高数极限60题及解题思路

1、高数极限60题1.求数列极限 lim (sin Jn 1 sin 4) nn k .2.设 Sn,其中 bk (k 1)!,求 limSnk 1 bkn3.求数列极限lim (1 2q 3q2 nqn 1),其中q 14 .求数列极限 lim Vn2 4n 5 (n 1)。 n5 .求数列极限 lim(1 -12)(1 -).(1 J2)。6 .求极限 lim (x 1)2 (2x 1)2 (3x 1)2 (10x 1)2 x(10x 1)(1仅 1)7.求极限 lim (<4x2 8x 5 2x 1) x8.讨论极限limx3x2 x2e 3e, 3x2x4e e9.求极限 lim t

2、an2x tanx 410.求极限33x 2 2lim x 2 x 211.求极限 lim (1 2x)5(14x)3x 0x12.求极限xim0.1 tan x ' sin x 13x2 2cosx13.讨论极限lim 。x 0 x14.求数列极限lim 2n sin15.设 x1a 0,且 xn2n 1向,证明:lim xn存在，并求出此极限值。 n16.设 x12，且 xn 1J2 4，证明:lim xn存在，并求出此极限值。 n1 N N22321.-2- （ n为正整数），求证：lim xn存在。 nn18.求数列极限lim 乙。n n!19.求极限limxln(2 3e2x

3、)ln(3 2e3x)20.求极限lim x21 .无限循环小数 0.9的值(A)不确定(B)小于1 (C)等于1 (D)无限接近1222 .求数列极限lim (sec)n23 .应用等价无穷小性质，求极限xm0arctanQ x) arctan 1 x)124 .求极限 lim (1 4x)2(116x)325 .求极限limx 01(1 ax)n 1(n为自然数),a0。26 .设 f (x) sin x2sin 3x sin 5x, g(x)0 时,f(x)g(x)。/、2/、2227 .设 f (x) e(a x) e(a x)2ea ( a为常数)，g(x) Axn求 A及 n ,使

4、当 x 0 时，f(x)g(x)。A28 .设 f(x) xx 2 2«x 1 Jx, g(x)二，x求A及k ,使当x 时，f (x) g(x) otanx 3x .一 e e29 .求极限lim ox 0 sin x1 xax -1230.求极限 lim (-)x(a 0, b 0,a 1,b 1,a b)x 0 1 xbxln(secx tanx)31.求极限hm -。x 0 sinx b32.求极限 lim ln(1 eax)ln(1 b) ( a, b为常数，且 a 0) x33.求极限 lim (x 2)ln(x 2) x2(x 1)ln(x1) xlnxx。34.求数列

5、极限11lim(- en)n。 n n35.求数列极限n a nb n lim(-)n, n 2其中a 0, b0。36.求数列极限lim sin( . n2a2n37.求极限limx 02ln( 1 x x ) ln(1 xsecx cosxx2)o38.求极限1 cosx2 lim x 0 1 cosx39.设 X40.求极限41.求极限1 求极限 lim (1 x)(1nx xcosxe elim厂x 0 xln(1 x )x2)(1x4).(12、x )。x xximjnim90s2cos/.cos却。42.设有数列an满足an 0且lim nanr ,(0nr 1),试按极限定义证明

6、：lim an043.求极限limx 1(.x1)(3. x 1).(n x 1)n 1(x 1)44.设有数列an满足lim (an 1 an) 0,试判断能否由此得出极限 nlim an存在的结论。 n45.段叫国存在，lim g(x)存在，则lim f(x)是否必存在?x Xo46.试证明47.求极限1 -lim cos-不存在。x 0 xn 1 lim n(arctannn2x22a x (b cosx)n 、 arctan)n 11,(a 0),试确te a , b的值。249.求极限lim (vx v'x Jx x'x) o x50.求极限xsinx cos2xxt

7、an x51.求极限xim04 tan x , 4 sin xtanx esin x e52.设 xn2xn2 ,xn (n 1,2,)，根据x1的不同，讨论极限lim xn o n53.设 a1匕，令 an 1Janbn，bn 1(n 1,2,.),试证明：lim an 存在，lim bn存在，且lim anlim bn54 .求极限 jm xsin ln(155 .下列极限中存在的是Alimxx2 1B.limx 03) xsinln(1I。x56.设有两命题:命题"a"：若limX x0f(x)命题"b"：若limx xg11 exC.limx1x

8、sin 一 xD.lim -x 0 2xf (x)存在,A"a", "b"都正确C."a"不正确,"b"正确57.若 lim anA(AnA anC. anlim g(x)存在,且x x0g(Xo)°,limx x0 g(x)lim g(x)不存在，则 limf(x)x x。x x0g(x)必不存在。B."a"正确,"b"不正确D." a"," b"都不正确0),则当n充分大时，必有B.anD.an58.数列an无界是数列发散

9、的A必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件59.求极限 lim ('xxJx & V x 'G)Jx。60.求极限lim 2x x 0210xsinx 11cos x 2cosx 9 O 22x 2 1 x sin(x arctanx) sin2x解题思路(供参考)1.三角函数和差化积公式2.k(k 1)!1k!1(k 1)!3 .错位相减法化简4 .分子分母同乘，n2 4n 5 (n 1)1 n 1 n 15 . 1 12 22 32 . 10210 11n n n6 .分子分母最高次都是x2 ,极限为最高次系数比7 .令tx再分子分母同乘 J4

10、t2 8t 5 (2t 1)。8 .分X 和X 讨论。9 .三角函数公式化简。10 .分子分母同乘 3-;(3x 2)2 2V3x 2 4。11 .洛必达法则。12 .分子分母同乘 J1 tan x Jsin x 1 ,再用等价无穷小。22. 1 ,化成重要极限来求。23. arctana arctanb13 .分X0和x14 .利用函数极限来解15 .数学归纳法，猜想16 .数学归纳法，猜想17 .适当放大证明xn18 .设 xn n! n 2n19 .洛必达法则。20 .分子最高次1。21 .找不到一个数处于0讨论。1x 。2nxn 1 xn。xn 2。2。当n某数时xn 0?0.9和1之

11、间。 a barctan。1 ab24 .洛必达法则。25 .等价无穷小。26 .两次洛必达法则。27 .两次洛必达法则。128 .令t ,两次洛必达法则。X29 .洛必达法则。30 .先用重要极限，再用洛必达法则。31 .洛必达法则。32 .先用重要极限，再用洛必达法则。-133 .令t ,化简后两次洛必达法则X34 .先用重要极限，再用等价无穷小。35 .先用重要极限，再用等价无穷小。36. lim n37 .化简后用等价无穷小。38 .用三角函数公式去掉分子中的根号。39 .分子分母同乘1 X。40 .等价无穷小。x41 .分子分母同乘sin o2n42 . n；'anr 1。十

12、十 n x 143 .先求 lim11. o3n2k 和2 k2不相等x 1 x 1彳1 44. an 1 -245 .略。46 .令 t 1, tX147 .利用函数极限来解 x n48 .略。49 .分子分母同乘 x x xX fx <x o50 .洛必达法则。51 .分子分母同乘 J4tan x V4 sin x52 .分0 x1 2 , x1 0和x1 2讨论，数学归纳法53.先证bn 1an 1 , an 1an , bn 1bn。-154.令 t _ X55.略56.命题"a"：叫g(x)0 ；命题"b":反证法57. A an A58

13、.数列发散时可为震荡数列59 .分子分母同乘（X JX一示60 .化简分成两个极限求解。X X)( . X X , x)答案（供参考）1. 02. 13.-1-4. 3 5.(1 q)227-16.7. 3 8. lim f (x) lim f (x)32X2 X11. -212.113.416. lim Xn217.略n221. C 22. eT 23. 1lim f (x) 1 lim f (x)1X 0X 018. 019.220. 03 a24. -425.一n9.14.10.215. lim xnan26. A31. 136. 041. 146.略151. 一424, n 2 27. A (4a2 2)ea , n