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1、微积分（二）2008年春第三次习题课3月5日上午1-2节 方明一 作业点评整体来说，作业还是做的相当不错的，我这里只说一下大家做的不是很好的地方，需要表扬的就不说了。需要说的题目是：设在上连续且，证明在上恒等于0. 这个题目的证明应该用反证法，这一点大家都想到了。不少同学用到了定积分的定义，说因为假设存在一点大于0，则由于函数的连续性，有上，则。这样做其实是有问题的，因为积分是一个求和的极限，即使级数的每一项都大于0，其和的极限也不一定大于0.正确至少有两种，一种假设，由函数的连续性知道存在区间在，则有。第二种做法是用到定积分的定义，不过用到的是下和，根据连续性知道存在一个剖分，使得，则，由下

2、和的单调性知道积分大于0，得出矛盾。这个题目在吉米上是有的。关于最后求近似值的那个题目，我是都给分了的，这个题目当然是很简单的，只不过你们都学过编程序了，有兴趣的同学可以那这个练练手。二课堂知识回顾这次课主要复习广义积分，我们先看定义。一种是具有无穷积分限的积分，如。对于前面一种情况，只要存在就说积分是收敛的，对于后面一种，我们要注意极限有两种形式，如果是存在，我们称之为柯西主值意义下收敛，如果存在，我们才说积分收敛，须知主值意义下的收敛并不能得出积分收敛。另一种是具有瑕点的瑕积分，类似的这也分瑕点在积分区间端点和瑕点在积分区间内部两种情况，对应的也有柯西主值的概念。对于广义积分，无论是牛顿-

3、莱布尼兹公式、分部积分还是换元积分法都是成立的，计算的时候直接使用就可以了。一个很重要的事情就是关于可积性的讨论，我们分开来看。对于上的无穷积分，积分的收敛原理的本质就是柯西收敛准则，比较判别法是一个很自然的想法，这个可以得出绝对收敛。对于瑕积分也有类似的讨论。无穷积分判别方法中的定理1就是比较判别法，定理2（DIRICHLET）很重要，它能够很自然的回答这样的积分的收敛性，定理3（ABEL）可以认为是定理2的一个推论。瑕积分的判别方法与无穷积分完全对应的得到，这里不再一一陈述。三典型题目1）无穷积分和瑕积分的计算（根据定义）例1.（根据定义）例2.（换元法）例3.（分部积分）例4. 2）积分收敛性的讨论 判断下列积分的收敛性 （比较判别法）例5. （DIRICHLET）例6. （分成几个部分的情况） 例7.四习题课练习题

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