多元函数的极值及其求法

1、12-2 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法0 多元函数的极值和最值多元函数的极值和最值引例引例1：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子元，外地牌子的每瓶卖的每瓶卖 元，则每天可卖出元，则每天可卖出 瓶瓶本地牌子的果汁，本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？可取得最大收益？xyyx4570 yx7680 显然

2、每天的收益为显然每天的收益为 ),(yxf)7680)(2 . 1()4570)(1(yxyyxx 求最大收益即为求二元函数的最大值求最大收益即为求二元函数的最大值.0、问题的提出引例引例2： 小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机种急需物品：计算机u盘和鼠标，设他购买盘和鼠标，设他购买 个个u盘，盘， 个鼠标达到最佳效果，效果函数个鼠标达到最佳效果，效果函数为为 设每个设每个u盘盘8元，每元，每个鼠标个鼠标10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到元以达到最佳效果最佳效果xyyxyxulnln),( 问题的实质：求问题的实质：求 在条在条

3、件件 下的极值点下的极值点yxyxulnln),( 200108 yx 无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件无其他条件. . 条件极值条件极值：对自变量附加条件的极值问题称为条件对自变量附加条件的极值问题称为条件极值极值. . 如引例如引例1 1。 如引例如引例2 2。 从上面的两个引例中可以看到，与一元函数极值不从上面的两个引例中可以看到，与一元函数极值不同，多元函数的极值分为两类：同，多元函数的极值分为两类： 思考思考：为什么一元函数的极值没有分类！：为什么一元函数的极值没有分类！ 两个引例中都是求多元函数的最值！为了求最值，两个

4、引例中都是求多元函数的最值！为了求最值，先讨论与最值有密切联系的极值问题！先讨论与最值有密切联系的极值问题！的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 一、一、 多元函数极值的定义多元函数极值的定义注意：这里要求严格小于。多元函数极值的定义多元函数极值的定义极大值、极小值统称为极大值、极小值统称为极值极值. .使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点. .(1)(3)例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例处有极小值在函数)0 , 0(22yxz例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 例例4.4.的极值.xyxyxyx

5、f933),(2233定理定理1 (必要条件必要条件)函数函数偏导数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值 ,取得极值取得极值且在该点取得极值且在该点取得极值 , 则有则有),(),(00yxyxfz在点存在存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy 二、多元函数取得极值的条件二、多元函数取得极值的条件该定理说明偏导数存在并且不等于该定理说明偏导数存在并且不等于0的点一定不是极值！的点一定不是极值！但但不不是是极极值值点点.注：注：1 1）几何意义）几何意义: :极值点处的

6、切平面平行于极值点处的切平面平行于xoy平面；平面； 驻点驻点偏导存在的极值点偏导存在的极值点如何判定驻点是否为极值点？（稍后回答）如何判定驻点是否为极值点？（稍后回答）注意：注意： 2 2）使一阶偏导数同时为零的点，称为函数的驻点）使一阶偏导数同时为零的点，称为函数的驻点. .与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，偏导数不存在的点也可能是极值点。偏导数不存在的点也可能是极值点。如例如例2，显然函数，显然函数22yxz . )0 , 0(处处取取得得极极小小值值在在处处偏偏导导数数但但函函数数在在 )0 , 0(不存在。不存在。结论：极值点必在驻点

7、和偏导数不存在的点中！结论：极值点必在驻点和偏导数不存在的点中！把驻点和偏导数不存在的点称为把驻点和偏导数不存在的点称为可疑极值点可疑极值点.时时, 具有极值具有极值定理定理2 (充分条件充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 令令则: 1) 当a0 时取极小值时取极小值.2) 当当3) 当当不证明，自己看第二节(p108) . 时时, 没有极值没有极值.时时, 不能确定不能确定 , 需另行讨论需另行讨论.若函数若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfcyxfbyx

8、fayyyxxx02 bac02 bac02 bac且且例例4.4.求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组abc),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值.求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12a,0b,6c,06122 bac5)0, 1 ( f,0axyxyxyxf933),(2233在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.,66),( xyxfxx,0),(y

9、xfyx66),(yyxfyy,12a,0b,6c,06122 bac)0,3( f6,0,12cba31)2,3( f,0)6(122 bac,0a在点(1,2) 处不是极值;6,0,12cba)2, 1 (f,0)6(122 bacabc第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值 a、b、c.第三步第三步 定出定出2bac 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.由上例可知由上例可知: :例例5.讨论函数及是否取得极值.解

10、解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此,022时当 yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值.正正负负033yxz222)(yxz在点(0,0)并且在 (0,0) 都有 02 bac33yxz可能为0)()0 , 0()0 , 0(222yxzoxyz3、最值应用问题、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点我们可以把最值问题分为两类：偏导不存在的点（1 1）连续函数在）连续函数在开开区域上的最值；区域上的最值；（2 2）连续函数在）连续函数在闭闭区域上的最值：区域

11、上的最值：方法方法：将函数在将函数在d d内的所有驻点和偏导不存在的点处的内的所有驻点和偏导不存在的点处的方法：方法：将函数在将函数在d d内的所有驻点处的函数值及内的所有驻点处的函数值及在在d d的边界的边界函数值相互比较，函数值相互比较，其中最大者即为最大值，最其中最大者即为最大值，最小者即为最小值小者即为最小值. .上的上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值最大值，最小者即为最小值. .特别特别, ,当区域内部最值存在, 且只有一个只有一个极值点p 时, )(pf为极小值)(pf为最小值( (大大) )( (大大) ) 更

12、特别的，更特别的，当可微函数在区域内部有最值存在当可微函数在区域内部有最值存在, ,且且只只有唯一的驻点时有唯一的驻点时，则该点必是该最值点！，则该点必是该最值点！ 例例6. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成解解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x积最大. )0,120:(2 xd为问怎样折法才能使断面面cos24xcos22x0)sin(cos222x令xasin24sin4x0cossin2xa解得:由题意知,最大值在定义域d 内达到,而在域d 内只有一个驻点, 故此点即为所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxa)0,120:(2 xd0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x例例7 7.解解: 设水箱长，宽，高分别为 x , y ，z ,则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?)2zxyzxyayxa(