复合函数求导83809

1、复合函数的导数复合函数的导数复习复习: :基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式1.0 ()cc 为常数)()(.qnnxxnn12xxcos)(sin.3xxsin)(cos.4xxee )(. 5),(ln)(.106aaaaaxxxx17 )(ln.exxaalog)(log.18复习复习: :导数的运算法则导数的运算法则: :( )( )( )( )f xg xf xg x( ). ( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xf x g x2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x为常数）cxf c

2、xcf)( )(高考链接高考链接0 x (2008海南宁夏文海南宁夏文)设设 ,若若( )lnf xxx则则 （ ） a. b. c. d. 0()2,fx2eeln22ln2ba121-21a.1 b c d2axy 062 yx(2008全国全国卷文卷文)设曲线设曲线a在点（在点（1, )处的切线与直线处的切线与直线平行平行,则则( )a例例5:在曲线在曲线y=x3-6x2-x+6上上,求斜率最小的切线求斜率最小的切线所对应的切点所对应的切点,并证明曲线关于此点对称并证明曲线关于此点对称.例题选讲例题选讲解解: ,故当故当x=2时时, 有最小值有最小值.1323112322)(xxxyy

3、即当即当x=2时时,y= -12,故斜率最小的切线所故斜率最小的切线所对应的切点为对应的切点为a(2,-12).一、复习与引入：一、复习与引入： 如如: 求函数求函数y=(3x-2)2的导数的导数. 我们可以把平方式展开我们可以把平方式展开,利用导数的四则运利用导数的四则运算法则算法则,再求导再求导.思考思考: 能否用其它的办法求导呢能否用其它的办法求导呢? 又如我们知道函数又如我们知道函数 的导数是的导数是 ,那么函数那么函数 的导数又是什么呢的导数又是什么呢?21xy 32xy3231)(xy一、复习与引入：一、复习与引入： 为了解决上面的问题为了解决上面的问题,我们需要学习新的导我们需要

4、学习新的导数的运算法则数的运算法则,这就是这就是复合函数的导数复合函数的导数. 如如:求函数求函数y=(3x-2)2的导数的导数,我们就可以令我们就可以令 y=u2,u=3x-2,则则 从而从而 ., 3,2 xuuuy1218 xuyyxux结果与用导数的四则运算法则求得的结果一致结果与用导数的四则运算法则求得的结果一致. .二、新课二、新课复合函数的导数：复合函数的导数：1.复合函数的概念复合函数的概念: 对于函数对于函数y= f (x),令令u= (x),若若y=f(u)是是中间变量中间变量u的函数的函数, u= (x)是自变量是自变量x的函数的函数,则则称称y= f (x)是自变量是自

5、变量x的复合函数的复合函数. 2.复合函数的导数复合函数的导数:设函数设函数 在点在点x处有导数处有导数 ,函数函数y=f(u)在点在点x的对应点的对应点u处有导数处有导数 ,则复合函数则复合函数 在点在点x处也有导数处也有导数,且且 或记或记)(xu )(xux )(ufyu )(xfy ;xuxuyy ).()()(xufxfx 在书写时不要把在书写时不要把 写成写成 ,两两者是不完全一样的者是不完全一样的,前者表示对自变量前者表示对自变量x的求导的求导,而后者是对中间变量而后者是对中间变量 的求导的求导.)(x )(xfx )(xf 注意注意:3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则:

6、复合函数对自变量的导数复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中等于已知函数对中间变量的导数间变量的导数,乘以乘以中间变量对自变量的导数中间变量对自变量的导数.法则可以推广到两个以上的中间变量法则可以推广到两个以上的中间变量. 求复合函数的导数求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关键在于分清函数的复合关系关系,合理选定中间变量合理选定中间变量,明确求导过程中每次是明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导哪个变量对哪个变量求导,一般地一般地,如果所设中间如果所设中间变量可直接求导变量可直接求导,就不必再选中间变量就不必再选中间变量. 复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要复合函数的求导法则

7、与导数的四则运算法则要有机的结合和综合的运用有机的结合和综合的运用.要通过求一些初等函数要通过求一些初等函数的导数的导数,逐步掌握复合函数的求导法则逐步掌握复合函数的求导法则.三、例题选讲：三、例题选讲：例例1: 求下列函数的导数求下列函数的导数:5) 12() 1 ( xy解解: (1) 设设y=u5,u=2x+1, 则则:4)31 (1) 2(xy 42)sin1()3(xy 44552102552)()()(xuxuuyyxux4)31(1)2(xy 解解: ,设设y=u-4,u=1-3x,则则:.)31 (1212)3(4)31 ()(5554xuuxuuyyxuxux 42)sin1

8、()3(xy 解解: ,设设y=u-4,u=1+v2,v=sinx,.2sin)sin1 ( 4cossin2)sin1 ( 4cos24)(sin)1 ()(3232324xxxxxxvuxvuvuyyxvuxvux 说明说明: : 在对法则的运用熟练后在对法则的运用熟练后, ,就不必再写中间步骤就不必再写中间步骤. .三、例题选讲：三、例题选讲：随堂练习随堂练习 0.0511;2sin,.xyeyx 其中均为常数求下列函数的导数求下列函数的导数(3) y=(3x+2)练习练习1:求下列函数的导数求下列函数的导数: bxaxyxxyxxxyxycbxaxycossin)5()7643()4(

9、)3(211)2() 1 (232232 答案答案:2223221)21 (2) 2 ()( 3)2 () 1 (xxxycbxaxcbxaxbaxy 4227421925) 76 () 43(135) 4 ()925 ()(21) 3( xxxxxxy.)2sin()2 (41)2sin()2 (41sin21) 5 (xbabaxbababxb 课本课本: p25 1,2例例2: 设设f(x)可导可导,求下列函数的导数求下列函数的导数: (1)f(x2); (2)f( ); (3)f(sin2x)+f(cos2x)21 x 解解: );(2)()() 1 (222xf xxxfy );1(

10、1122)1() 2(2222xfxxxxxfy ).(cos)(sin2sin)sin(cos2)(coscossin2)(sin)(cos(cos)(sin(sin )(cos)(sin) 3(2222222222xfxfxxxxfxxxfxxfxxfxfxfy 三、例题选讲：三、例题选讲：四、小结：四、小结： 利用复合函数的求导法则来求导数时利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中选择中间变量是复合函数求导的关键间变量是复合函数求导的关键.必须正确分析复合必须正确分析复合函数是函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的的,分清其间的复合关系分清其间的

11、复合关系.要善于把一部分量、式要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体子暂时当作一个整体,这个暂时的整体这个暂时的整体,就是中间就是中间变量变量.求导时需要记住中间变量求导时需要记住中间变量,注意逐层求导注意逐层求导,不不遗漏遗漏,而其中特别要注意中间变量的系数而其中特别要注意中间变量的系数,求导后求导后,要把中间变量转换成自变量的函数要把中间变量转换成自变量的函数.例例3:如果圆的半径以如果圆的半径以2cm/s的等速度增加的等速度增加,求圆半径求圆半径r= 10cm时时,圆面积增加的速度圆面积增加的速度.解解:由已知知由已知知:圆半径圆半径r=r(t),且且 = 2cm/s.tr 又圆面积又圆

12、面积s=r2,所以所以=40(cm)2/s.2102|2|1010rtrtrrs故圆面积增加的速度为故圆面积增加的速度为40(cm)2/s.例例4:在曲线在曲线 上求一点上求一点,使通过该点的切线平行使通过该点的切线平行于于 x轴轴,并求此切线的方程并求此切线的方程.211xy 解解:设所求点为设所求点为p(x0,y0).则由导数的几何意义知则由导数的几何意义知:切线斜率切线斜率. 0, 0)1 (2|)11()(02200200 xxxxxfkxx把把x0=0代入曲线方程得代入曲线方程得:y0=1.所以点所以点p的坐标为的坐标为(0,1),切线方程为切线方程为y-1=0.例例5:求证双曲线求

13、证双曲线c1:x2-y2=5与椭圆与椭圆c2:4x2+9y2=72在交在交 点处的切线互相垂直点处的切线互相垂直.证证:由于曲线的图形关于坐标轴对称由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一故只需证明其中一 个交点处的切线互相垂直即可个交点处的切线互相垂直即可.联立两曲线方程解得第一象限的交点为联立两曲线方程解得第一象限的交点为p(3,2),不妨不妨证明过证明过p点的两条切线互相垂直点的两条切线互相垂直.由于点由于点p在第一象限在第一象限,故由故由x2-y2=5得得,5, 522 xxyxy;23|31 xyk同理由同理由4x2+9y2=72得得;94894,94822xxyxy .32|

14、32 xyk因为因为k1k2=-1,所以两条切线互相垂直所以两条切线互相垂直.从而命题成立从而命题成立. 我们曾经利用导数的定义证明过这样的一个结论我们曾经利用导数的定义证明过这样的一个结论:“可导的偶函数的导函数为奇函数可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导函可导的奇函数的导函数为偶函数数为偶函数”.现在我们利用复合函数的现在我们利用复合函数的导数重新加以导数重新加以证明证明:证证:当当f(x)为为可导的偶函数可导的偶函数时时,则则f(-x)=f(x).两边同时对两边同时对x 求导得求导得: ,故故 为为 奇函数奇函数.)()()()(xfxfxfxxf )(xf 同理可证另一个命题

15、同理可证另一个命题. 我们还可以证明类似的一个结论我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数可导的周期函数的导函数也是周期函数的导函数也是周期函数.证证:设设f(x)为为可导的周期函数可导的周期函数,t为其一个为其一个周期周期,则对定义则对定义 域内的每一个域内的每一个x,都有都有f(x+t)=f(x). 两边同时对两边同时对x求导得求导得: 即即 也是以也是以t为为周期的周期函数周期的周期函数.),()(xftxtxf )(txf )().(xfxf 例例7:求函数求函数 的导数的导数. 11311)(2xxxxxf说明说明:这是分段函数的求导问题这是分段函数的求导问题,先根据各段的函数表

16、达先根据各段的函数表达 式式,求出在各可导求出在各可导(开开)区间的函数的导数区间的函数的导数,然后再用然后再用 定义来讨论分段点的可导性定义来讨论分段点的可导性.解解:当当x1时时, . 1312)(xxxxf又又 ,故故f(x)在在x=1处连续处连续.2) 1 ()(lim)(lim11 fxfxfxx而而; 2) 1(lim121lim1) 1 ()(lim1211 xxxxfxfxxx;33lim12)1(3lim1)1()(lim111 xxxxxxfxf,11)(lim1) 1 ()(lim11 xxfxfxfxx从而从而f(x)在在x=1处不可导处不可导.1312)( xxxxf

17、 在上面的例子中涉及到了二次曲线在某点的切线在上面的例子中涉及到了二次曲线在某点的切线问题问题,但在上面的解法中回避了点在第二、三、四象限但在上面的解法中回避了点在第二、三、四象限的情况的情况.可能有同学会提出对于二次曲线在任意点的切可能有同学会提出对于二次曲线在任意点的切线怎样求的问题线怎样求的问题,由于它涉及到隐函数的求导问题由于它涉及到隐函数的求导问题.我们我们不便去过多的去研究不便去过多的去研究. 下面举一个例子使同学们了解一下求一般曲线在任下面举一个例子使同学们了解一下求一般曲线在任意点的切线的方法意点的切线的方法.(说明说明:这个内容不属于考查范围这个内容不属于考查范围.)例子例子

18、:求椭圆求椭圆 在点在点 处的切线方程处的切线方程.191622 yx)323, 2(解解:对椭圆方程的两边分别求导对椭圆方程的两边分别求导(在此把在此把y看成是关于看成是关于x 的函数的函数)得得:.169, 02912161yxyyyx .43|2323 xyyk于是所求切线方程为于是所求切线方程为:. 03843),2(43233 yxxy即即备用备用例例2:求下列函数的导数求下列函数的导数:(1)y=(2x3-x+1/x)4;解解:. ) 116()12( 4)12()12( 42233333 xxxxxxxxxxxy(3)y=tan3x;解解:.secsin3cos1)cossin(

19、 3cos)sin(sincoscos)cossin( 3)cossin(tan3)(tan)(tan342222322xxxxxxxxxxxxxxxxxy (2)51xxy 解解:.)1 (51)1 (1)1(51)1()1(51565425454xxxxxxxxxy(4)221) 32 (xxy ;)1)(32(1) 32(212222xxxxy 解解:.161)32(142)1 (21)32()1 (4232222122212xxxxxxxxxxxxxy 利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下:(1)过圆过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点上一点p0(x0,y0)的切线方程是的切线方程是: (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(2)过椭圆过椭圆 上一点上一点p