高等数学上31中值定理

1、上页下页结束返回首页3.1 中值定理中值定理0 洛尔定理0 拉格朗日中值定理0 柯西中值定理第三章第三章 微分中值定理微分中值定理上页下页结束返回首页 引理引理 设函数设函数 f (x)在在a , b上有定义，并且在点上有定义，并且在点x0 (a , b)取到最值，取到最值， f (x)在点在点x0 可导，则可导，则 f (x0 )=0。证证: 设 f(x0)值最大, )()(, )(0000 xfxxfxxx则)(0 xf xxfxxfx)()(lim000)0(x)(0 xf)0(x)(0 xf000)(0 xfxyo0 x证毕费马费马xyo0 x上页下页结束返回首页一、罗尔一、罗尔(ro

2、lle)定理定理 p128几何解释几何解释: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧cabcab罗尔罗尔(rolle)定理定理 如果函数如果函数 f(x)满足：满足： （1）在）在闭闭区间区间a, b上上连续连续；（2）在）在开开区间区间(a, b)内内可导可导；（3）在区间端点的函数值相等，即）在区间端点的函数值相等，即 f(a)= f(b),那么在那么在(a, b) 内内至少至少存在存在一点一点 ( a m , 则则 m 和和 m 中至少有一个与端点值不等中至少有一个与端点值不等,不妨设不妨设 , )(afm

3、 则则至少存在一点至少存在一点, ),(ba使使,)(mf. 0)(f则由则由费马引理费马引理得得 证毕上页下页结束返回首页注注: :定理条件条件不全具备定理条件条件不全具备, 结论不一定成立结论不一定成立. 例如例如,1,010,)(xxxxfx1yo 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yo1x1yo上页下页结束返回首页32:4320(0 1)axbxcxabc 求求证证在在，内内至至少少有有例例1 1一一个个根根。cbacxbxaxxf 234)(23分析：分析：),()0(cbaf cbacbacbaf 23234)1(cbacxbxaxxf 234)(23设设证证明明：x

4、cbacxbxaxxf)()(234 , 0)(),10( frolle使，定理知，至少由. 0234:23 cbacba 即零点定理零点定理用不上用不上!? !证毕, 0)1()0(,)1 , 0( ,1 , 0)( ffxf内可导上连续在上页下页结束返回首页例例2. 证明方程证明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf有且仅有一个小于有且仅有一个小于1 的的正实根正实根 .证证: 1) 存在性存在性 .则则)(xf在在 0 , 1 连续连续 ,且且由由零点定理零点定理知存在知存在, ) 1 ,0(0 x使使即方程有小于即方程有小于 1 的正

5、根的正根 x0 .设设上页下页结束返回首页例例2. 证明方程证明方程0155 xx, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且仅有一个小于有且仅有一个小于1 的的正实根正实根 . 2) 唯一性唯一性 . 假设另有假设另有在以在以)(xf10, xx为端点的区间满足为端点的区间满足罗尔定理罗尔定理条件条件 ,之之间间在在10 xx ,至少存在一点至少存在一点,.)(0 f使使但但矛盾矛盾,故假设不真故假设不真!证毕证证: 1) 存在性存在性 ., 0)(0 xf存在存在 使使, ) 1 ,0(0 x, 0)(1 xf使上页下页结束返回首页二、拉格朗日二、拉格朗日(

6、lagrange)中值定理中值定理 p129:注注意意( )( ).(f bf afba 结结论论亦亦可可写写成成xoy)(xfy aabb2 d1 c思考思考:表示直线表示直线ab的斜率的斜率.( )( )?f bf aba 表表示示什什么么拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数如果函数 f(x)满足：满足： （1）在）在闭闭区间区间a, b上上连续连续；（2）在）在开开区间区间(a, b)内内可导可导；那么那么 在在(a, b) 内内至少至少存在存在一点一点 ( a 2 时，方程时，方程 xn+ yn = zn 又有又有没有整数解呢？没有整数解呢？p这是不可能的。我对这个命题有这是不可

7、能的。我对这个命题有一个美妙的证明，这里空白太小，一个美妙的证明，这里空白太小，写不下写不下(约约 1637 年年)。p欧拉欧拉1770年提出年提出 n = 3 的证明，但的证明，但其中有一点错误。其中有一点错误。p高斯完成欧拉的证明高斯完成欧拉的证明.费马(fermat,1601？-1665 ) 上页下页结束返回首页费马大定理p狄利克雷狄利克雷 dirichlet (1805 - 1859),德国人德国人p1828 年，独立地证明了年，独立地证明了 n = 5。p1832 年，解决了年，解决了 n = 14 的情况。的情况。p柯西柯西cauchy (1789-1857)、拉梅、拉梅lam (

8、1795 - 1870)p1847年，两位法国数学家分别表示他们证明了费马大定年，两位法国数学家分别表示他们证明了费马大定理。理。p5 月月 24 日，德国数学家库麦尔指出拉梅和柯西的方法是日，德国数学家库麦尔指出拉梅和柯西的方法是行不通的，从而平息了二人的争论。行不通的，从而平息了二人的争论。p,2无整数解方程时当nnnzyxn上页下页结束返回首页费马大定理p1995 年年 5 月，怀尔斯长一百页月，怀尔斯长一百页的证明，在杂志的证明，在杂志数学年鉴数学年鉴中中发表。发表。p1997 年年 6 月月 27 日，怀尔斯获日，怀尔斯获得价值五万美元的得价值五万美元的沃尔夫斯凯沃尔夫斯凯尔奖金尔奖

9、金。xn + yn = zn,(n 2)无整数解无整数解(1637)这是真这是真的的(1995)上页下页结束返回首页作业p134:5、6、7、8、10、11-（2）、12、14上页下页结束返回首页p134 p134 习题习题1 12 2.10155的的正正实实根根有有且且仅仅有有一一个个小小于于证证明明方方程程 xx证证, 15)(5 xxxf设设, 1 , 0)(连续连续在在则则xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.,),1 , 0(011xxx 设另有设另有. 0)(1 xf使使,

10、)(10件件之间满足罗尔定理的条之间满足罗尔定理的条在在xxxf使得使得之间之间在在至少存在一个至少存在一个),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.只只有有唯唯一一实实根根上页下页结束返回首页例例6 6 设设f(x)在在a, b上可微，且上可微，且ab0，求证：，求证：)( )()()(1 ffabfbafba (ab)证明证明 令令,)()(xxfx xxg1)( a, b同号，故同号，故x=0不在不在(a, b)内内; (x),g(x)在在(a, b)内可微。内可微。,)()()(2xxfxfxx 21)(xxg 由柯西中值定理由柯西

11、中值定理),( )()()(1 ffabfbafba即即).,(ba )()()()()()( gagbgab上页下页结束返回首页造技巧：造技巧：注：常见的一些函数构注：常见的一些函数构 )()(),(1ffba 使使）证）证（xxfxf)()( 0)()(),(2 ffba使使）证）证（)()(xfexfx 0)()()(xfexfexfxx若若0)()( xfxf0)()(),(3 ffba使使）证）证（)()(xfexfx 0)()()()()()()()(),(4 fggfgfgfba即即使使）证）证（)()()()()(xgxfxgxfxf )()()()()()()()()(xgx

12、fxgxfxgxfxgxfxf 上页下页结束返回首页z 思考思考 1 1、如果、如果)(xf在在,ba连续，在连续，在),(ba可导，可导，c为介于为介于 ba,之间的任一点，那么在之间的任一点，那么在),(ba（ ）找到两点）找到两点 12, xx，使，使)()()()(1212cfxxxfxf 成立成立. . （a a）必能；）必能； （b b）可能；）可能； （c c）不能；）不能； （d d）无法确定能）无法确定能 . .2、证明、证明bbabaaba ln上页下页结束返回首页解答解答2o 对对f(x)在在b, a上用拉格朗日公式上用拉格朗日公式 ,即即),(1lnlnbaba .11

13、1,baab )(1lnln)(1babbabaa 1o 由所要证明的不等式选定一函数由所要证明的不等式选定一函数f(x) 及定义区及定义区间间: 令令 f(x)=lnx , xb, a.1、 b .2 、证明：证明：上页下页结束返回首页的的零零点点。的的两两个个零零点点间间一一定定有有可可微微，证证明明设设)()()()(xfxfxfxf 2121, 0)()(xxxfxf 证：设证：设)()(xfexfx 令令)()()(xfxfxf （内可导。内可导。在在显然显然),(,)(1212xxxxcxf 0)(21 xfxf又又0)(),12 fxx使使（0)()( ffe0)()( ff补充补充1上页下页结束返回首页. 0)(),(),()(),(,)( fbabfafbabaxf使使得得证证明明存存在在且且内内可可导导，上上连连