高数2试题及答案

1、精品-可编辑-模拟试卷注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。(本卷考试时间100分)、单项选择题(每题3分,共24分)1、已知平面：x 2y zx 1 y 20与直线L :31z 1的位置关系是()1(A)垂直(B)平行但直线不在平面上不平行也不垂直(D)直线在平面上2、limx 0y 03xy2xy 1 1(A)不存在(B) 3(C)(D)3、函数z f (x, y)的两个二阶混合偏导数及在区域x y y xD内连续是这两个二阶混合偏导数在D内相等的()条件.(A)必要条件(B)充分条件(C)充分必要条件(D)非充分且非必要条件4、设 d 4 ,这里a22x y a0,则a=(A

2、) 4(B)(C)(D) 05、已知x ay dx ydy为某函数的全微分，则(A)-1(B)(C) 2(D)6、曲线积分0L x2ds-2y)，其中L :10(A)2(B)一53(C)一54(D)57、数项级数 an发散，则级数n 1(A)发散(C)收敛8、微分方程xy y的通解是(A) y Cix C22(C) y Cix C2二、填空题(每空4分，共kan (k为常数)()n 1(B)可能收敛也可能发散(D)无界)2_(B) y x C1 2_(D) y -x C20分)1、设 z esinxy,则 dz 。22 y22、交换积分次序：dx e dy =。0 x J 2 .3、设L是任意

3、一条光滑的闭曲线，则 =2xydx x dy=n 11n1的收敛区域为L4、设哥级数anxn的收敛半径为3,则哥级数nan xn 0n 15、若M x,y dx N x, y dy 0是全微分方程，则函数 M、N应满足三、计算题(每题8分，共40分)1、求函数z ln x y2的一阶和二阶偏导数。2、计算 xyd ，其中D是由抛物线y2 x即直线y x 2所围成的闭区域。 D3、计算口 2x y 4 dx 5y 3x 6 dy,其中L为三顶点分别为 0,0、3,0、3,2的三角形L正向边界。4、将arctanx展开成x的哥级数。5、求微分方程 x y 1 dxey x dy 0的通解。四：应用

4、题 (16分)2求由旋转抛物面z x2 一 一_.y和平面z2 一a所围成的空间区域的体积。模拟试卷二注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效（本卷考试时间100分）一、单项选择题(每小题2分，共20分)1 .点(4, 3,5)到Ox轴的距离d =().(A), 42(3)252(B) .,(3)252(C) . ( 3)242(D)42522.下列方程中所示曲面是单叶旋转双曲面的是（）222(A) x y z 122(B) x y 4z22y 2(C) x2z214(D)2z164.13.二兀函数 z ln 2-arcsin-2的定义域是().x yx y.22.(A) 1 x y

5、4；,、，22(B) 1 x y 4;，一、22(C) 1 x y 4;.22.(D) 1 x y 4.4 . fx(Xo,y)().(A)f limX 0XoX, yo f Xo, yox(B)f x0 lim 0x 0X, yo f Xo, yoxf xo x, yo f x, y(C) lim -x ox(D)f Xo lim x oX, y f Xo, y x5 .已知二重积分dxdy 1,则围成区域d的是().1.1j八八八(A)|x|y| -(B) x 轴，y 轴及 2xy 2 o23(C)x 轴，x 2 及 yx(D) x y 1 , xy 16.设 I (x2 y2)dxdy,

6、其中 D 由 x2D2a 24(A) d a rdr a 002a223(C) d r dr a003y2 a2所围成，则I =().2 a 214(B) d r rdr aoo22, a 24(D) d a adr 2 a 00x a cost,7 .右L是上半椭圆取顺时针方向，则 ydx xdy的值为().y bsint,L(A)0(B) ab(C) ab(D) ab28 .设a为非零常数，则当()时，级数 三收敛.n 1 r1) ) |r| lai8) ) |r| |a|(C) |r| 1(D)| r | 19) lim Unn0是级数 Un收敛的(n 1)条件.(A)充分(B)必要(C

7、)充分且必要(D)既非充分又非必要10.微分方程 y y 0的通解为(A) y cosx c(B) yc1 cos x c2(C) y GC2sinx(D) y g cosx c2 sin x二、填空题(每小题3分，共15分)1.已知平行四边形 ABCD的两个顶点 A(2, 3, 5),B( 1,3,2 )的及它的对角线的交点E( 4 , 1,7),则顶点D的坐标为2 .设 a 3i j 2k , b i 2j k ,则 a b =25, yz3 .设 z arctan ,则x x y4 .若正项级数Un的后项与前项之比值的极限等于，则当 时，级数必收敛.n 1 xx2xn5 .哥级数一 的收

8、敛区间是2 2 42 4(2n)三、计算题(每小题10分，共50分)33 一 . 22 .1 .求函数f (x, y) x y 3 (x y )的极值点，并求极值22.计算x2e y dxdy,其中D是以(0,0), (1,1), (0,1)为顶点是三角形区域D-1，3.计算 -2rds ,其中x y z为曲线：x et cost, yet sin t, zet (0 t 2).352n 1xxx4 .利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数：x 一 一 352n 15 .求微分方程满足已给初始条件的特解：y' e2xy, y |x0 0 .四、应用题与证明题(第1小题13分，第2小

9、题12分，共25分)2222a . a 一 一1.求球面x y z a (a 0)被平面z 一与z 一所夹部分的面积。422.证明曲面xyzm (m0)上任一点处切平面与三个坐标面所围成四面体的体积为常数模拟试卷三注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效（本卷考试时间100分）、单项选择题（每小题2分，共20分）1 .若a, b为共线的单位向量，则它们的数量积 a b （）(A) 1(B) -1(C) 0(D) cos(a,b)2 .设平面方程为BxCzD 0,且B,C,D 0,则平面（(A)平行于x轴 (B)垂直于x轴(C)平行于y轴 (D)垂直于y轴22122(x y )sin2，

10、x y 03 .设 f(x,y)x y，则在原点(Q0)处 f(x,y)().220, x2y2 0（A）不连续 （B）偏导数不存在（C）连续但不可微 （D）可微4 .二元函数 z 3(x y) x3(A) (1,2)(B) (1 , -2 )5 .设 D 为x2 y2 1,贝UD(A) 0(B)1 1 x6. 0dx 0 f(x, y)dy=(1 x 1(A) 0 dy 0 f (x, y)dx3y的极值点是().(C) (1,-1)(D) (-1,-1)1 ,乜22改W二().1 x y(C) 2(D) 4)1 1 x(B) 0 dy 0 f (x, y)dx1 1(D)0 dy 0 f

11、(x, y)dxx a cost ,7 .若L是上半椭圆取顺时针方向，则 ydx xdy的值为（）.y bsint ,1 y(C) 0 dy 0 f (x, y)dx(A) 0(B) ab(C) ab(D) ab28 .下列级数中，收敛白是().5. n 1. 4. n 1n 1.5 . n 1(A)(-)(B)(-)(C)( 1)(-),哥级数bnXn的收敛半径为R2 :n 0n 1 4n 1 5n 149 .若哥级数anXn的收敛半径为 R ： 0R1n 00R2,则哥级数(ann 0bn)Xn的收敛半径至少为(A) R1R2(B) R1 R2(C) max R1, R2(D) min R

12、 , R210 .方程 xyJx2y2 丫是().(A)齐次方程(B) 一阶线性方程(C)伯努利方程(D)可分离变量方程、填空题(每小题3分，共15分)1 .平行四边形二边为向量 a 1, 3,1, b 2, 1,3,则其面积S= .2 .通过点(3,0, 1)且与平面3x 7y 5z 12 0平行的平面方程为 . x 一.z3 .设 z ln tan 一，则 一 L y y一， t 1 t 2.4 .曲线x ,y ,z t2在对应于t 1的点处切线方程为 1 t t5.设闭区域D由分段光滑的曲线 L围成，函数P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数，则有 LPdx Qdy三、计

13、算题(每小题10分，共50分)3z1 .设 z x ln( xy),求2 .x y2 .求 ex yd ,其中d是由x y 1所确定的闭区域.D3 .计算 L(x2 y)dx (x sin2 y)dy,其中L是在圆周：y *'2x x2上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧.4 .将函数y (1 x)ln(1 x)展开成x的哥级数，并求展开式成立的区间.2 dy5.求下列修分方程的通解：cos x y tan x.dx四、应用题(第1小题13分，第2小题12分，共25分)1 .在平面xoy上求一点，使它到x 0, y 0及x 2 y 16 0三直线的距离平方之和为最 小.2_2_222

14、 .求由曲面z x 2y 及z 6 2x y 所围成的立体的体积.、(C)连续但偏导数不一定存在(D)不一定连续且偏导数不一定存在模拟试卷四22225 .设 I1ex y dxdy , 12ex y dxdy , 其中区域 D1 :D1D2D2：0 x 1, 0 y 2 ,则下列四式中正确的是（）(A) I1 4I2(B) I1 4I2(C) I1 4I2(D) I1 2I26 .设 I (x(C) (1 xy)dx y dy 0 y2)dxdy,其中 D 由 x2D 2a 2(A) dad 002a2(C) d2d00y2 a2所围成,则I =(2a 2(B) d a ad002a2(D)

15、d 2 d0037 .设L为：x 2 , 0 y I，则l4 ds的值为（）(A) 4(B) 6(C) 8(D) 128 .下列级数中，收敛的是（）(D)( 1)nn 111-1（A）-（B）（C） rn 1 nn 1 V nn 1 n 】nn9 .幕级数9=的收敛区间为（）n 1 n(A) (1,1)(B) 1, 1(C) ( 1,1(D) 1,1)(B) xex ydx y2dy010.下列方程可分离变量的是（）（A） sin（xy）dx eydy 0(D) (x y)dx ex ydy 02x21.通过曲线 xx、填空题（每小题3分，5小题，共15分）222yZ ,且母线平行于y轴的柱面

16、方程是z y 02.经过点（1,0, 1）且平行于向量v 2, 1,1的直线方程是 3.limx 0y 01 xy 1xy2 x4 .将二次积分° dx *2 f （x, y）d y改换积分次序应为5 .设 Un、Vnn 1n 1都是正项级数,Un收敛，则当n 1,2,，都有时,Vn也一定收敛.n 122三、设函数z xy-,求xy（10 分）四、计算二重积分（x2y2Dx）d ,其中D是由直线y xy 2x及x 2所围成的闭区域.（10分）五、计算曲线积分。（2y x3）dx （3x 2y2）dy,其中l是由抛物线y x2和Ly2 x所围成的区域的正向边界曲线.（10分）六、.求幕

17、级数nxn 1的和函数.（10分）n 1七、求下列微分方程的通解：（x2 2y2 ）dx xyd y 0 .（10分）八、应用题 （15分）求旋转抛物面z x2 y2被平面z a （a 0）所截得的有限部分的面积.模拟试卷五注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。（本卷考试时间100分）、单项选择题（每小题2分，10小题,共20分）1.b充分必要条件是2.3.4.5.6.7.(A) a Xb两平面 x(A) 6若 fy(a,b)(A)24y(B) a b(B) 3lim"y 0(B)12x2y(C)(C)a,b0的夹角是-=(C)4若 fx(x0,yO)和 fy(x0, y

18、°)都存在，则 f (x, y)在。0,丫°)处(（A）连续且可微（C）可微但不一定连续卜列不等式正确的是（(A)(C)1dx0(A)(C)(D) a b 0万(D)0(B)(D)连续但不一定可微不一定连续且不一定可微(x3 y3)dy2 1(x y)dy2 11 x0 f (x, y)dy =(1dy 0 f (x, y)dx11 y0dy 0 f (x,y)dx设区域D由分段光滑曲线L所围成,(B)(D)2 x(x2y2 1y2)d 01(B) 0 dy(x y)d 01xf (x, y)dx(D) 0dy 0 f (x,y)dxL取正向，A为区域D的面积，则（）8.9

19、.(A)(C)(A)(C)1，A ydx xdy2lA 1，A xdy ydx2lan是正项级数，前n项和为sn充分条件充分必要条件以下级数中，条件收敛的级数是（）10.下列方程为线性微分方程的是（）x(A) y (sin x)y e(C) y sinx ey、填空题（每小题3分，5小题，共151.2.3.4.(B)(D)nakk 1A 1，A xdy ydx2lA - xdy ydxL,则数列sn有界是 an收敛的n 1（B）必要条件（D）既非充分条件，也非必要条件(B)(D)(B)(D)分）xy1)n 11n31)n_ _ xxsin y ecos y 122曲线y zz 10y在xoy平

20、面上的投影方程是经过点（2,0,1）且垂直于直线22sin(x y )lim 2x 02x2y 22x设区域D是由x轴及半圆周x2 y2V V-平面方程（y 0）所围成的闭区域，将二重积分f （x2 y2）d 化为极坐标形式的二次积分应为5.设 Un、Vnn 1n 1都是正项级数，且Un发散，则当n 1,2,，都有n 1时,Vn也一定发散.n 1x2三、设函数z ey,求一z x y（10 分）2四、计算二重积分 ex yDd ，其中D是圆环形闭区域（x,y）|1 xy2 4.（10 分）23、,五、计算o（x xy ）dxL,2（y 2xy）dy,其中L是三个顶点分别为（0,0）、（2,0）

21、和（2,2）的三角形区域的正向边界.（10分）2n六、求幕级数 的和函数.（10分）y ，-xsin dy 0.x（10 分）n 1 2n七、求下列微分方程的通解：（xcos- ysin ）dx x x八、应用题 （15分）计算半球面z. a2 x2 y2被围在柱面x2y2ax内的部分曲面的面积.参考答案（模拟试卷一）:单项选择题 （每小题3分，共24分）1、D; 2、B; 3、B; 4、A; 5、C;6、C; 7、B; 8、C.、填空题（每空4分，共20分）, sin xy1、e cosxy ydx xdy ； 2、2 y2 y0e dy 0 dx ； 3、o； 4、5、三、计算题（每题8分

22、，共40分）左11、解：Zx 2； Zyx y2yZxx1 2 x y2; Z ; z z2 2 ; zyy2 2 ;zxyzyxx yx y2y2、解：画出积分区域2 y 2xyd 1 dy y2 xydxD1 2255c 八=- y y 2 y dy 5 3 分2 183、解：如图，因为 P x, y2x y 4, Q x, y5y 3x 61,3,贝U x由格林公式得：2x y 4 dxL5y 3x 6 dy1分QP ,八dxdy4dxdy 125分d x yd4、解：arctan xdx2x2n .x dxn 2xx dx1,12n 1 n x2n5、解：原方程即为ydxxdydxyd

23、yxydeyxyey原方程的通解为eyC四、应用题（16分）解一：用二重积分计算。所求体积可视为圆柱体：a1 2, 0 z a2的体积与以曲面z x2y2为顶、以Dxy为底的曲顶柱体体积之差,其体积为dxdyDxy2a 3d r dr00解二：用三重积分计算。利用柱面坐标，有2aadV d rdr 2 dz00r212分3 大r dr答案(模拟试卷二)3.22y xr2.2TI(x y)1. (9 , -5 , 12)2. 5i j 7k(,)三、计算题(每小题10分，共50分)1 .求函数f(x, y) x3 y3 3(x2 y2)的极值点，并求极值22B： . fx (x, y) 3x 6

24、x, fy(x, y) 3y 6y4.5.、单项选择题(每小题2分，共20分)题号12345678910答案BCADBBCDBD二、填空题(每小题3分，共15分)fx (x, y) 0x10,x22fy (x, y) 0y10，y224分.驻点为：(0,0) , (0,2) , (2,0) , (2,2)又 fxx 6x 6, fxy xxxy(1 )对于驻点(0,0)有A .f (0,0)0为极大值(2)对于驻点(0,2)有A .f (0,2)不是极值(3)对于驻点(2,0)有A0, fyy 6y 66,B 0,C6, AC6,B 0,C 6,AC6, B 0,C6,AC6,分B2 36 0

25、且 A 0，7,分_ 2B36 08 ,分B236 09分(4)对于驻点(2,2)有 A 6,B 0,C 6,AC2B 36 0 且 A 0f(2,2)8为极小值10分2.计算x2eD2y dxdy,其中D是以(0,0 )(1,1),(0,1 )为顶点是三角形区域.解：x2De y dxdy = 02e y dxdy5分3 .计算解：原式y dy7分y3de13 y2一y e6116dy2y210分1-2rdsx y z为曲线:x et cost, y et sin t, z et (0 t 2).20 (et cost)2/ t2/ t 2(e sin t) (e ),(et cost)(e

26、t sin t)(et) dttdt8分2)10分4.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数：3 x5 x万5x2 x2n 1 x2n解：:I2n1 K,x3 分3 x x 32n 1 x2n 111x2dx61分dxx-dx x1,1 x=-ln21 x1)10分5.求微分方程满足已给初始条件的特解:y'2x ye , y |x咫 dy解： dx2x yey .e dy e2xdx31分两边积分得:ey1 2x- e27分9分，特解为:ey2x e10分四、应用题与证明题（第1小题13分,2小题12分，共25分）1.求球面x22a (a 0)被平面z-所夹部分的面积。2解：: z

27、.a2y2 且 D (x, y) 3415 2, a 16所求的面积为:22(Zx)(zy) dxdy222 WB a x yJ5a4d dU .ax -4. 0 1213分2.证明曲面xyz m （m 0）上任一点处切平面与三个坐标面所围成四面体的体积为常数解：曲面xyz m 上任一点P（x0, y0）处的法向量为：n （yoz。，X0Z0, x0y0），P(Xo, y°)处的切平面方程为：y0z0(x Xo ) x°z0(y y0) Xoy0(z z0) 0即： -y3x0 3y0z3z01 且有 x0 y0 z0m，所围立体的体积为:二 x0y0z0 =二 m2212

28、分答案（模拟试卷三）、单项选择题（每小题2分，共20分）题号12345678910答案DCDDCCCBDA、填空题（每小题3分,共15分）1. 3.102. 3x7y 5z 43.2x2x2 cscyy/ Q5.(D xP、，)dxdy y三、计算题（每小题10分,共50分）1.设 z x ln( xy),求3z2x y“ z解：一 ln xyx3分2.求61分2 z2x yx yd10分D是由y 1所确定的闭区域.解： eDydydxdy3.计算Di0i1ex0 / 2x 11(eL(x2 y)dx（1,1）的一段弧.解：设L的参数方程为:/ 2L (x y)dx (x2 (1 cost)2

29、sin t sin 2t21 .八 sin 244.将函数yx eD2ydxdy1分ye dydxe 1 )dx(x110 x10(esin2 y)dy,x x y1e e dydx7分2x e其中1)dx9分10分L是在圆周:cost 1 ,一二从到一sint2sin2 y)dysint ( sint) (1 cost).，2，sintcos t cos2t cost(1 x) ln(1解：y ln(1 x) 1 1y V2x x2上由点（0,0）到点. 2，. 一.sin (sint) cost dt,2 ，,cost sin (sin t)dtx）展开成x的哥级数，并求展开式成立的区间.

30、n 11)n ,1x1n 12分10分y (1x)ln(1x)4 x12n 2(1)n (n 1)( n2)(1)nn 1 n(n 1)x 1)10分5.求下列微分方程的通解:2 cosxdy dxy tan x.2解：. y sec x ytan x2sec x .P(x)sec2x,Q(x)tan x2sec x2分P(x)dx.ye Q(x)eP(x)dxdxC3分2.sec xdx=e,一 2tan x sec x e2.sec xdxdxCtan x.=e 2tan xtan xsec x e dx C6分tan x.=e tan x etan xd tan x C_ tanx.e

31、tan xdetanxC8分tan xtanxe tan x etanxd tan xCtanx ,=y ce tan x10分四、应用题(第1小题13分,第2小题12分,共25分)1.在平面xoy上求一点，使它到xo,y16 0二直线的距离平方之和为最小.解：设所求的点为P(x,y),则依据题意有:2(x 2y 16)2(x R,yR)5分Sx2xSy2y2(x 5 i(x2y2y16)16)9分8 16驻点为(,)5 511分由此题的实际意义可知，唯一的驻点一定是极小值点，也一定是最小值点。-8 16所求的点为P(,)5 513分2222.求由曲面z x 2y 及z 6 2x2y 所围成的

32、立体的体积z 解：;zx2 2y222 D (x,y)x6 2x2 y2y22(6D2x22_2y ) (x 2y )dxdy6分(6D3x22、3y )dxdy=3 (2Dy2)dxdy=3 (2D2=30 L2)9分20 (22) d d12分模拟试卷四（本卷考试时间100分）注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。、单项选择题（每小题2分,10小题，共20分）1.向量a （1,2, 2）在向量b（6,2,3）上的投影等于（(D)(A) 42_2绕y轴旋转一周所成的旋转曲面的方程是（4x 9y 362 .曲线,2(A) 4x24y29z236(B) 4x29y2 9z2 162(

33、C) 4x29y24z2362(D) 9x2_22 一9y 4z 163 .已知 f (x, y) = Vxy,则fx（1,1）的值为（(A) 0(B) 1(D)不存在4.若 f(x, y)在(xo, yO)处可微,则 f (x, y)在(x°, y°)处()(A)连续且偏导数存在(B)连续且偏导数连续(C)连续但偏导数不一定存在(D)不一定连续且偏导数不一定存在5.设 Ii、,2、,2edidxdy , 12 eD2x2y2 dxdy ,其中区域Di：1x 1,y 2,D2 :0x 1, 0y 2,则下列四式中正确的是()(A)11 4I 2(B) 114 I 2(C)

34、Ii 4I2(D)Ii2I26.设I(x22y )dxdy,其中D由xy2a2所围成，则=(A)(C)D2d02d0(B)2d(D)2d02d07.设L为:L4 ds的值为(A) 4(B) 6(C) 8(D) 128.下列级数中，收敛的是(A)1n 1 n(B)_1_3 2n(C)(D)n(1)n1n9.幕级数 )的收敛区间为(n 1 . n(A) ( 1,1)(B) 1, 1(C)1, 1(D)1, 1)10.下列方程可分离变量的是(A) sin(xy)dx eydy 0(B)xxeydx2 .y dy2(C) (1 xy)dx y dy 0(D)(xy)dx ex ydy 0、填空题（每小

35、题3分，5小题，共15分）1.2x2通过曲线2x22yz22z y16 ,且母线平行于y轴的柱面方程是02.经过点（1,0, 1）且平行于向量v 2, 1,1的直线方程是3.limx 0y 0xy4.2 x将二次积分° dx x2 f （x, y）d y改换积分次序应为5.设 Un、Vnn 1n 1都是正项级数,且Un收敛，则当n 1,2,，都有n 1时,Vn也一定收敛.（10 分）1 2n 1四、计算二重积分（x2Dx）d其中D是由直线y x、y 2x及x 2所五、六、围成的闭区域.（10分） 计算曲线积分D（2y x三、设函数z xy-xy）dx （3x 2y2）dy,其中L是由抛物线y x2和Ly2 x所围成的区域的正向边界曲线.（10分）.求幕级数 nxn 1的和函数.（10分）n 1七、求下列微分方程的通解：（x2 2y2）dx xyd y 0. （10分）八、应用题 （15分）求旋