高三数学一轮复习阶段性测试题(五)：平面向量1

1、阶段性测试题五(平面向量)本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第1卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符号题目要求的。)1 .(文)(2011北京西城区期末)已知点A(1,1),点B(2, y),向量a=(1,2),若晶/a,则 实数y的值为()A. 5B. 6C. 7D. 8答案C一.% , 3 y 1. 一斛析ab =(3, y D, AB/ a, ,彳=2-，,'=".(理)(2011福州期末)已知向量a= (1,1), b= (2, x),若

2、a+b与4b2a平行，则实数x的 值为()A. - 2B. 0C. 1D. 2答案D解析a+b=(3, x+1), 4b-2a = (6,4x- 2),3 x 1. a+b 与 4b2a 平行，. 6=4x2,，x=2,故选 D.2. (2011蚌埠二中质检)已知点A(-1,0), B(1,3),向量a=(2k-1,2),若AB,a,则实数k 的值为()B. - 1D. 2A. - 2C. 1答案B解析AB = (2,3), . AB,a, . 2(2k1) + 3X2=0, . k= 1, .选 B.3. (2011北京丰台期末)如果向量a=(k,1)与b=(6, k+1)共线且方向相反，那

3、么k的值为()C.A. - 3B. 2D.7答案Ak= 6入解析由条件知，存在实数0,使a=m.(k,1)=(6Z, (k+ 1)?),k= 3,故选 A.4.（文）（2011北京朝阳区期末）在4ABC中，M是BC的中点，AM = 1,点P在AM上且满足AP=2PM,则 PA（PB+PC）等于（）4A一94C.34D.9答案A解析由条件知，PA (PB+ PC)= PA (2PM)=PA AP=- |PA|2=- |MA|2=_4.-16 -（理）（2011黄冈期末）在平行四边形 ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H,记AB、BC分别为a、b,则AH = ()A.5”4b2

4、4B.5a+5b24C. 5a+ 5bD. - |a-：b55答案B-r 一 .1解析AF = b+2a-1DE = a2b,设 dH= DE,则DH =后一j；b,AH = AD+DiH =后1、+ 1 2 入 b,AH与AF共线且a、b不共线，AH = |ab.5.（2011山东潍坊一中期末）已知向量a=(1,1)b=(2n),若 |a+b|= a b,则 n =()A.C.B. 1D. 3答案D解析.a+b=(3,1 + n),.|a+ b|= 9+ n+ 1 2 =：n2+2n + 10,又 ab = 2+n, .|a+b|=ab,n2+2n+ 10 =n+2,解之得 n=3,故选 D

5、. , 一., . . 6. （2011烟台调研）已知P是边长为2的正 ABC边BC上的动点，则AP（AB+AC）（ ）A.最大值为8B,是定值6C.最小值为2D.与P的位置有关答案B解析设BC边中点为D,则一 一 3 一 一AP （AB+AC） = AP （2AD）= 2|AP| |aD| cos/PAD=2|AB|2=6.7. （2011河北冀州期末）设a, b都是非零向量，那么命题“ a与b共线”是命题“ |a+b| = |a|十|b|” 的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .非充分非必要条件答案B解析|a+b|= |a|十|b|? a与b方向相同，或a、b至少

6、有一个为0;而a与b共线包括a与b方向相反的情形，a、b都是非零向量，故选 B.8. （2011甘肃天水一中期末）已知向量a=（1,2）, b=（-2,4)512则a与c的夹角为（）B. 60°D. 150A. 30°C. 120°答案C解析由条件知 ai=&, |b|=2«, a+b=（1, 2）,|a+b| = 45, -（a+b） c=55.J5x 45 cos 仁 2，其中。为 a+b 与 c 的夹角，0= 60 .= a+b= a,，a+b与a方向相反，a与c的夹角为120°.、 、一 ，一、“， , ， 一 ， ， 小9.（

7、又）（2011福建厦门期末）在4ABC中，/C=90 ,且AC=BC=3,点M满足BM = 2MA,则疝cB等于（）A. 2B. 3C. 4D. 6答案B解析解法1：如图以C为原点，CA、CB为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(3,0),B(0,3),设 M(x。, yo).BM = 2I/IAxo= 2 3 xoyo 3= 2 yoxo = 2yo= 1CM CB=(2,1)(0,3) =3,故选B.解法 2: . BM=2IMA bm = |bA,3.CbcM = Cb(cb+bM) = |cb|2+Cb2 一3ba2= 9 + 3x 3*3返*(理)(2011安徽百校联考)设 O为坐标

8、原点，点 A(1,1)若点B(x, y)满足x2+ y2- 2x- 2y+ 1 >0,1<x<2,1<y<2,则OA OB取得最大值时,点 B的个数是(A. 1B.C. 3D.无数答案A解析x2+y2-2x- 2y+1>0,即(x 1)2+(y-1)2>1,画出不等式组表示的平面区域如图，OAOB=x+ y,设x+y=t,则当直线y=x平移到经过点 C时，t取最大值，故这样的点B有1个，即C点.10 . （2011宁夏银川一中检测）a, b是不共线的向量，若 AB= 4a+b, AC=a+如（丸尬CR）,则A、B、C三点共线的充要条件为（）B.为=?2

9、= 1D.答案D分析由于向量aC, AB有公共起点，因此三点A、B、C共线只要aC, AB共线即可，根据向量共线的条件可知存在实数入使得AC= 岫，然后根据平面向量基本定理得到两个方程，消去入即得结论.解析A、B、C共线，. AC, AB共线，根据向量共线的条件知存在实数入使得AC =2AB,即a+g=?（X1a+b）,由于a, b不共线，1 =入1入根据平面向量基本定理得，消去入得加力=1.11 .（文）（2011北京学普教育中心）设向量a=（a1，a2）,b=（b1，b2）,定义一种向量运算a1 兀 c j,. 一 , b=（a1，a2）® （b1, b2）= （a1b，a2b2

10、）.已知 m= 2, 2 , n= g, 0 ,点 P（x, y）在 y=sinx 的 图象上运动，点 Q在y= f（x）的图象上运动，且满足 OQ = mOP+n（其中O为坐标原点）,则 y=f（x）的最大值及最小正周期分别为 （）A. 2;兀8 . 2; 4兀D.2；兀0.2； 4兀答案0解析设点Q（x' , v'）,则oQ = （x' , y'）,由新定义的运算法则可得：1,、 兀 C（x' , y' ）= 2, 2 （x, y）+ 3, 0=2x+$ 2y ,x = 2x+ 3x1x，且彳寸1'一y = 2yy=2y代入 y=si

11、nx,彳导 y' = 1sin，则22611 兀 一f（x） = ?sin ?x 6，故选 0.（理）（2011华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考）如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC的点，满足AC=3AE, BC=3BF,若6C= XDE+ 由其 中X,长R,则计科是（）A 8c 3A.3B.25C-D. 13答案B解析of = Ob+bf=Ob + 1(oA,31>1OE = OA +AE = OA+ -OB ,3相加得 Oe + Of = 4(OA+ Ob)=4(oc, 33金沁河,计 3,3"产4+4=12. （2011辽宁沈阳二

12、中阶段检测）已知非零向量AB与AC满足AB , AC_ f八 口 |扇 |AC| Br，AB竿 = 1,则 ABC的形状为（）|AB| |AC|A.等腰非等边三角形C.三边均不相等的三角形答案A分析根据平面向量的概念与运算知，B.等边三角形D .直角三角形空表示西方向上的单位向量，因此向量炉十|AB|AB|&C平行于角A的内角平分线.由 £旦+9 |AC|AB| |AC|BC=0可知，角A的内角平分线垂直于对边,再根据数量积的定义及空与一 2可求角A.|AB| |AC|解析根据 空+ 竽 bC=0知，角A的内角平分线与 BC边垂直，说明三角形是等 |AB| |AC| ABAC

13、 1腰三角形，根据数量积的定义及 詈 然=1可知A= 120°.故三角形是等腰非等边的三角形.|AB| |AC|AB AC ; 一 f点评解答本题的关键是注意到向量 詈，告分别是向量AB, AC万向上的单位向量,两个单位向量的和一定与角 A的内角平分线共线.第n卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13.(文)(2011湖南长沙一中月考)设平面向量 a= (1,2), b=(2, y),若a/b,则|3a+b| 等于.答案3a+b=(3,6)+(-2, y) = (1,6 + y),一 2 y=y, -=-4, 3a+b

14、=(1,2),解析a / b.1.|3a+b| = /5.(理)(2011北京朝阳区期末)平面向量a与b的夹角为60°, a=(2,0), |b|=1,则|a + 2b|=答案2仙一。1,解析a b= |a| |b|cos60 = 2X 1X2=1,|a+2b|2=|a|2 + 4|b|2+4a b = 4+4+4X 1 = 12, .|a+2b|=23.14. (2011华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知a= (2+ N 1), b=(3,九若a, b>为钝角，则入的取值范围是 . 3l c答案2且后-3解析. a, b为钝角，ab=3(2+4+上 4 入+ 6

15、<0, 3 3,当a与b方向相反时，上一3,、3-、- K 且- 3. 215. (2011黄冈市期末)已知二次函数y=f(x)的图像为开口向下的抛物线，且对任意xC R都有 f(1+ x) = f(1 x).若向量 a=(4m, 1), b=(而,2),则满足不等式 f(a b)>f(1)的 m 的取值范围为.答案0W m<1解析由条件知f(x)的图象关于直线x=1对称，.f(-1) = f(3), .m>O, .-.ab=m+2>2,由 f(a b)>f(1)得 f(m+ 2)>f(3),. f(x)在1 , 十°°)上为减函数

16、，m+2<3,，m<1,m> 0,0< m<1.116. (2011 河北翼少M期末)已知向量 a= sin 0, 4 , b=(cos0, 1), c=(2, m)满足 ab且(a + b)/c,则实数 m=.答案第一11解析.1 a±b, sin 9cos0+ 4 = °， sin2。= 2,.5又. a+b= sin 0+ cos 0, 4 , (a+b)/c,5 .m(sin 0+ cos。)一2 = 0,- m =5, - (sin 0+ cos E)2= 1 + sin2 0= -, - sin 0+ cos0= 2,m= 22 s

17、in 0+ cos 0222三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)(2011甘肃天水期末)已知向量a = (- cosx,sinx), b = (cosx,3cosx), 函数 f(x) = a b, x C 0, ntZ(1)求函数f(x)的最大值；(2)当函数f(x)取得最大值时，求向量 a与b夹角的大小.解析(1)f(x)= a b= cos2x+ V3sinxcosx色11. c 兀1=sin2x- 2cos2x- 2= sin 2x 6 -2.- x 0 ,兀.当 X= 3H寸,f(x)max= 1 - 2 = 2.

18、(2)由(1)知x=T，a= -1,*，b= 1,当，设向量a与b夹角为a,则cosa=皆b =32222ai 12 _11x1 = 2，兀一._.，一.兀1 a= 3.因此，两向量a与b的夹角为3.18.(本小题满分12分)(2011呼和浩牛I模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为 业且过点(4,一回).(1)求双曲线方程；，一 ，、_. (2)若点M(3, m)在双曲线上，求证 MFMF2 = 0.解析(1)解： e=U2, 可设双曲线方程为x2y2=入.过(4,闻)点， . 1610=入即 入=6,，双曲线方程为x2-y2=6.(2)证明：Fi(-2乖,0),

19、F2(2m, 0), MMFi=(- 3-273, m),而2=(3+2g, m), MF i MF2= 3+m2,又 M点在双曲线上，9-m2 = 6,即m23=0,，MFiMF2=0,即 MlFMIF2.19.(本小题满分12分)(2011宁夏银川一中月考，辽宁沈阳二中检测)ABC中，a、b、cB分别是角 A、B、C 的对边，向量 m=(2sinB,2cos2B), n = (2sin2q+B), 1), mln.(1)求角B的大小；(2)若a=小,b=1,求c的值.分析根据向量关系式得到角B的三角函数的方程，解这个方程即可求出角B,根据余弦定理列出关于c的方程，解这个方程即可.解析(1)

20、 ; m ± n, . . m n = 0,9兀B1-4sinB sin22 +cos2B2=0,兀 f2sinB1 cos 2+ B + cos2B 2 = 0,2sinB+ 2sin2B+ 1 2sin2B-2=0,1 sinB=2，_ _兀，、5- 0<B<ti,B=二或二兀,6 6(2) / a=V3, b= 1,a>b, . .此时 B = 6,方法一：由余弦定理得：b2 = a2 + c2 - 2accoSB,-1 c2 3c+ 2=0,. c= 2 或 c= 1.方法二：由正弦定理得-7br=-a7，SinB SinA142T sinA' .s

21、inA= 2 , . 0<i A=3 或 3&2若A=$因为B = 6?,所以角C = 2,边c = 2;若A=25则角C=兀一2兀一,=6， 336 6.二边 c= b,c= 1.综上c= 2或c= 1.3x . 3x20.(本小题满分12分)(2011山东济南一中期末)已知向量 a= cosy, sin-2 , b =xckx口,兀 cos2, 一 sin2，且 xC 2, nd(1)求 a b 及|a+ b|;(2)求函数f(x) = a b+ |a+ b|的最大值，并求使函数取得最大值时x的值.一一3x x . 3x x解析(1)a b= cos2"cos2 s

22、in-2-sin2= cos2x,3x , x 2 , 3x. x 2|a+b|=y cos万+c0s2 2 + siny sin2 22+2 cosmos；_ . 3x . x sin-2sin2=，2 + 2cos2x= 21cosx|,. Z- r 兀-1.八 x e 5, nt . . cosx<0 ,|a+ b|= 2cosx.(2)f(x)= a b+ |a+ b|= cos2x 2cosxc 11 93= 2cos2x_ 2cosx-1 = 2 cosx-2 2 2-兀.一 , x e £, nr 1 < cosx< 0 ,当 coSX= 1 ,即 X

23、=兀时 fmax(x)= 3.21.(本小题满分12分)(2011河南豫南九校联考)已知O)A=(2asin2x, a), OB=(-1,273， 一， 、 ， ，sinxcosx+1), O 为坐标原点，aw 0,设 f(x) = OA OB+b, b>a.(1)若a>0,写出函数y=f(x)的单调递增区间；(2)若函数y=f(x)的定义域为2, nt值域为2,5,求实数a与b的值.解析(1)f(x)= 2asin2x + 2V3asinxcosx+ a+ b=2asin 2x+6 + b,_I兀 _ _兀. a>0, 由 2k 兀-2w 2x+2k 兀+兀兀 一 _kL尸+6, kJ.，函数y=f(x)的单调递增区间是3, k”Z)兀时,13兀6 C 4 厂 r X1sin 2x+6 C T, 2当 a>0