六1定积分概念

1、一、一、 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 s6.1 实例实例)(xfy 曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线所围成所围成、直线直线轴与轴与、 0bxaxxxfxfy )()(曲边梯形面积近似等于矩形面积。曲边梯形面积近似等于矩形面积。为高作矩形，为高作矩形，以以内任取一点内任取一点，在在 )( , 00 xfxba)(abxyo0 x显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积。显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积。（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形） 为了得到近似程度高一些的近似值，用多个矩形为了得到近似程度高一些的近似值，用多个矩形面积的和作曲边梯形面积的近似

2、值。面积的和作曲边梯形面积的近似值。abxyoxyoab观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。播放播放曲边梯形如图，曲边梯形如图，个分点个分点内插入内插入在区间在区间1 nba,abxyoi ix1x1 ix1 nx个小区间个小区间分成分成把把nba,，上上任任取取一一点点在在每每个个iiixx ,1 iiixfs )( 为为高高为为底底，以以)(,iiifxx 1 ;1 iiixxx长长度度为为iniixfs )(1 于是曲边梯形面积近似为于是曲边梯形面积近似为iniixfs )(lim10 小

3、区间的最大长度小区间的最大长度当分割无限加细当分割无限加细 ,得到曲边梯形面积精确值得到曲边梯形面积精确值时，时，021 ,maxnxxx , bxxxxxann 1210作小矩形，作小矩形， 小矩形面积为小矩形面积为二、二、 变速直线运动的距离变速直线运动的距离把整段时间分割成若干小段，小段上速度看作不变的，把整段时间分割成若干小段，小段上速度看作不变的，求出各小段上移动的距离相加，便得到距离的近似值，求出各小段上移动的距离相加，便得到距离的近似值，然后通过对时间的无限细分求得距离的精确值。然后通过对时间的无限细分求得距离的精确值。设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(

4、tvv ,21tt0)( tv，求物体在这段，求物体在这段是时间间隔是时间间隔上的连续函数，且上的连续函数，且时间内所移动的距离。时间内所移动的距离。思路思路：（1）分割）分割212101tttttttnn 1 iiitttiiitvs )( （2）求和）求和iinitvs )(1 （3）令）令,max21nttt iniitvs )(lim10 距离的精确值距离的精确值i 是时间是时间,iitt1 上某时刻，以上某时刻，以)(iv 作为时间小段作为时间小段 ,iitt1 上不变的速度，则在这一时间段上移动的距离值上不变的速度，则在这一时间段上移动的距离值取极限得到取极限得到两个问题背景不同，

5、但都归结为求同一结构总和的极限。两个问题背景不同，但都归结为求同一结构总和的极限。iniixfs )(lim10 iniitvs )(lim10 有相当多的实际问题的解决也是归结于这类极限。有相当多的实际问题的解决也是归结于这类极限。bxxxxxann 12106.2 定积分的定义一、定义一、定义:1 iiixxx其其长长度度),(ni21 上上有有定定义义，用用点点在在区区间间设设函函数数,)( baxf，个小区间个小区间分成分成将区间将区间,iixxnba1 在各小区间上任取一点在各小区间上任取一点，,iiixx1 iininxfs )( 1记为：记为：maxix 记记若不论对若不论对 a

6、 , b 怎样分割、怎样分割、如何选取，如何选取，i时，时，只要只要 0 则称则称 i 为函数为函数 )(xfidxxfba )(上上在区间在区间,ba 作和式作和式存在，存在，的极限的极限总和总和isn ,的定积分的定积分是积分区间是积分区间,ba积分上限积分上限积分下限积分下限iinibaxfdxxf )(lim)( 10 即即积分元素积分元素 bainiidxxx2120 lim如如 当函数当函数)(xf,ba在区间在区间上的定积分存在时，上的定积分存在时， 称称)(xf,ba在区间在区间上上可积。可积。要点：要点： badxxf)( badttf)( baduuf)(2) 积分值仅与被

7、积函数和积分区间有关，与积分变量用积分值仅与被积函数和积分区间有关，与积分变量用那个字母表示无关那个字母表示无关(1) 当积分上下限取为确定的常数时，定积分是一个常数。当积分上下限取为确定的常数时，定积分是一个常数。(3) 上述定义中分割是从下限点至上限点的，上述定义中分割是从下限点至上限点的，, 0 ix则则假若假若a (1)； (2) (2)； (3). (3).三、三、1 1、 32arctan9331 xdxx； 2 2、53arcsin24213210 xxxdx. .练习题答案练习题答案显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积。显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积。

8、（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形） 为了得到近似程度高一些的近似值，用多个矩形为了得到近似程度高一些的近似值，用多个矩形面积的和作曲边梯形面积的近似值。面积的和作曲边梯形面积的近似值。abxyoxyoab观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。播放播放曲边梯形如图，曲边梯形如图，个分点个分点内插入内插入在区间在区间1 nba,abxyoi ix1x1 ix1 nx个小区间个小区间分成分成把把nba,，上上任任取取一一点点在在每每个个iiixx ,1 iiixfs )( 为为高高

9、为为底底，以以)(,iiifxx 1 ;1 iiixxx长长度度为为iniixfs )(1 于是曲边梯形面积近似为于是曲边梯形面积近似为iniixfs )(lim10 小区间的最大长度小区间的最大长度当分割无限加细当分割无限加细 ,得到曲边梯形面积精确值得到曲边梯形面积精确值时，时，021 ,maxnxxx , bxxxxxann 1210作小矩形，作小矩形， 小矩形面积为小矩形面积为二、二、 变速直线运动的距离变速直线运动的距离把整段时间分割成若干小段，小段上速度看作不变的，把整段时间分割成若干小段，小段上速度看作不变的，求出各小段上移动的距离相加，便得到距离的近似值，求出各小段上移动的距离

10、相加，便得到距离的近似值，然后通过对时间的无限细分求得距离的精确值。然后通过对时间的无限细分求得距离的精确值。设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv ,21tt0)( tv，求物体在这段，求物体在这段是时间间隔是时间间隔上的连续函数，且上的连续函数，且时间内所移动的距离。时间内所移动的距离。思路思路：（1）分割）分割212101tttttttnn 1 iiitttiiitvs )( （2）求和）求和iinitvs )(1 （3）令）令,max21nttt iniitvs )(lim10 距离的精确值距离的精确值i 是时间是时间,iitt1 上某时刻，以上某时刻，以)

11、(iv 作为时间小段作为时间小段 ,iitt1 上不变的速度，则在这一时间段上移动的距离值上不变的速度，则在这一时间段上移动的距离值取极限得到取极限得到两个问题背景不同，但都归结为求同一结构总和的极限。两个问题背景不同，但都归结为求同一结构总和的极限。iniixfs )(lim10 iniitvs )(lim10 有相当多的实际问题的解决也是归结于这类极限。有相当多的实际问题的解决也是归结于这类极限。bxxxxxann 12106.2 定积分的定义一、定义一、定义:1 iiixxx其其长长度度),(ni21 上上有有定定义义，用用点点在在区区间间设设函函数数,)( baxf，个小区间个小区间分

12、成分成将区间将区间,iixxnba1 在各小区间上任取一点在各小区间上任取一点，,iiixx1 iininxfs )( 1记为：记为：maxix 记记若不论对若不论对 a , b 怎样分割、怎样分割、如何选取，如何选取，i时，时，只要只要 0 则称则称 i 为函数为函数 )(xfidxxfba )(上上在区间在区间,ba 作和式作和式存在，存在，的极限的极限总和总和isn ,的定积分的定积分是积分区间是积分区间,ba积分上限积分上限积分下限积分下限iinibaxfdxxf )(lim)( 10 即即积分元素积分元素 bainiidxxx2120 lim如如 当函数当函数)(xf,ba在区间在区

13、间上的定积分存在时，上的定积分存在时， 称称)(xf,ba在区间在区间上上可积。可积。要点：要点： badxxf)( badttf)( baduuf)(2) 积分值仅与被积函数和积分区间有关，与积分变量用积分值仅与被积函数和积分区间有关，与积分变量用那个字母表示无关那个字母表示无关(1) 当积分上下限取为确定的常数时，定积分是一个常数。当积分上下限取为确定的常数时，定积分是一个常数。(3) 上述定义中分割是从下限点至上限点的，上述定义中分割是从下限点至上限点的，, 0 ix则则假若假若a b，于是对于积分于是对于积分 abduuf)(, 0 ix显显然然有有 baduuf)( abduuf)(

14、特别地有特别地有0 aaduuf)(定理定理1 1定理定理2 2二、定积分存在定理二、定积分存在定理函数函数)(xf,ba在区间在区间上连续，上连续，则则)(xf,ba一定在区间一定在区间上可积。上可积。函数函数)(xf,ba在区间在区间上有界，上有界，且在该区间上只有有限个间断点，且在该区间上只有有限个间断点，则则)(xf,ba一定在区间一定在区间上可积。上可积。证：证：nnnnfnfnf 21lim nnnnfnfnfe21limlnnnnnfnfnf 21lim试证试证 10dxxfe)(ln据对数性质据对数性质例例1、 设函数设函数)(xf 1 , 0在区间在区间上连续，且取正值上连续

15、，且取正值 nifnnine1ln1lim nnnnfnfnfe21lnlimnnifnine1lnlim1 nnifnin11 lnlim 10dxxf)(ln故故nnnnfnfnf 21lim.10)(ln dxxfe)(xf 1 , 0在在上连续，且取正值，上连续，且取正值，所以所以上有意义且取可积，上有意义且取可积，)(lnxf 1 , 0在在ninxnixiii 1 10 取取则则进进行行分分割割对对, 0)( xf basdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf basdxxf)(曲边梯形面积的负值曲边梯形面积的负值 badxxf)(三、定积分的几何意义三、定积分的

16、几何意义一般地，一般地，轴以及轴以及的图形、的图形、函数函数是是 xxf)(取取负负值值。于于下下半半平平面面的的图图形形面面积积，位位平平面面的的图图形形面面积积取取正正值值上上半半形形面面积积的的代代数数和和，位位于于所所围围成成的的图图直直线线bxax ,xaby1s2s3s321sssdxxfba )(四、小结四、小结定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分取极限取极限思考题思考题将和式极限表示成定积分将和式极限表示成定积分)(lim)(nnn 2

17、1112iniixf 1202)(lim)( iiiinxmaxxxbxxxax ,1210其中其中答答案案一、一、填空题：填空题： 1 1、 函数函数)(xf 在在 ba ,上的定积分是积分和的极限，上的定积分是积分和的极限，即即 badxxf)(_ . . 2 2、 定积分的值只与定积分的值只与_及及_有关，而与有关，而与_的记法无关的记法无关 . . 3 3、 定积分的几何意义是定积分的几何意义是_ . . 练练 习习 题题 六（六（1）4、据定积分的几何意义、据定积分的几何意义_; badx)(ba ._ baxdx答答案案思考题解答思考题解答)(lim)(nnn 21112 nini

18、n121limix i nninin11 lim 10 xdxiniixf 1202)(lim)( )(ig badxxg)( badxxf)(2一、一、1 1、 niiixf10)(lim ； 2 2、被积函数、被积函数, ,积分区间积分区间, ,积分变量；积分变量； 3 3、介于曲线、介于曲线)(xfy , ,轴轴x, ,直线直线bxax ,之间之间 各部分面积的代数和；各部分面积的代数和； 4 4、b -a; ;222ab . . 练习题六（练习题六（1）答案）答案观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分