高难度几何题100道

1、第一题：证明角平分4第二题：证明四点共圆5第三题：证明角的倍数关系6第四题：证明线与圆相切7第五题：证明垂直8第六题：证明线段相等9第七题：证明线段为比例中项10第八题：证明垂直11第九题：证明线段相等12第十题：证明角平分13第十一题：证明垂直14第十二题：证明线段相等15第十三题：证明角相等16第十四题：证明中点17第十五题：证明线段的二次等式18第十六题：证明角平分19第十七题：证明中点20第十八题：证明角相等21第十九题：证明中点22第二十题：证明线段相等23第二十一题：证明垂直24第二十二题：证明角相等25第二十三题：证明四点共圆26第二十四题：证明两圆相切27第二十五题：证明线段相

2、等28第二十六题：证明四条线段相等29第二十七题：证明线段比例等式30第二十八题：证明角的倍数关系31第二十九题：证明三线共点32第三十题：证明平行33第三十一题：证明线段相等34第三十二题：证明四点共圆35第三十三题：证明三角形相似36第三十四题：证明角相等37第三十五题：证明内心38第三十六题：证明角平分39第三十七题：证明垂直40第三十八题：证明面积等式41第三十九题：证明角平分42第四十题：证明角相等43第四十一题：证明中点44第四十二题：证明中点45第四十三题：证明角相等46第四十四题：证明垂直47第四十五题：证明角相等48第四十六题：证明垂直49第四十七题：证明四点共圆50第四十八

3、题：证明四点共圆51第四十九题：证明四点共圆52第五十题：证明角平分53第五十一题：证明线段相等54第五十二题：证明两圆外切55第五十三题：证明垂直56第五十四题：证明垂直57第五十五题：证明垂直58第五十六题：证明垂直59第五十七题：证中点60第五十八题：证明角相等61第五十九题：证明角相等62第六十题：证明四点共圆63第六十一题：证明四点共圆64第六十二题：证明四点共圆65第六十三题：证明角相等66第六十四题：证明角的倍数关系67第六十五题：证明中点68第六十六题：伪旁切圆69第六十七题：证明垂直70第六十八题：证明平行71第六十九题：证明圆心在某线上72第七十题：证明三线共点73第七十一

4、题：证明垂直74第七十二题：证明垂直75第七十三题：证明中点76第七十四题：证明垂直77第七十五题：证明垂直78第七十六题：证明三线共点79第七十七题：证明平行80第七十八题：证明平行81第七十九题：证明三线共点、证明垂直82第八十题：证明三点共线（牛顿定理）83第八十一题：证明角平分84第八十二题：证明角相等85第八十三题：证明三点共线86第八十四题：证明四圆共点87第八十五题：证明角平分88第八十六题：证明线段相等89第八十七题：证明角相等90第八十八题：证明线段相等91第八十九题：证明线段相等92第九十题：证明线段相等93第九十一题：证明中点94第九十二题：证明四点共圆95第九十三题：证

5、明西姆松定理及逆定理96第九十四题：证明线段的和差关系等式97第九十五题：证明角相等98第九十六题：证明托勒密定理及逆定理99第九十七题：证明线段的和差关系等式100第九十八题：证明角相等101第九十九题：证明四点共圆102第一百题：证明两三角形共内心103第一题：证明角平分已知 PE 、 PF 是 O 的切线， A 、 B 是一组对径点，PB 交 O 于另一点 C ，直线 AF 、 BE 交于 D 点。求证： PCD = PCE 。PDBEFOCA第二题：证明四点共圆如图， AB 是 O 的直径， C , D 是圆上异于 A 、 B , 且在 AB 同侧的两点， 分别过 C 、 D 作的 O

6、 切线，它们交于点 E,线段 AD与 BC的交点为 F , 线段 AB与 EF 的交点为 M ,求证： E、C、M 、 D四点共圆。ECFDABOM第三题：证明角的倍数关系如图， PE 、 PF 是以 AB 为直径圆的切线直径。求证： DPE = 2ACD 。E 、 F是切点，PB 交圆于C 点，AF、 BE交于D 点，AB 是PCEFDABO第四题：证明线与圆相切已知： ?ABC 中， A = 90°， AD 切 ABC ， AD 交 BC 延长线于D ， E 是 A 关于 BC 的对称点，AY BE 于 Y ， X 是 AY 中点，延长 BX 交 ABC 于 J ，求证： BD

7、切 ? AJD 外接圆。AJXBOFCDYE第五题：证明垂直已知四边形ABCD 内接于以 BD 为直径的圆，设A' 为 A 关于 BD 为对称点， B' 是 B 关于 AC 对称点， 直线 AC 交 DB'于 Q ，直线 DB 交 CA'于 P 。求证： PQ AC 。QAB'DB P OA'C第六题：证明线段相等已知： BC 、 BD 是 O 切线， C 、 D 是切点， BJA是割线， A 、 J 在圆上， J 离 B 较近，DE AO于E，交 AB于F ， AC交DE于G，求证： DF =FG。BJDCFGAOE第七题：证明线段为比例中项已

8、知 ? ABC 中， AC = BC ， M 是 AB 的中点， FG 经过点 M ，且 ? CFG 与 ?ABC 有相同的内心。求证： AM2 =FM ×GM 。BGCMFA第八题：证明垂直已知： ?ABC为非直角三角形，ADBAC，D在BC上，DFAC于F，DE AB于E，CE平分 交 BF 于 P。求证： APBC 。AEFPBDHC第九题：证明线段相等过圆 O 外一点 P 作圆 O 的两条切线 PC 、 PD ，切点分别为 C 、 D ，过劣弧 CD 上一点 E 作圆 O 的另一条切线分别交 PC、 PD于 A、 B，连结 OE交CD于点 N ，连结 PN 交 AB于点 M

9、。求证： MA=MB。DBEMNPOAC第十题：证明角平分已知 PA 、PB 是 O切线， DE 是过 C 的切线， D 、E 分别在 AP 、PB 上，CF AB 于 F ，连接 DF 、EF 。求证： DFC = EFCPECDABFO第十一题：证明垂直设 PAB 是圆 O 的割线， PC 是切线， CD 是圆 O 的直径， DB 、 OP 相交于 E 。求证： AC CE 。DEOBAPC第十二题：证明线段相等设 C 、D 是以O 为圆心AB 为直径的半圆上两点，过B 做圆O 的切线交CD 于P ，直线PO 交直线CA 、AD 分别于E 、 F。求证 :OE =OF 。FDPCAOBE第

10、十三题：证明角相等如图， ?ABC 中， D 、 E 分别为 AB 、 AC 上一点，且 DE / BC ， BE 、 CD 交于点 F ， ?BDF 的外接圆 O ，与 ? CEF 的外接圆 P 交于点 G ，求证： BAF = CAG 。ADEFPOBGC第十四题：证明中点如图， O 、 P 交于 A、 B 两点， BO 、 PA延长线交于点 C ，CD 、CE 分别切 O 、 P 于 D 、E ，连接 DE交 AB于F ，求证： F 为 DE中点。CEAFPODB第十五题：证明线段的二次等式如图，半径不相等的两圆 O 、 P 交于 A 、 B 两点，过 A 的直线 CD 分别交 O 、

11、P 于 C 、 D ，CB延长线交 P于F ，DB延长线交O于 E，过 A作CD垂线交EF中垂线于G，求证：AG2 = EG2 + AC ?ADDACOPBEFG第十六题：证明角平分如图， ?ABC内接于 O， D 为 BC中点， AD交 O于 E，过 E作 EF / BC ，交 O于 F ，过 C 作CG AC ，交 AE 于 G 。求证： AGC = FGC 。AODBCGEF第十七题：证明中点如图， ?ABC内切圆I切BC于D，过I作IE/AD交BC于E，过E作I切线，分别交AB AC、于F 、G。求证： E为 FG中点。FBDEIAC G第十八题：证明角相等如图，如图， P 、 Q 交

12、于 A 、 B 两点，它们的外公切线CD 分别切 P 、 Q 于 C 、 D ， E 为 BA 延长线上一点， EC 交 P 于 F ，ED 交 Q 于 G ，AH 平分 FAG 交 FG 于 H 。求证：FCH = GDH 。ECDFAPHBQG第十九题：证明中点如图，O为 ?ABC外接圆，I、E分别为 ?ABCBAC的外角平分线交BC延长的内心和一个旁心， 线于 D，IF DE于F ，交 O于G。求证： G为IF 中点。AIOBCDGFE第二十题：证明线段相等如图，在锐角 ?ABC中， B > C ， F 是 BC 的中点， BE 、 CD 是高。 G 、 H 分别是 FD 、 FE

13、 的中点，若过 A 且平行于 BC 的直线交 GH 于 I 。求证： IA = IFAIEDHGBFC第二十一题：证明垂直如图， D是?ABC边 BC上一点， DAC = ABD， O过点 B、 D 分别交 AB、 AD于 E、 F ，直线 BF 交 DE 于G， M 是 AG中点。求证： CM AO。AEMFGOBDC第二十二题：证明角相等如图，如图， CD为 O直径， PC、PE分别切 O于C、 E，割线 PBA交 O于 A、B， AC、BD交于点 F ， DE 交 AB 于 G ，求证： GFE = ADE 。PEBGAFDCO第二十三题：证明四点共圆如图， O为?ABC外心， D、 E

14、分别为 AB、 AC上一点， OF DE于F ，L、M 、N分别为 DE、BE、CD中点。求证： F 、 L 、M 、 N 四点共圆。ADFLEOMNBC第二十四题：证明两圆相切如图， ?ABC内切圆 I 切BC于D， AEBC于 E，F 为 AE中点， DF 交 I 于G，作 ?BCG的外接圆 O ，求证： O 、 I 相切于点 G 。AGFIOBDEC第二十五题：证明线段相等如图， ?ABC内接于 O，内切圆 I 分别切 AB 、AC 于 J 、K ，AO交 O 于 D ，连接 DI ，延长 CA 到 F ，使得 AF = BJ ，过 F 作 DI 的垂线交 BA延长线于 G ，求证： A

15、G = CK 。FGAJKIOBCD第二十六题：证明四条线段相等如图， O为 ?ABC外接圆， AD平分 BAC交 O于 D，OE/ BD 交 AB于 E，OF /CD 交 AC于 F ， H为?ABC垂心， HG/AD交BC于G，求证： BE=GE=GF =CF 。AFEOHBGCD第二十七题：证明线段比例等式如图，四边形ABCD 中， AB = AC ， ? ABD 外接圆 O1 交 AC 于 F ， ? ACD 外接圆 O2 交 AB 于 E ，BF 、CE交于点 G，求证： BG = BD 。CGCDAFEO1O2GBCD第二十八题：证明角的倍数关系如图，O为 ?ABC外心，D为 ?A

16、BCDABDCBDACDCB，E为AD中内一点，使得 = ， = 点，过E 作 EF AD 交 CB 延长线于F ，连接 FA、FD、 FO，求证： AFD = 2OFC 。AEDOFBC第二十九题：证明三线共点如图， O 的内接四边形 ABCD ， AB 、 DC 交于点 E ， AD 、 BC 交于点 F ， ? EFC 的外接圆 P 交O于G， AG交 EF 于H ， HC交 O于I ，求证 AI 、GC 、FE三线共点。AOIDBNCGEHPF第三十题：证明平行如图， ? ABC 中， D 为 BC 中点， O 为外心， H 为垂心， E 、F 分别为 AB 、AC 上一点，使得 AE

17、 = AF ，且 D 、 H 、 E 三点共线， P 为 ?AEF 外心，求证： OP / HD 。APOFHEBDC第三十一题：证明线段相等如图，四边形ABCD内接于O，E为四边形内一点，使得EABECOEBAEDC= ， = ，过点E 的直线 FG 平分 BEC ，交 O 于 F 、 G 两点，求证： EF=EG。AFDOECGB第三十二题：证明四点共圆如图，在 ? ABC 中， AD 、 BE 、 CF 是三条高线，点P 为 ? ABC 内部一点， P 关于 BC 、 CA 、 AB 的对称点分别为L 、 M 、 N ，线段 AP 的中点为 G ，求证： D 、 E 、 G 、 F 四点

18、共圆的充要条件为A 、M 、L、 N 四点共圆。AGMFNPECBDL第三十三题：证明三角形相似如图， O1 、 O2 半径分别为r1 、 r2 ， O1 、 O2 交于 A 、 B 两点， P 为平面上一点，PC切 O1于C， PD切O2PCr1，求证： ? PCA ? PBD 。于D，且=PDr 2PCAO1DO2B第三十四题：证明角相等如图，平行四边形ABCD 中， E 为 BD 上一点， 使得 ECB = ACD ， AC 交 ? ABD 外接圆 O 于 F ，连接 EF ，求证： BFE = AFD 。ADEOBCF第三十五题：证明内心如图， I 是 ?ABC内心， E为 BC中点，

19、 F 为弧 BC中点， EF 中点为 N ，BI 中点为 M ，MN 交 BC于 D ，连接 AD ，求证： M 为 ? ABD 内心。AOIMEBD C NF第三十六题：证明角平分如图， O 为 ?ABC 的外接圆，AF 平分 BAC 交 O 于 F ， H 为 ?ABC 的垂心， CE AB 于 E ，BD AC 于 D， ?ADE 的外接圆 P交 O于G。 GF 交 BC于 I ，求证： IH 平分 BHC 。AEPGDHOBICF第三十七题：证明垂直在 ? ABC 中， O 为外心，三条高 AD 、 BE 、 CF 交于点 H ，直线 ED 和 AB 交于点 M ，直线 FD 和 AC

20、 交于点 N ，求证：（ 1） OB DF ；（ 2） OC DE ；（ 3） OH MN 。NMAFHEOCBD第三十八题：证明面积等式如图， ? ABC 和 ? ADE 均为等腰直角三角形，BAC = AED = 90°，连接 BD 、CE ，取 CE 的中点 F ，连接 DF 、 BF ，求证： S? BDF = 1 (S?ABC + S?ADE + 3S? ACE )。2CFEADB第三十九题：证明角平分如图， ? ABC 中，旁切圆P 分别切 CB 、 CA 延长线于 D 、 E ，旁切圆 Q 分别切 BC 、 BA 延长线于F 、G，DE、 FG分别交 PQ于M 、 N，

21、BN、CM 交于点 L，求证： AL平分 BAC。EGPMANQLDBCF第四十题：证明角相等如图，平行四边形 ABCD 中， E 、 F 分别为 AD 、 CD 上一点， AF 、 CE 交于点 G ， ? AEG 的外接圆 O 与 ?CFG 的外接圆 P 交于点 H ，连接 BG 、 DH ，求证： GBA = HDA 。AEDGOFPHBC第四十一题：证明中点如图， PA、 PB 分别切 O 于 A 、 B ， PCD为 O 一条割线，过 C 作 CF / PB ，交 AB 于 E ，交 BD 于 F ，求证： E为 CF 中点。APOCEDFB第四十二题：证明中点如图， H 为?ABC

22、垂心， D为 BC中点，过 H 作 EF DH 分别交 AB、AC于 E、F ，求证： H 为 EF 中点。AEHBCDF第四十三题：证明角相等如图，锐角 ? ABC 中， AB < AC ，且 D 、 E 在边 BC 上，满足 BD = CE ，若在 ? ABC 内存在点 P 满足PD / AE ，且 PAB = EAC ，求证： PBA = PCA。APBDEC第四十四题：证明垂直如图，AB 为半圆O 的直径，OC AB ， C 在圆上，P 是 BA 延长线上一点，PD 切O于D，PE 平分 DPB ，分别交AC、BC于E 、 F，求证：EOF= 90°。CDFEPBAO第

23、四十五题：证明角相等如图， PA 为 O 的切线， PBC 为 O 的割线， AD OP 于点 D ， ? ADC 的外接圆与 BC 的另一个交点为 E ，求证： BAE = ACB 。AIPDOBEC第四十六题：证明垂直如图，平行四边形ABCD中， CE AB于E，CF AD于F ， EF 交BD于G，求证： GC AC。GAFDEBC第四十七题：证明四点共圆如图，? ABC 内接于 O，AD BC 于 D ，AD 交 CO 于 E ，F 为 AE 中点，FO 交 BC 于 H ，CG AO于G，求证： B、 H 、O、G四点共圆。AFGOEBHDC第四十八题：证明四点共圆如图， I 是 ?

24、ABC内心， A关于 BI 的对称点是 K ， E为 BC中点， F 为 BC中点 EF 中点为 N ， BI 中点为 M ，MN 交BC于D，求证： A、K、D、M 四点共圆。OMEAIBDCKNF第四十九题：证明四点共圆如图， H 为 ?ABC的垂心， D 为CH 中点， BE AD于 E，证明： B 、C、 E、 H 四点共圆。AHEDBC第五十题：证明角平分已知 ? ABC ，内心为 I ，圆 O1 与边 AB 、BC 相切，圆 O2 过 A 、C ，且 O1 、O2 外切与点 M 。求证： AMC的平分线过点I 。ABMIO1O2C第五十一题：证明线段相等如图， O 为 ?ABC 外

25、接圆， D 为弧 BAC 中点， E 为弧 BC 中点， CF AB 于 F ，连接 EF ，过 F 作FG EF 交 DA 延长线于 G ，求证： CG = CD 。DAFOGBCE第五十二题：证明两圆外切如图，如图，A、 B 、C为 O上三点，过 C 作 DC AC交 AB延长线于 D，过 D 作 DE AO交O 于F，交AC 于E ，过B 、E 、 F三点的圆为P，过C、D 、 F三点的圆为Q ，求证：P 与 Q 外切于点F。DQBFPACEO第五十三题：证明垂直如图，如图，?ABC中， D、 E、 F 分别为 BC、CA、 AB中点，过 E作 EM AC 交 AD于 M ，过F 作 F

26、N AB交 AD于 N ， EM 、FN 交于点 O，CM 、BN交于点 K，求证： OK AK 。AFEMONKBDC第五十四题：证明垂直如图， ?ABC 中， D 为 BC 中点， O过 A 、 C 两点，且切 DA 于 A ，延长 BA 交 O于 E ， CE 延长线交 DA 于 F ，求证： FO BC 。FEAOBDC第五十五题：证明垂直如图， AB为 O直径，CB切 O于 B，D 为弧 AB上任一点， CD交 O于 F ，AD 、OC交于点 E，连接 EB 、 FB ，证明： EB FB 。ECDFABO第五十六题：证明垂直如图，正方形 ABCD与正方莆 EFGH ，EF 交 AB

27、 于 J ，FG 交 BC 于 K ，GH 交 CD 于 L ，HE 交 DA于 I ，求证： IK JL 。HAIDLEGJBKCF第五十七题：证中点如图， PA 、 PB 分别切 O 于 A 、 B 两点， C 为劣弧 AB 上一点， OC 交 AB 于 D ，过 C 点的切线分别交PA、PB于 E、F ， PD交EF 于G，求证： G 为EF中点。PEGCFABDO第五十八题：证明角相等如图，P 、 Q 交于 A 、 B 两点，它们的外公切线CD 分别切 P 、 Q于C、D，E为BA延长线上一点，EC交 P于F ，ED交 Q于，分别交 Q、 P于M 、N，求证： = 。G FGFCMGD

28、NEDCAPFQMNGB第五十九题：证明角相等如图，等腰 ?ABC 中， AB = AC ，E 为 AC 中点， D 为 BC 上一点，使得 BD = 2CD ，DF BE 于 F ，连结 CF ，求证： EFC = ABC 。AEFBDC第六十题：证明四点共圆如图， ?ABC中， D、 E分别为 AB、 AC 上一点，且 DE/ BC， BE、 CD交于点 F ，O、 P、Q、R 分别为 ?ADF 、 ?AEF 、 ?BDF 、 ?CEF 外心，求证：O 、 P 、 Q 、 R 四点共圆。APODEFBCQR第六十一题：证明四点共圆如图， ?ABC旁切圆 I 分别切 BC、 AB、 AC于

29、D、E、 F ，ED、FD分别交 AI 于M 、N，G为 BC中点， H 为 A在 BC上的垂足，求证： G 、 N 、 H 、 M 四点共圆。AMDBGCHENFI第六十二题：证明四点共圆如图，四边形 ABCD 内接于 O， AB 、 DC 交于点 E ， AD 、BC 交于点 F ，点 G 为 EF 中点， AG 交O于 K，求证： C、K、 F 、E四点共圆。AODBCKEGF第六十三题：证明角相等如图， AB 为半 O 直径， CA AB 于 A ， DB AB 于 B ， EC 、 ED 分别为半O 的两条切线，OF CD 于 F ，连接 EF ，求证： EFD = FOB 。ECFDAOB第六十四题：证明角的倍数关系如图，AB 、AC 分别切O 于A、B，D为 AB 延长线上一点，? ADC的外接圆P 交O 于E ，BFCD 于F，求证：DEF= 2