高数中的重要定理与公式及其证明(一)

1、在这里，没有考不上的研究生。考研高端辅导新导君跨考魔鬼集训营1高数中的重要定理与公式及其证明(一)考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上 种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都 是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。 而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又 费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的 考点，或是蕴含了重要的解题思想方法， 在复习的初期，先掌握这些证明过程是 必要的。1)常

2、用的极限.ln(1 x)lim 1 , limx 0 xx 0lna,limUx 0 x1 cosx a , lim3x 0x2【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想1过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限lim(1 x)，e与sin xlim叫/1的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技x 0 x巧。证明：则蛇T 1：由极限M1 是无关的，因此我们可以吧式中的t换成x,再取倒数即得lim 10 X 0 xxe两边同时取对数即得*) 1lim e一1 1 :在等式lim 必1-)- 1中，令ln(1 x) t ,则x et 1。由

3、于极限x 0 xx 0 xx.a 1 limx 0 xln a :利用对数恒等式得xlim xim0xln ae 1再利用第二个极限可xln a exln ae 1ln a lim ln ax 0 xln a因此有xa 1lim ln a 。x 0 x过程是x 0 ,此时也有t 0 ,因此有lim 4 1。极限的值与取极限的符号 t 0et 1在这里，没有考不上的研究生。帆a:利用对数恒等式得moHx一 am。Hx a1 n ae一 am。Hx amo ix跨考魔鬼集训营o2上式中同时用到了第一个和第二个极限1 cosx lim x 0 x1利用倍角公式得21 cosx2 x2sin 二lim

4、-2x 0x2llim2x02.X sin2x2)导数与微分的四则运算法则(u v) u v,(uv) u v uv ,vvu uv2vd( u v) du dvd(uv) vdu udvu、 vdu udv, d(-)2 (v 0)v v【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概念， 避免到复习后期成为自己的知识漏洞。 具体的证明过程教材上有，这里就不赘述3)链式法则设 y f(u),u(x),如果(x)在x处可导，且f(u)在对应的u(x)处可导,则复合函数y f( (x)在x处可导可导，且有：

5、f( (x) ' f'(u) '(x)或 dy 乎乎dx du dx【点评】：同上。4)反函数求导法则设函数y f(x)在点x的某领域内连续，在点xo处可导且f'(x) 0,并令其反函g (yo)1_ f (xo)数为x g(y),且xo所对应的y的值为yo ,则有:17 dx 1T-一丁 或丁 丁f (g(yo) dy dydx【点评】：同上在这里，没有考不上的研究生。5)常见函数的导数sin xcosx , cosx sin x,ln x11I lOgax 而exIn a的x跨考魔鬼集训营4【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上

6、，掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对 极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。证明：x 1 :导数的定义是f (x) lim x Ifx) f(x),代入该公式得.(x x) x limx 0 x(1 -)xx(11 lim 一x 0-) xx1。最后一步用到了极限lim 9© x 0 xa。注意，这里的推导过程仅适用于0的情形。sinx cosx：利用导数定义 sinxsin(x x) sin x由和差化积公式得limx 0似。sin(x x) sinxx、. x 2cos(x -)sin xcosx。 cosxsin x的证明类In xx:利用导数定义lnx'lim。啦lOgax1,、一，的证明类似 xln a(利用换底公式lO