高考理科数学模拟试题(一)

1、2019高考理科数学模拟试题（一）考试时间：120分钟注意事项:1 .答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2 .请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1 .已知集合 M=x|y=x2+1 , N=y|y=/?hl,则 MAN=（）D. x| x> 1A. (0, 1) B. x|x> - 1 C. x| x>02 .复数z等3的共腕复数的虚部为()l+iA. 一 1-iB.一二 C. -|-i D. |-3.已知命题p：存在向量8, b,使得:?b=|川？| W ,命题q：对任意的向量a,b

2、, g若:a?b=a?亡，则b=G 则下列判断正确的是（）A.命题p V q是假命题B.命题pAq是真命题C.命题p V （rq）是假命题 D.命题pA （q）是真命题4. 2017年5月30日是我们的传统节日-“端午节”，这大小明的妈妈为小明煮了 5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件 A=取到的两个为同一种馅"，事件B=W到的两个都是豆沙馅”，则P （B|A）=（AT Bt C X D-5 .已知锐角a的终边上一点P （sin40； 1+COS40）,则a等于（）A. 10° B. 200 C. 700 D. 80°6 .已知函数 =若行式

3、/)，b=f ( tt) , c=f (5),贝 ()A. c<b<a B. c<a<b C. b<c<a D. a<c<b7 .阅读程序框图，如果输出的函数值在区间上,/内，则输入的实数x的 取值范围是（A. （- 8, 2B. - 2, - 1 C. 1,2D. 2, +88 . 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（C.¥）1-69 .在约束条件1产2H-4下，当6&s&9时，目标函数z=x-y的最大值的变化范围是（）A. 3, 8 B. 5, 8 C. 3, 6 D. 4, 710 .已知正实数a,

4、b满足a+b=3,则73r的最小值为（）1+a 4+bA- 1 B- 7 C t D- 211 .已知aCR,若f （x） = （x号）ex在区间（0, 1）上只有一个极值点，则a的取值范围为（）A. a>0B. a< 1C. a>1D. a<012 .设椭圆C:斤+3=1（a>b>°）的左、右焦点分别为Fi、F2,其焦距为2c, 点Q （c, £）在椭圆的内部，点P是椭圆C上的动点，且|PFi|+| PQ|<5|FiF2| 包成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A怜挈）B.吉除）C.怜限D.春冬第R卷（非选择题，共90分）二、填空

5、题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13 .已知乎三 也，则二项式&+名）6展开式中的常数项是 ._丁V x14 .函数f （x） =Asin （+小）（A>0,>0, 0<小< 兀）的图象关于y轴对称, 该函数的部分图象如图所示， PMN是以MN为斜边的等腰直角三角形，且 In!-Imp 1=22,则 f（1）的值为.15 .在平面直角坐标系中，有 ABC,且A （-3, 0）, B （3, 0）,顶点C到点A 与点B的距离之差为4,则顶点C的轨迹方程为.16 . 一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体， 如果任意转动该长方体

6、，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范 围是.三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. （12 分）已知数列an满足 a二1, an+1=1-,其中 nCN*.（I ）设bn J 2求证：数列bn是等差数列，并求出an的通项公式an；4 a（H）设Cnf1,数列CnCn+2的前n项和为Tn,是否存在正整数 m,使得不 n+L<T对于nCN*恒成立，若存在，求出 m的最小值，若不存在，请说明理l Fm+l由.第3页（共27页）18. (12分)从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：(

7、1)根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；(2)若用分层抽样的方法从分数在30, 50)和130, 150的学生中共抽取 6人，该6人中成绩在130, 150的有几人？(3)在(2)抽取的6人中，随机抽取3人，计分数在130, 150内的人数为 匕 求期望E ( a.19. (12分)如图，已知平面 QBC与直线PA均垂直于RtAABC所在平面，且PA=AB=AC(I )求证：PA/平面QBC;(H) PQ，平面QBC,求二面角Q-PB- A的余弦值.20. (12分)已知椭圆 C: -+=1 (a>b>0),圆 Q: (x-2) 2+ (y V2) 2=2的圆

8、心Q在椭圆C上，点P (0,他 到椭圆C的右焦点的距离为 班.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P作互相垂直的两条直线11, 12,且11交椭圆C于A, B两点，直线12 交圆Q于C, D两点，且M为CD的中点，求 MAB的面积的取值范围.21. (12分)设函数 f (x) =x2+a1n (x+1) (a 为常数)(I )若函数y=f (x)在区间1, +oo)上是单调递增函数，求实数 a的取值范 围；F f )(H)若函数y=f(x)有两个极值点X1 ,X2,且X1<X2,求证：Q<”一.Ki 2请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22. (10

9、分)直角坐标系xOy和极坐标系Ox的原点与极点重合，x轴正半轴与极 轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为.卜北口(y=2sin为参数).(1)在极坐标系下，曲线 C与射线和射线9二T分别交于A, B两点，求4AOB的面积；(2)在直角坐标系下，直线1的参数方程为:“二可T” (t为参数),求曲线Cly=t-V2与直线1的交点坐标.23. (10 分)已知函数 f (x) =|2x+1| - | 2x- 3| , g (x) =| x+11+| x- a|(1)求f (x) >1的解集(2)若对任意的tCR,都存在一个s使得g (s) >f (t).求a的取位范围

10、.第5页(共27页)2018高考理科数学模拟试题（一）参考答案与试题解析一.选择题（共12小题）1.已知集合 M=x|y=x2+1 , N=y|y项;1,则 M 门 N=（）A. （0, 1） B. x|x> - 1 C. x| x>0D. x| x> 1【分析】求出M中x的范围确定出M,求出N中y的范围确定出N,找出两集 合的交集即可.【解答】解：由M中y=x2+1,得到x R,即M=R,由 N 中 y=/Hl>0,得到 N=x| x>0,则 M AN=x|x> 0,故选：C.【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.D.2复数z=

11、的共腕复数的虚部为（A.【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出工得答案.第9页(共27页)解：: z二,4-1(1-i) _3-5i _3 5 .，复数春的共腕复数的虚部为全-1+1 (IHXl-i) 22 2 1故选：D.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.3.已知命题p：存在向量a, b,使得a?b=| a| ?| b| ,命题q :对任意的向量a,b, j若3?b=a?亡，则b=c.则下列判断正确的是（）A.命题p V q是假命题B.命题pAq是真命题C.命题p V （rq）是假命题 D.命题pA （q）是真命题【分析】命题p：存在同方向向

12、量 W 使得W可=|臼？|百，即可判断出真假.命 题q：取向量二(1, 0), fb= (0, 1), M= (0, 2),满足：芯三公，则即 可判断出真假.再利用复合命题真假的判定方法即可得出.【解答】解：命题p：存在同方向向量s, b,使得力兀=信|?|己| ,真命题.命题 q :取向量 3= (1, 0), b= (。，1), c= (。，2),则 a?b =a?c , b 不 c ,因此 是假命题.则下列判断正确的是：pA (q)是真命题.故选：D.【点评】本题考查了数量积运算性质、复合命题的判定方法，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题.4. 2017年5月30日是我们的传统节日-

13、“端午节”，这大小明的妈妈为小明煮了 5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件 A=取到的两个为同一种馅"，事件B=W到的两个都是豆沙馅”，则P (B|A)=()B.p rj )c D-10【分析】 求出P (A)=匚2匚3=J_ p(AB)=J_=L 利用p (B|A) 且理 010 '10 10 '1 P(A)可得结论.C工C?【解答】解：由题意，P (A)三二'J, P (AB) =4匚,101010 10P(B|A)一二,故选：A.【点评】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，正确运用公式是关键.5.已知锐角a的终边上一点P (sin

14、40； 1+COS40),则a等于()A. 10° B. 200 C. 700 D. 80°【分析】由题意求出PO的斜率，利用二倍角公式化简，通过角为锐角求出角的大小即可.【解答】解：由题意可知sin40 >0, 1+cos400>0,点P在第一象限，OP的斜率tan a=cot20 = tan704y =1+28/20* 1 sin40 2sin20 cos20由a为锐角，可知a为70°.故选C.【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力.6已知函数 f （k）=若行式/），b=f （兀），c=f（5）,贝U （）A. c

15、<b<a B. c<a<b C. b<c<a D. a<c<b【分析】求出函数f （x）的导数，判断函数的单调性，从而比较函数值的大小即 可.【解答】解：f （x）的定义域是（0, +8）,I 1 2 3,工）+J 1 _" & -f （x） = 1=- j< 0,工I故f （x）在（0, +00）递减，而 5> Tt>,3 <f（兀）<f 4）,即 c< b< a,故选：A.【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题.7.阅读程序框图，如果输出的函数值在区间十,刍

16、内，则输入的实数x的取值范围是（）A. ( 8, - 2B. -2, - 1 C. -1,2 D. 2, +8)【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f(x) =2'”的函数值.根2, xf (-8, -2)U +8)据函数的解析式，结合输出的函数值在区间 L, L 内，即可得到答案.L 42 J【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：vf一？ 71该程序的作用是计算分段函数f (X) = / 'J*' J的函数值.2 k e(-<», -2)u(2+ +8)又输出

17、的函数值在区间卷，内，x -2, - 1故选B【点评】本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功 能是解答本题的关键.8 . 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()C.D.【分析】这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，从而求两个体积之和即 可.【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成, 半个圆锥的体积为-i-xlx以1X在丸四棱锥的体积为上X2X2x75=1b；故这个几何体的体积y=BH由& I故选D.【点评】本题考查了学生的空间想象力与计算能力，属于基础题.9 .在约束条件y<2工-4下，当6&s&9时，目标函数

18、z=x-y的最大值的变化范围是（）A.3,8B.5,8C.3, 6 D.4,7【分析】作出不等式组对应的平面区域，画出不等式组表示的平面区域，由 z=x-丫得丫=乂- z,利用平移即可得到结论.【解答】解：约束条件对应的平面区域如图：（阴影部由z=x- 丫得丫=乂- z,平移直线 y=x- z,s=6时由平移可知当直线y=x- z,经过点A时，直线y=x- z的截距最小，此时z取得最大值，x-y取得最大值；由卜4y=E,解得 a（5, 1）代入 z=x-y 得 z=5-1=4,I1月即z=x- y的最大值是4,s=9时由平移可知当直线y=x- z,经过点B时，直线y=x- z的截距最小，此时z

19、取得最大值，x-y取得最大值；由b+y=9解得 b（8, 1）代入 z=x-y 得 z=8-1=7,即2=乂-y的最大值是7,目标函数z=x-y的最大值的变化范围是：4, 7.故选：D.【点评】本题主要考查线性规划的应用，用数形结合是解决线性规划问题中的基 本方法.10.已知正实数a, b满足a+b=3,则；;鹏的最小值为（）L+a y+b【解答】解：.a+b=3,然后利用基本不等式求最值.%jk L也也）Ji坐且3三.2 ' 3号2 i 3方4a b4a 仆W4)L3)| _-.1 ：.飞2 蛆四 姐JL3 333当且仅当号鸣)工喈号，即a=|，b=1时等号成立.故选：C.【点评】本

20、题考查利用基本不等式求最值,关键是掌握该类问题的求解方法，是中档题.11.已知aCR,若f (x) = (x+) ex在区间(0, 1)上只有一个极值点，则 a K的取值范围为()A. a>0B. a< 1C. a>1D. a<0【分析】求导数，分类讨论，利用极值、函数单调性，即可确定a的取值范围.【解答】解：= f (x) = (x吟)ex,.f (x)=(广+十E)ex, x设 h (x) =x3+x2+ax- a, h' (x) =3x2+2x+a,a>0, h' (x) >0在(0, 1)上恒成立，即函数h (x)在(0, 1)上为增

21、函数，V h (0) =- a< 0, h (1) =2>0,h (x)在(0, 1)上有且只有一个零点x0,使得f z(x0)=0,且在(0, X0)上，f'(x) <0,在(X0, 1)上，f'(x) >0,:刈为函数f (x)在(0, 1)上唯一的极小值点；a=0 时，x (0, 1), h' (x) =3x2+2x>0 成立，函数 h (x)在(0, 1)上为增函 数，此时 h (0) =0, h (x) >0 在(0, 1)上包成立，即f'(x) >0,函数f (x)在(0, 1)上为单调增函数，函数f (x)

22、在(0, 1) 上无极值；a<0 时，h (x) =x3+x2+a (x- 1),x (0, 1), h (x) >0 在(0, 1)上包成立，即f'(x) >0,函数f (x)在(0, 1)上为单调增函数，函数f (x)在(0, 1) 上无极值.综上所述，a> 0.故选：A.【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、极值，考查学生分 析解决问题的能力，属于中档题.12.设椭圆C:马14=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,其焦距为2c, 点Q (c, -1)在椭圆的内部，点P是椭圆C上的动点，且|PF1|+| PQ<5|

23、RF2| 包成立，则椭圆离心率的取值范围是()A4,冬B春净C.（S亨）D.周愕）【分析】点Q （c,亮）在椭圆的内部，>1-, |PF1|+| PQ|=2a-|P+| PQ , za z由-| QE|+| PQ 0 | PQ -| PF| <|QF2| ,且 | QE用,要 | PF1|+| PQ < 5| RF2|包成立，即 2a- | PF2|+| PQ| <2a+|<5X2c.解：点Q (c, -1)在椭圆的内部,a2>2c2.【解答】第13页(共27页)| PF|+| PQ| =2a | PE|+| PQ|又因为-| QF2|+| PQ| <

24、 | PQ| - | PF2| w | QF2| ,且 | QF2| 号， 要|PR|+| PQ| <5| F1F2| 恒成立,即 2a|PE|+| PQ| <2a+1<5X2c 手<孙，:冲，则椭圆离心率的取值范围是（生,臣）.故选：B第15页(共27页)【点评】本题考查了椭圆的方程、性质，椭圆的离心率，转化思想是解题关键, 属于难题.二.填空题（共4小题）13 .已知小J晨 w依 则二项式叶号）6展开式中的常数项是 240 .TV xJT7T”展开,："=【分析】利用定积分求出a,写出展开式的通项公式，令 x的指数为0,即可得 出结论.=2,则二项式【解答

25、】解：0= J =sinxT3式的通项公式为?+1 = ?2?一吗令6="。，求得r=4,所以二项式依+/展开式中的常数项是X 24=240.故答案为：240.【点评】本题考查定积分知识的运用，考查二项式定理，考查学生的计算能力, 属于中档题.14 .函数f （x） =Asin （+小）（A>0,>0, 0<小< 兀）的图象关于y轴对称, 该函数的部分图象如图所示， PMN是以MN为斜边的等腰直角三角形，且 IrnWiP l=2V2,则 f（1）的俏为 0 .M V r【分析】由题意，求出结合函数的图象，图象关于 y轴对称，小三，zPMN是2以MN为斜边的等腰

26、直角三角形，可得| PM| ?sin45 °5|MN|，且|HN|MP闻衣, 求解|MN|和A,即得函数f (x) =Asin (叶小)【解答】解：由题意，图象关于y轴对称，小巴，I 2PMN是以MN为斜边的等腰直角三角形，可得| PM| ?sin45 °|MN| ,且In!-Imp 1=22,解得：|MN|=2, |PM|二二在等腰三角形PMN中，可求的 PMN的高为1,即P点的纵坐标是1,故得A=1,T=2| MN| =4,27T 兀<a-=42=:二七函数 f (x) =Asin (叶小)=sin 当 x=1 时，即 f (1) =cos-=0.故答案为0.【点

27、评】本题主要考查利用y=Asin (+小)的图象特征，由函数y=Asin (叶小)的部分图象求解析式，属于中档题.15.在平面直角坐标系中，有 ABC,且A (-3, 0), B (3, 0),顶点C到点A与点B的距离之差为4,则顶点C的轨迹方程为=1 (x> 2)【分析】利用A (-3, 0), B (3, 0),顶点C到点A与点B的距离之差为4, 由双曲线的定义可得点 C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线的右支，2a=4, c=3, 求出b,即可求出点C的轨迹方程.【解答】解：A (-3, 0), B (3, 0),顶点C到点A与点B的距离之差为4,.由双曲线的定义可得点 C的轨迹是焦点在

28、x轴上的双曲线的右支，2a=4, c=3, . a=2, b=Vs,I 22.二点P的轨迹方程为工工=1 (x> 2),4522故答案为二工二1 (x>2).4【点评】本题考查点C的轨迹方程，考查双曲线的定义，正确运用双曲线的定义 是关键.16. 一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体， 如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范【分析】画出长方体，使其一个顶点放在桌面上，容易观察出液体体积何时取得 最小值和最大值.【解答】解：长方体 ABCD - EFGH,若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD,且低于平面AFQ 而

29、当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该长方体, 液面的形状都不可能是三角形；所以液体体积必须大于三棱柱 G- EHD的体积二,6并且小于长方体 ABCD- EFGHft积-三棱柱B-AFC体积1-二二，6 6故答案为：注，言.6 6【点评】本题考查了棱柱的结构特征以及几何体的体积求法问题，也考查了空间想象能力，是难题.三.解答题（共7小题，满分70分）17. (12分)已知数列an满足 ai=1, an+i=1 ,其中nCN*.(I )设 bn=,求证：数列bn是等差数列，并求出an的通项公式an；4 a（H）设Cn=一,数列CnCn+2的前n项和为Tn,是否存在正整数 m

30、,使得品 n+1匚小"舟1 由.对于nCN*恒成立，若存在，求出 m的最小值，若不存在，请说明理【分析】（I ）利用递推公式即可得出 bn+1- bn为一个常数，从而证明数列bn是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得到 bn,进而得到an；（R）利用（I ）的结论，利用裂项求和”即可得到Tn,要使得Tn<于nCN*恒成立，只要3<111clrn+l解出即可.【解答】（I ）证明：bn+1- bn=2a力十1 2an-l-)T 2 勺T n二2,数列bn是公差为2的等差数列,=2,bn=2+ (n 1) X2=2n.n+1（H ）解：由（I ）可得yn+1 n第19页（

31、共27页）. c 2 J “11-Ck数列CnCn+2的前 n 项和为 Tn=(LW)+(- rJ1 1n n+2)=2- - <3.“2 n+1 n+2要使得Tn<一对于n N*恒成立，只要3<,即迪也L)3， 匚111。1»+CTLCm+l'解得m>3或m0-4,而m>0,故最小值为3.【点评】正确理解递推公式的含义，熟练掌握等差数列的通项公式、裂项求和”、等价转化等方法是解题的关键.18. (12分)从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学

32、考试的平均分；(2)若用分层抽样的方法从分数在30, 50)和130, 150的学生中共抽取 6人，该6人中成绩在130, 150的有几人？(3)在(2)抽取的6人中，随机抽取3人，计分数在130, 150内的人数为 匕 求期望E ( a.【分析】(1)由频率分布直方图计算数据的平均分；(2)计算样本中分数在30, 50)和130, 150的人数，根据分层抽样原理求出 抽取的人数；(3)计算抽取的6人中分数在130, 150的人数，求出己的所有取值与概率分 布，计算数学期望值.【解答】解：(1)由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为0.0050X 20 X 40+0.0075X

33、 20 X 60+0.0075X 20 X 80+0.0150X 20X 100+0.0125X20X 120+0.0025X20X140=92;（4 分）（2）样本中分数在30, 50）和130, 150的人数分别为6人和3人,所以抽取的6人中分数在130, 150的人有3X2二2 （人）；（8分） 9（3）由（2）知：抽取的6人中分数在130, 150的人有2人，依题意细勺所有取值为0、1、2,卜（匕）二0父喜+1黑1_+2乂!=1（12分）【点评】本题主要考查了频率分布直方图以及平均数和概率的计算问题，也考查了运用统计知识解决简单实际问题的能力，是基础题.19. （12分）如图，已知平面

34、 QBC与直线PA均垂直于RtAABC所在平面，且PA=AB=AC（I ）求证：PA/平面QBC;（H） PQ，平面QBC,求二面角Q-PB- A的余弦值.【分析】（I）利用线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理即可证明；（n）方法一：利用三角形的中位线定理及二面角的平面角的定义即可求出. 方法二：通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量所成的夹角来求两平面的 二面角的平面角.【解答】解：（I）证明：过点Q作QD，BC于点D,平面QBC1平面ABC, ；QD，平面 ABG又: PA1平面ABGQD/ PA 又QD?平面 QBG PA?平面 QBC,二.PAH 平面 QBC.（II）方法一：:

35、PQX平面 QBC, /PQB之 PQC=90,又= PB=PC PQ=PQ . .PQ®APQC； a BQ=CQ点D是BC的中点，连接AD,则AD± BC, AD，平面 QBC,PQ/ AD, ADXQD,四边形PADQ是矩形.设 PA=2a.|PQ=AD=72a, PB=2/la, . . BQWea.过Q作QR± PB于点R,PQ2 2a2 ,V2PB 2五a 2 '取PB中点M,连接AM,取PA的中点N,连接RN,PR吉PBFH, P吟PA, .MA/RN.v PA=AB . . AMXPB, a RN± PB./QRN为二面角Q-PB

36、- A的平面角.连接 QN,贝U QNQp2+pjj2=52a2f q2=./3a.又正与d， ，4i：|3 2,1 2 c 22"2=”正近了. . cosZ QRN卫R%M-QN?2QR,RM厂' 22即二面角Q-PB-A的余弦值为 弯.(n)方法二：: PQX平面 QBC, /PQB 土 PQC=90,又= PB=PQ PQ=PQ. PQ® PQQ. BQ=CQ:点D是BC的中点，连AD,则ADXBC.AD±T® QBC, a PQ/AD, ADXQD,四边形PADQ是矩形.第21页（共27页）分别以AG AB、AP为x、v、z轴建立空间直

37、角坐标系 0-xyz. 不妨设 PA=Z 则 Q (1, 1, 2), B (0, 2, 0), P (0, 0, 2),设平面QPB的法向量为门二（乂，yf z）|.v PQ= (1, 1, 0), PB= (0, 2, -2).,"K4y=。令 x=则 z=- 1 .12y-2z=0又二.平面PAB的法向量为需"，* o)|.设二面角 QPBA 为 9,则 |cosq 由 又;二面角Q-PB-A是钝角【点评】熟练掌握线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理、二面角的定义及通过建立空间直角坐标系并利用平面的法向量所成的夹角来求二面角的平面角是解题的关键.20. (12分)已

38、知椭圆 C:三三=1 (a>b>0),圆 Q: (x-2) 2+ (y-2) 2=2 a2的圆心Q在椭圆C上，点P (0,叵 到椭圆C的右焦点的距离为 我.(1)求椭圆C的方程；(2)过点P作互相垂直的两条直线li, 12,且11交椭圆C于A, B两点，直线12交圆Q于C, D两点，且M为CD的中点，求 MAB的面积的取值范围.【分析】(1)求得圆Q的圆心，代入椭圆方程，运用两点的距离公式，解方程 可得a, b的值，进而得到椭圆方程；(2)讨论两直线的斜率不存在和为 0,求得三角形MAB的面积为4;设直线y=kx+ V2,代入圆Q的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得 M的坐标，求

39、得MP 的长，再由直线AB的方程为y=-4x+g,代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长 公式，由三角形的面积公式，化简整理，由换元法，结合函数的单调性，可得面 积的范围.【解答】解：(1)圆Q: (x-2) 2+ (y-«) 2=2的圆心为(2,/), 代入椭圆方程可得+=1,由点p (0, V2)到椭圆c的右焦点的距离为 立，即有*五晨2哂， 解得 c=2,即 a2 - b2=4,解得a=2&，b=2,即有椭圆的方程为(2)当直线12： y小历，代入圆的方程可得x=2±e,可得M的坐标为(2,小)，又| AB| =4,可得 MAB的面积为Lx 2X 4=4; 2设直线

40、y=kx+,历 代入圆Q的方程可得，(1+k2) x2 - 4x+2=0,可得中点M (, ©但*1), 1 + k2 1+k2设直线AB的方程为y=- lx+/2,代入椭圆方程，可得: k(2+k2) x2 - 4 : :kx 4k2=0,设(xi, yi) , B (x2、-r/By2), 可得 xi+x2=2+k”-4kxix2=一2+k2则 |AB| 二2161?(2+k2)2 (2+k2)264+L6k26升16k可得 MAB的面积为设 t=4+k2 (5>t>4),可得 L 广<-=1, 2日之产 Ct-2)2 t4-4 441-4可得S<4,综上

41、可得， MAB的面积的取值范围是( 迈,4.3【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查三角形的 面积的范围，注意运用直线方程和椭圆方程联立， 运用韦达定理和弦长公式，以 及三角形的面积公式，运用换元法和函数的单调性，属于中档题.21. (12分)设函数 f (x) =x2+aln (x+1) (a 为常数)(I )若函数y=f (x)在区间1, +oo)上是单调递增函数，求实数 a的取值范 围；JF /(H)若函数y=f(x)有两个极值点xi ,出，且xi<X2,求证：0<一<工413.耳2【分析】(I )已知原函数的值为正，得到导函数的值非负，从而求出

42、参量的范围；(n)利用韦达定理，对所求对象进行消元，得到一个新的函数，对该函数求导 后，再对导函数求导，通过对导函数的导导函数的研究，得到导函数的最值，从 而得到原函数的最值，即得到本题结论.2【解答】解：(I)根据题意知：f'(x)=士 华怛在1, +8)上包成立.即a> - 2x2-2x在区间1, +00)上恒成立.- - 2x2 - 2x在区间1, +00)上的最大值为-4,a> 4；经检验：当a=一 4时，F ' &)二*工乂蓝片)。,屐1,-).a的取值范围是-4, +00).2(H) f ' 二红字在区间(-1, +OO)上有两个不相等的

43、实数根,x+1即方程2x2+2x+a=0在区间(-1, +8)上有两个不相等的实数根.记 g (x) =2x2+2x+a,则有g -)<(,解得(Xa<白Z -(2 J+2m) Ln&+1)-1 'X量 E(., 0)fa-l2k' (k)=7+21n(s41),(i+x r2记D(t)=-21 口(Hl) («)=,2比心+6/2(1+z) 3(£+x r第25页(共27页)P'(-2)=-4, P'(0)=2在 mE (耳，0)使得 p'(X0)=0.当 k£ (上，肛)，P' (x) <0；当 xC (xo, 0)时，p'(x) >0. eJ而k' (x)在(J-r与)单调递减，在(x°, 0)单调递增， U1K (- 2)= 1 - 2 ln 2 < 0,?(0) = 0，. i,当x (- 2, 0) , K' (x)< 0, k (x)在(上，0)单调递减，即.K 2究极值【点评】本题考查的是导数知识，重点是利用导数法研究函数的单调性、 和最值，难点是多次连续求导，即二次求导，本题还用到消元的方法，难度较大.请