,证明z2且上0=/1 +/c。也可以看成将 /2 “转移”至ij za。那么/口在哪里呢？角的对称性提示我们将ad延长交bc于f ,则构造了 fbd ,可以通过证明三角形全等来证明/ 证明：延长ad交bc于f在mbd与ifbd中vabd =. fbd- bd =bdj/adb

4、- . fdb =902=/dfb,可以由三角形外角定理得/dfb=/1 + /c。.abd = . fbd (asa ,2= dfb又 一 .dfb z1 . c 幺2 =/1 +/c。思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。例3.如图，在 mbc中，ab =bc , /abc =90。 f为ab延长线上一点，点e在bc上, be =bf ,连接 ae,ef 和 cf 。求证：ae =cf 。思路：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等， 关键是要找到这两个三角形。以线段ae 为边的aabe绕点b顺时针旋转90,至ij acbf的位置，而线段 cf正好是acbf

5、的边，故 只要证明它们全等即可。证明：；zabc =90 , f为ab延长线上一点 /abc zcbf =90；在mbe与acbf中 ab =bc .，/abc = cbf be =bfabe = . cbf (sas)二 ae =cf o思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造 全等三角形。思路：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角 形的问题。证明：连接acv

6、 ab/cd , ad/bc, z1 =n2 , /3 =/4在mbc与acda中421 =/2.ac =ca.4 =/3abc =. cda (asa), ab =cd o思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。例5.如图，ap,cp分别是 mbc外角/mac和/nca的平分线，它们交于点 p。求证: bp为/mbn的平分线。思路：要证明" bp为/mbn的平分线”，可以利用点p至ijbm,bn的距离相等来证明，故应过点p向bm , bn作垂线；另一方面，为了利用已知条件“ap,cp分别是/mac和/nca的平分线”，也需要作出点 p到两外角两边的距离。证明：过 p

7、作 pd _l bm 于 d , pe _l ac 于 e , pf _lbn 于 f ap 平分/mac, pd_lbm 于d, pe_lac于epd =pe cp 平分 /nca , pe _l ac 于 e , pf _l bn 于 fpe =pfpd=pe, pe = pfpd =pfpd =pf ,且 pd _lbm 于 d , pf _l bn 于 f:bp为zmbn的平分线。思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。例6.如图，d是aabc的边bc上的点，且cd=ab, /adb =/

8、bad , ae是aabd的 中线。求证： ac =2ae 。思路：要证明" ac =2ae ”，不妨构造出一条等于 2ae的线段，然后证其等于 ac。因 此，延长ae至f ,使ef = ae。证明：延长 ae至点f ,使ef =ae ,连接 df在mbe与afde中 ae =fe.'zaeb =/fedbe 二deabe = ：fde(sas) b=/edfzadf =/adb +/edf , /adc =/bad +/b 又.adb =. badzadf zadc；ab=df, ab =cd,df = dc在mdf与mdc中 ad =ad - adf =adc df =d

9、cadf = adc (sas) ,af =ac 又 一,af =2ae .ac =2ae思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。例 7.如图，在朋bc中，ab> ac, n1=/2 , p为 ad上任意一点。求证：ab - ac >pb pc 。aaa原图法一图法二图思路：欲证ab - ac >pb-pc ,不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论 中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段 abac。而构造abac可以采用“截长”和“补短”两种方法。证明：法一：在ab上截取an =ac ,连接p

10、n在mpn与mpc中an =ac'z1 z2ap = ap.apn 三 apc(sas).pn 二pc 在 阳pn 中，pb -pn <bn, pb -pc <ab -ac ,即 ab ac>pb pc。法二：延长ac至m ,使am = ab ,连接pm在mbp与mmp中jab = ami1/1 =. 2ap =ap.abp 三.amp (sas).pb =pm二在 妒cm 中，cm a pm -pc二 ab -ac apb pc。思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段

11、的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证 明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我 们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。同步练习、选择题:1 .能使两个直角三角形全等的条件是（）a.两直角边对应相等b. 一锐角对应相等c.两锐角对应相等d.斜边相等2 .根据下列条件，能画出唯一aabc的是（）a. ab=3, bc=4, ca=8b. ab=4, bc = 3, na = 30ab = ae ； bc = ed ；c.

12、cc =60c，, /b=451 ab =4d. nc =90、ab = 63 .如图，已知n1 =22, ac =ad ,增加下列条件：/c =/d ；nb =ne。其中能使 mbc=med的条件有（）a. 4个d. 1个-8 -4.如图，/1=/2, /c=nd, ac,bd交于e点，下列不正确的是（a. dae = cbec. &dea不全等于acbeb. ce = ded. &eab是等腰三角形5.如图，已® ab =cd , bc =ada. 67'b. 46'/ b = 23 ,则 n d 等于（）c. 23：'d.无法确定二、填空

13、题：6 .如图，在mbc中，zc =9。"，/abc的平分线bd交ac于点d ,且 c d: a d 2 : 3 ac =10cm ,则点d到ab的距离等于 cm ；7 .如图，已知ab = dc , ad = bc , e,f是bd上的两点，且be = df ,若 zaeb =10。"，/adb =30"，则 /bcf =；8 .将一张正方形纸片按如图的方式折叠，bc,bd为折痕，则/cbd的大小为 9 .如图，在等腰 rtaabc中，2c=90 ac = bc , ad平分n bac交bc于d , de _l ab于e ,若ab =10,则abde的周长等于

14、;10.如图，点 d, e, f, b在同一条直线上,ab / cdaecf，且 ae = cf ,若bd =10, bf =2 ,则 ef =；三、解答题：11 .如图，mbc为等边三角形，点m,n分别在bc,ac上，且bm =cn , am与bn 交于q点。求/aqn的度数。a12 .如图，/acb =90>ac =bc , d为 ab 上一点，ae _l cd , bf _l cd ,交 cd 延长线于f点。求证：bf =ce 。泽邦教育同步练习的答案一、选择题：5. c10. 61. a2. c3. b4. c二、填空题：6. 47. 70；8. 90；9.10三、解答题：11 .解：7 aabc为等边三角形: ab = bc , /abc =/c =60'在mbm与abcn中ab = bc/ . abc