人教A版高中数学必修5同步检测第三章章末复习课

1、人教版高中数学必修精品教学资料第三章 章末复习课整合整合网络构建网络构建警示警示易错提醒易错提醒1不等式的基本性质不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础,是不等式的证明是不等式的证明和解不等式和解不等式的主要依据的主要依据因此因此,要熟练掌握和运用不等式的八条性质要熟练掌握和运用不等式的八条性质2一元二次不等式的求解方法一元二次不等式的求解方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系系,共同确定出解集共同确定出解集(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或

2、配方求代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解解当当 mn时时,若若(xm)(xn)0,则可则可得得xn或或 xm； 若若(xm)(xn)0,则可得则可得 mxn.有口诀如下：大于取两边有口诀如下：大于取两边,小于取中间小于取中间3二元一次不等式二元一次不等式(组组)表示的平面表示的平面区域区域(1)二元一次不等式二元一次不等式(组组)的几何意义：二元一次不等式的几何意义：二元一次不等式(组组)表示的表示的平面区域平面区域(2)二元一次不等式表示的平面区域的判定：对于任意的二元一二元一次不等式表示的平面区域的判定：对于任意的二元一次不等式次不等式 axbyc0(或或0),无论无论

3、 b 为正值还是负值为正值还是负值,我们都可以我们都可以把把 y 项的系数变形为正数项的系数变形为正数,当当 b0 时时,axbyc0 表示直线表示直线 axbyc0 上方的区域上方的区域； axbyc0 表示直线表示直线 axbyc0下方的区域下方的区域4求目标函数最优解的两种方法求目标函数最优解的两种方法(1)平移直线法平移法是一种最基本的方法平移直线法平移法是一种最基本的方法,其基本原理是两平其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等；行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等；(2)代入检验法通过平移法可以发现代入检验法通过平移法可以发现,取得最优解对应的点往往

4、取得最优解对应的点往往是可行域的顶点是可行域的顶点,其实这具有必然性于是在选择题中关于线性规划其实这具有必然性于是在选择题中关于线性规划的最值问题的最值问题,可采用求解方程组代入检验的方法求解可采用求解方程组代入检验的方法求解5运用基本不等式求最值运用基本不等式求最值, ,把握三个条件把握三个条件(易错点易错点)(1)“一正一正”各项为正数；各项为正数；(2)“二定二定”“和和”或或“积积”为定值；为定值；(3)“三相等三相等”等号一定能取到等号一定能取到专题一专题一不等关系与不等式的基本性质不等关系与不等式的基本性质1同向不等式可以相加同向不等式可以相加,异向不等式可以相减异向不等式可以相减

5、；但异向不等式不但异向不等式不可以相加可以相加,同向不等式不可以相减同向不等式不可以相减(1)若若 ab,cd,则则 acbd；(2)若若 ab,cd,则则 acba.2左右同正不等式左右同正不等式：同向的不等式可以相乘同向的不等式可以相乘,但不能相除但不能相除；异向异向不等式可以相除不等式可以相除,但不能相乘但不能相乘(1)若若 ab0,cd0,则则 acbd；(2)若若 ab0,0cd,则则acbd.3左右同正不等式左右同正不等式,两边可以同时乘方或开方两边可以同时乘方或开方：若若 ab0,则则 anbn或或nanb.4若若 ab0,ab,则则1a1b；若；若 ab0,ab,则则1a1b.

6、例例 1已知已知 a0,b0,且且 ab,比较比较a2bb2a与与 ab 的大小的大小解：解：因为因为a2bb2a (ab)a2bbb2aaa2b2bb2a2a(a2b2)1b1a (a2b2)abab（ab）2（ab）ab, ,因为因为 a0, ,b0, ,且且 ab, ,所以所以(ab)20, ,ab0, ,ab0, ,所以所以a2bb2a (ab)0, ,即即a2bb2aab.归纳升华归纳升华不等式比较大小的常用方法不等式比较大小的常用方法(1)作差比较法：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符作差比较法：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果号得出结果(2)作商比较法：常

7、用于分数指数幂的代数式作商比较法：常用于分数指数幂的代数式(3)乘方转化的方法：常用于根式比较大小乘方转化的方法：常用于根式比较大小(4)分子分母有理化分子分母有理化(5)利用中间量利用中间量变式训练变式训练(1)已知已知 0 x2,求求函数函数 yx(83x)的最大值；的最大值；(2)设函数设函数 f(x)x2x1,x0,),求函数求函数 f(x)的最小值的最小值解：解：(1)因为因为 0 x2, ,所以所以 03x6, ,83x0, ,所以所以 yx(83x)133x(83x)133x83x22163, ,当且仅当当且仅当 3x83x, ,即即 x43时时, ,取等号取等号, ,所以当所以

8、当 x43时时, ,yx(83x)有最大值为有最大值为163.(2)f(x)x2x1(x1)2x11, ,因为因为 x0, ,), ,所以所以 x10, ,2x10, ,所以所以 x12x12 2.当且仅当当且仅当 x12x1, ,即即 x 21 时时, ,f(x)取最小值取最小值此时此时 f(x)min2 21.专题二专题二一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法一元二次不等式的求解流程如下：一元二次不等式的求解流程如下：一化一化化二次项系数为正数化二次项系数为正数二判二判判断对应方程的根判断对应方程的根三求三求求对应方程的根求对应方程的根四画四画画出对应函数的图象画出对应函数的图象五解集五

9、解集根据图象写出不等式的解集根据图象写出不等式的解集例例 2(1)解不等式：解不等式：1x22x12；(2)解不等式解不等式a（x1）x21(a1)解：解：(1)原不等式等价于原不等式等价于x22x11，x22x12，即即x22x0，x22x30.由由得得 x(x2)0, ,所以所以 x2 或或 x0；由由得得(x3)(x1)0, ,所以所以3x1.将将的解集在数轴上表示出来的解集在数轴上表示出来, ,如图所示如图所示求其交集得原不等式的解集为求其交集得原不等式的解集为x|3x2 或或 0 x1(2)原不等式可化为原不等式可化为a（x1）x210, ,即即(a1)xa2a1 (x2)0(*),

10、 ,当当a1时时, , (*)式即为式即为xa2a1 (x2)0, ,而而a2a12aa10, ,所以所以a2a12, ,此时此时 x2 或或 xa2a1.当当 a1 时时, ,(*)式即为式即为xa2a1 (x2)0, ,而而 2a2a1aa1, ,若若 0a1, ,则则a2a12, ,此时此时 2xa2a1；若若 a0, ,则则(x2)20, ,此时无解；此时无解；若若 a0, ,则则a2a12, ,此时此时a2a1x2.综上所述综上所述, ,当当 a1 时时, ,不等式的解集为不等式的解集为 x|xa2a1或或 x2；当当 0a1 时时, ,不等式的解集为不等式的解集为 x|2xa2a1

11、 ；当当 a0 时时, ,不等式的解集为不等式的解集为 ；当当 a0 时时, ,不等式的解集为不等式的解集为 x|a2a1x2.归纳升华归纳升华含参数的一元二次不等式的分类讨论含参数的一元二次不等式的分类讨论(1)对二次项系数含有参数的一元二次不等式对二次项系数含有参数的一元二次不等式, ,要注意对二次项要注意对二次项系数是否为零进行讨论系数是否为零进行讨论, ,特别当二次项系数为零时需转化为特别当二次项系数为零时需转化为一元一次一元一次不等式问题来求解不等式问题来求解(2)对含参数的一元二次不等式对含参数的一元二次不等式, ,在其解的情况不明确的情况下在其解的情况不明确的情况下, ,需要对其

12、判别式分需要对其判别式分0, ,0, ,0 三种情况并加以讨论三种情况并加以讨论(3)若含参数的一元二次不等式可以转化成用其若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根根x1, ,x2表示的形表示的形如如 a(xx1)(xx2)的形式时的形式时, ,往往需要对其根分往往需要对其根分 x1x2、x1x2, ,x1x2三种情况进行讨论三种情况进行讨论, ,或用根与系数的关系帮助求解或用根与系数的关系帮助求解变式训练变式训练定义在定义在(1,1)上的奇函数上的奇函数 f(x)在整个定义域上是减在整个定义域上是减函数函数,且且 f(1a)f(1a2)0,求实数求实数 a 的取值范围的取值范围解：解：因为因

13、为 f(x)的定义域为的定义域为(1, ,1), ,所以所以11a1，11a21，所以所以0a2， 2a 2且且 a0，所以所以 0a 2, ,原不等式变形为原不等式变形为 f(1a)f(1a2)由于由于 f(x)为奇函数为奇函数, ,有有f(1a2)f(a21), ,所以所以 f(1a)f(a21)又又 f(x)在在(1, ,1)上是减函数上是减函数, ,所以所以 1aa21, ,解得解得2a1.由由可得可得 0a1, ,所以所以 a 的取值范围是的取值范围是(0, ,1)专题三专题三简单的线性规划问题简单的线性规划问题线性规划问题在实际中的类型主要有：线性规划问题在实际中的类型主要有：(1

14、)给定一定数量的人力给定一定数量的人力、物力资源物力资源,求如何运用这些资求如何运用这些资源源,使完成使完成任务量最大任务量最大,收到的效益最高；收到的效益最高；(2)给定一项任务给定一项任务,问怎样统筹安排问怎样统筹安排,使得完成这项任务耗费的人使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少力、物力资源最少.例例 3某厂用甲某厂用甲、 乙两种原料生乙两种原料生产产 a,b 两种产品两种产品,制制造造 1 t a,1 t b产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：表：原料原料每种产品所需原料每种产品所需原料/t现现有原料

15、数有原料数/tab甲甲2114乙乙1318利润利润/(万元万元/t)53_(1)在现有原料条件下在现有原料条件下,生生产产a,b两种产品各多少时两种产品各多少时,才能使利润最才能使利润最大？大？(2)每每吨吨 b 产品的利润在什么范围变化时产品的利润在什么范围变化时,原最优解不变？当超出原最优解不变？当超出这个范围时这个范围时,最优解有何变化？最优解有何变化？解：解：(1)生产生产 a, ,b 两种产品分别为两种产品分别为 x t, ,y t, ,则利润则利润 z5x3y, ,x, ,y满足满足2xy14.x3y18，x0，y0，作出可行域如图所示：作出可行域如图所示：当直线当直线 5x3yz

16、 过点过点 b245，225 时时, ,z 取最大值取最大值 3715, ,即生产即生产 a产品产品245t, ,b 产品产品225t 时时, ,可得最大利润可得最大利润(2)设每吨设每吨 b 产品利润为产品利润为 m 万元万元, ,则目标函数是则目标函数是 z5xmy, ,直线直线斜率斜率 k5m, ,又又 kab2, ,kcb13, ,要使最优解仍为要使最优解仍为 b 点点, ,则则25m13, ,解得解得52m15.归纳升华归纳升华解答线性规划应用题的步骤解答线性规划应用题的步骤(1)列：设出未知数列：设出未知数, ,列出约束条件列出约束条件, ,确定目标函数确定目标函数(2)画：画出线

17、性约束条件所画：画出线性约束条件所表示的可行域表示的可行域(3)移移：在线性目标函数所表示的一组平行线中在线性目标函数所表示的一组平行线中, ,利用平移的方法利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线(4)求：通过解方程组求出最优解求：通过解方程组求出最优解(5)答：作出答案答：作出答案变式训练变式训练已知已知 x0,y0,x2y2xy8,则则 x2y 的最小值是的最小值是()a3b4c.92d.112解析解析：法一法一：依题意得依题意得, ,x11, ,2y11, ,易知易知(x1)(2y1)9, ,则则(x1)(2y1)2 （x1

18、） （2y1）2 96, ,当且仅当当且仅当 x12y13, ,即即x2, ,y1时时, ,等号成立等号成立, ,因此因此有有 x2y4, ,所所以以x2y的最小值为的最小值为 4.法二法二：由题意得：由题意得, ,x82y2y1（2y1）92y1192y1, ,所以所以 x2y192y12y192y12y11, ,292y1（2y1）24, ,当且仅当当且仅当 2y13, ,即即 y1 时时, ,等号成立等号成立答案：答案：b专题四专题四成立问题成立问题(恒成立、恰成立等恒成立、恰成立等)例例 4已知函数已知函数 f(x)mx2mx6m,若若对于对于 m1,3,f(x)0恒成立恒成立,求实数

19、求实数 x 的取值范围的取值范围解：解：因为因为 mx2mx6m0, ,所以所以 m(x2x1)60, ,对于对于 m1, ,3, ,f(x)0 恒成立恒成立1（x2x1）60，3（x2x1）60，即为即为1 212x1 212，1 52x1 52，计算得出：计算得出：1 52x1 52.所以实数所以实数 x 的取值范围：的取值范围：1 52x1 52.归纳升华归纳升华不等式恒成立求参数范围问题常见解法不等式恒成立求参数范围问题常见解法(1)变更主元法：变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元根据实际情况的需要确定合适的主元, ,一般将知道取一般将知道取值范围的变值范围的变量看作主元量看作

20、主元(2)分离参数法：分离参数法：若若 f(a)g(x)恒成立恒成立, ,则则 f(a)g(x)恒成立恒成立, ,则则 f(a)g(x)max.(3)数形结合法：数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化变式训练变式训练已知函已知函数数 y2x2ax10 x24x6的最小值的最小值为为 1,求实求实数数 a 的的取值集合取值集合解：解：由由 y1 即即2x2ax10 x24x61x2(a4)x40 恒成立恒成立, ,所以所以(a4)2160, ,解得解得8a0(必要条件必要条件)再由再由 y1 有解有解, ,即即2x2ax10 x24x61 有解有解, ,即即x2(a4)x