高考数学(文)一本策略复习教案：第一讲等差数列、等比数列Word含解析

1、和，专题三THEMATIC THREE数列12第一讲等差数列、等比数列考情分析明确方向年份卷别考查角度及命题位置命题分析及学科素养2018I卷等比数列的判定及通项求法T17命题分析（1）局考主要考查两种基本数列（等差数列、等比数列）、两种数列求和方法（裂项求和法、错位相减法 卜 两类综合（与函数综合、与不等式综合），主要突出数 学思想的应用.（2）若以解答题形式考查，数列往往与解三角形在17题的位置上交替考查，试题难度中等；若以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也出现在第12题或16题位置上，难度偏大，复习时应引起关注.学科素养主要是通过等差数列、等比数列的判定与证明及基本运算考查逻辑推理

2、与数学运算两大核心素养.出卷等比数列的基本运算及应用于172017I卷等差、等比数列的 综合应用于17讲练结合考点一等差数列、等比数列的基本运算授课提示：对应学生用书第28页悟通方法结论两组求和公式等差数列：&=坐/L nai +d； n aifl q a ai anq(2)等比数列：.=；_；(qwl).全练一一快速解答1. (2018高考全国卷I )记Sn为等差数列an的前n项和，若3s3=。+$4, a=2,则 a5=()A. 12B. 10C. 10D. 12解析：设等差数列an的公差为d,由3s3=S2 + S4,得 3 3a1 + 3><(2- 1 / d L

3、2al + 2>< 今-1)x d + 4al + (2018高考全国卷出)等比数列an中,a=1, a5= 4a3. * (；-1)x d,将 a = 2 代入上式， 解得d= 3,故 a5=a+(5 1)d = 2 + 4X ( 3) = 10.故选B.答案：B2. (2017高考全国卷出)等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2, a3, a6成等比数列， 则an前6项的和为()A . 24B . 3C. 3D. 8解析：设等差数列an的公差为d,因为a2, a3, a6成等比数列，所以a2a6= a3,即(a1 + d)(a1 + 5d)=(a1 + 2d)2,又 a1=

4、 1,所以 d2+2d=0,又 dw0,则 d=- 2,所以 a6 = a1+ 5d 1 9=9,所以an前6项的和S6= - X6=-24,故选A.答案：A3. (2018天津模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn,且8a2a4= a3a6,则S3 =. a4解析：由 8a2a4= a3a6可得 8a2=a3a6,故 a6=8a3,设公比为 q,则 q3= 8, q = 2,故a = a4,2 a1(1 + q + q 1 7 aq3- 8.答案：7 8(1)求an的通项公式.(2)记Sn为an的前n项和，若Sm=63,求m.解析：(1)设an的公比为q,由题设得an = qnT.由已知得q

5、4=4q2,解得q= 0(舍去)，q = 2或q = 2.故 an=( 2厂1 或 an=2n 1.(2)若 an=( 2)nT,则 Sn = 1 ；2).3由Sm= 63得(2)m= 188,此方程没有正整数解.若 an=2nT,则 &=2n1.由 Sm=63 得 2m= 64,解得 m=6.综上，m= 6.【类题通法】在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于 a1和d(或q)的方程组求解，但要注意消元法及整体代换，以减少计算量.考点二讲练绪合等差数列、等比数列的性质授课提示：对应学生用书第 29页悟通一一方法结论(1)若n为奇数，则Sn =1.

6、等差数列、等比数列常用性质:等差数列等比数列性质(1)若 m, n, p, qC N ,且 m+n= p+q,则 am+an = ap+aq；(2)an=am+ (n-m)d;(3)Sm, S2m Sm, S3m S2m,仍成等差数列(1)若 m, n, p, qCN,且 m+ n= p+q,则 am an=ap aq ；(2) an= amq;(3)Sm, S2m- Sm, S3m - S2m,仍成等比数列(SmW 0)2.等差数列中利用中项求和.一.n -(2)若 n 为偶数，则 Sn=n( - + - +1).S偶 3n+13 .在等差数列中，当项数为偶数 2n时，有S偶一$奇=门, S

7、 = q；当项数为奇数 2nS奇 an1时,有S奇一S偶=an,S偶n 1=S奇n4 .在等比数列中，当项数为偶数2n时，=q.S全练一一快速解答1. （2018南宁模拟）等差数列an中，a3+a7=6,则an的前9项和等于（）A. 18B. 27C. 18D. 27解析：由等差数列的性质，得aI +a9= a3+a7= 6,所以数列an的前9项和期=9（，1；a9）9X62= 27,故选B.答案：B2. （2016高考全国卷I ）已知等差数列an前9项的和为27, a1o=8,则a0o=（）B. 99A. 100C. 98D. 97解析：法一：=an是等差数列，设其公差为d,八 9一- Sg

8、 = 2(a1 + a9)= 9a5= 27, . a5= 3.a1 + 4d= 3, a1=- 1,又, a10= 8,一a1 + 9d = 8,d= 1.a100= a1 + 99d=- 1 + 99X1 = 98.法二：:an是等差数列， Sg = ；(a + a9)= 9a5= 27，a5= 3.在等差数列an中，a5, a10, a15,，a100成等差数列，且公差 d' =a0 a5=83 =5.故210。=3+(20 1)* 5=98.故选 C.答案：C3. （2018长沙卞II拟）等比数列an中，a5=6,则数列log6an的前9项和的值为（）A. 6B. 9C. 12

9、D. 16解析：因为 a5=6,所以 10g6a1 + log6a2+ log6a9= log6(a1 a2 a9)= log6a5= 9log66 =9.答案：B4.（2018河北三市联考）已知Sn是等差数列an的前n项和，若&= 5a4一10,则数列an的公差为.解析：由 S5=5a410,得 5a3=5a410,则公差 d = 2.答案：2【类题通法】等差(比)数列性质应用策略解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.讲练结合考点三等差数列、等比数列的判定与证明授课提示：对应学生用书第 29页悟通一一方法结论1 .证明数列

10、an是等差数列的两种基本方法：(1)利用定义，证明an+1an(nCN*)为一常数；(2)利用等差中项性质，即证明2an=an- + an+1(n>2).2 .证明an是等比数列的两种基本方法：利用定义，证明?(nCN *)为一常数; an2(2)利用等比中项性质，即证明 an = an 1an+1(n>2, an。).鞭I - 2 ( H L 1)(J*.典例(2018高考全国卷I )(12分)已知数列an满足a1=1,设,_an bn= n.(2)判断数列鼠;臭否为等比数列.并说明理由;求$的通项公式.o学审题条件信息想到方法注意什么由信息？ nan+1=2(n+1)an递推关

11、系变形 an+1 =nn)判断bn为等比数列an时要紧扣定义去推由信息？求b、b2、b3想到先求aa2、a3,再求“、b2、b3断由信息？判断bn是否为等比数列由等比数列的定义推断b巴 bn=常数由信息？求an先求bn,再求an2 n+ 1规范解答 由条件可得an + 1 =_Lnan.（2分）将n = 1代入彳导,a2=4a1,而a1= 1,所以 a2= 4.将 n = 2 代入彳导,a3= 3a2,所以 a3= 12. *.* （4 分）从而 b=1, b2= 2, b3 = 4. （6分）（2）bn是首项为1,公比为2的等比数列.由条件可得包口 =,即bn + 1 = 2bn, （8分）

12、n+1 n又b1=1,所以bn是首项为1,公比为2的等比数列.（10分）（3）由（2）可得呼=21, 所以 an=n 2n 1. （12分）【类题通法】1 .判定一个数列是等差（比）数列，可以利用通项公式或前n项和公式，但不能将其作为证明方法.2 .=q和a2=an-1an+1（n>2）都是数列 an为等比数列的必要不充分条件，判定时an还要看各项是否为零.3 2）学科素养：利用定义判定或证明数列问题重要体现了数学抽象逻辑推理与数学运算 学科素养能力.练通一一即学即用（2018贵州适应性考试）已知数列an满足a1=1,且nan+一（n+1R= 2n2 + 2n.（1）求 a2, a3；（

13、2）证明数列管遑等差数列，并求an的通项公式.解析：（1）由已知得a22a1=4,则 a2= 2ai + 4,又 a1= 1,所以 a2= 6.由 2a33a2=12 得 2a3=12+3a2,所以 a3= 15.证明：由已知nan+LS+Da-Mn+D,得*昔1y =授课提示：对应学生用书第119页一、选择题 （2018开封模拟）已知等差数列an的前n项和为Sn,且a + a5=10, $4=16,则数 列an的公差为（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：设等差数列an的公差为d,因为S4=4（a、4 * *）= 2（a1 + a5d）= 2（10d）= 16, 所以d=2,故选B.答案

14、：B （2018重庆模拟）在数列an中，an+1 an = 2, a2= 5,则 an的前4项和为（）A. 9B. 22C. 24D. 32解析：依题意得，数列an是公差为2的等差数列，a1=a2-2= 3,因此数列an的前4 4X3项和等于4*3+-2-X2=24,选C.答案：C （2018益阳、湘潭联考）已知等比数列an中，a5=3, a4a7=45,则曳二a9的值为（）,即篙an=2,首项为1,公差为2的等差数列.所以数列A. 3C. 9解析：设等比数列an的公比为q,则a4a7贝号=1 + 2(n1) = 2n1,所以 an=2n2 n.asq2 a7q2a5 a7= q2=25.故选

15、 D.提升能力答案：D4.（2018洛阳模拟）在等差数列an中，若Sn为前n项和，2a7=a8+5,则Si的值是（）A. 55B. 11C. 50D. 60解析：设等差数列an的公差为d,由2a7=a8+5,得2但6+d）= ae+2d+5,得a6= 5, 所以 Si=11a6=55,故选 A.答案：A5. （2018昆明模拟）已知等差数列an的公差为2,且a4是a?与a8的等比中项，则an 的通项公式an=（）A . 2nB . 2nC. 2n- 1D . 2n+ 1解析：由题意，得 a2a8=a2,又 an = aI+2（n1）,所以 0 + 2）（为+14） = （a1 + 6） ， ，

16、 S的前10项和为（）,解得 a1 = 2,所以 an = 2n.故选 B.答案：B6. （2018长沙中学模拟）已知等差数列an的前n项和为Sn,若a4+ a12- a8= 8 , a10 一 a6= 4,则 S23=（）A. 23B. 96C. 224D. 276解析：设等差数列an的公差为d,依题意得 a4+aI2 a8= 2aga8= a8= 8, a10a6 =一一一 23X 22 -一 、. 4d = 4,d=1, a8=a + 7d=a1+7=8, a1 = 1,S23=23X1+2 x 1 = 276,选 D.答案：D7. （2018长春*II拟）等差数列an中，已知|a6|=

17、|a11|,且公差d>0,则其前n项和取最 小值时n的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 9解析：由d>0可得等差数列an是递增数列，又|a6|=|a11|,所以一a6=an,即一a1一5d = a1+10d,所以a1 = 詈，则a8= d<0, % = 2>0,所以前8项和为前n项和的最小值， 故选C.答案：C -18. （2018惠州模拟）已知等差数列an的前n项和为Sn,且a9 = "a12+6, a2=4,则数列11A.8D.9129 C.101解析：设等差数列an的公差为d,由a9=1a12+6及等差数列的通项公式得aI+5d =1，.+6.+n

18、n+1 S1 S2S101112,又 a2 = 4,.由=2, d = 2, .£ = n+n, .1E=11 111110 批”>(2- 3)+ (而石尸1 仁讦选B.答案：B二、填空题9. (2018南宁模拟)在等比数列an中，a2a6= 16, a4+a8=8,则辞=.解析：法一：设等比数列an的公比为q,由a2a6= 16得a2q6= 16,. aq3= M.由a4十 a8=8,得 a1q3(1 + q4)=8,即 1 + q4= i2, q2= 1.于是舞=q10=1.2a4=4，法二：由等比数列的性质，得a4= a2a6= 16,. a4= %,又a4+a8=8,或

19、a8= 4a4 = 4,a4= 4,.a6=a4a8>0,一则公比 q 满足 q4= 1, q2= 1,，丝0= q10=1.Ia8 = 12。8=4,a10答案：1210. (2018合肥卞II拟)已知数列an中，a1=2,且an"= 4a+1 一 an)(n C N *),则其前9项 an和 S9 =.解析：由已知，得 an+1 = 4anan+1 4a2,即 an+1 4anan+1 + 4an= (an+1 2an) =0,所以 an+1=2an,所以数列an是首项为2,公比为2的等比数列，9故 s 2X(1-2 )= 210_2= 1 022.1 2答案：1 0221

20、1. 若等比数列an的各项均为正数，且 a0a11+a9a12= Ze',则In a+In a2+ ln a20解析：因为 a10a11+a9a12= 2a10a11 = 2e, 所以 a10an = e5.所以 In a+ In a2+ + In a20 = ln(a1a2a20)10=ln( a1 a20) (a2a19)(aio aii ) = In(aioaii)=101n(aioaii)= 101n e5= 501n e= 50.答案：5012. (2017高考北京卷)若等差数列an和等比数列bn满足a1=b = 1, a4=b4=8,则善=.b2 解析：设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,则由 a4=a1 + 3d,得 d ="不引=8-1-L3, 33由 b4=bq3得 q3= .= -8r= - 8, 1- q= - 2.b1 1a2,_ a +d_-1 +3 _ 1b2bq 1x( 2)答案：1三、解答题13. (2018 南京