人大微积分课件76曲面及其方程

1、第六节第六节 曲面及其方程曲面及其方程一一 曲面方程的概念曲面方程的概念二二 旋转曲面旋转曲面三三 柱面柱面四四 二次曲面二次曲面水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：如如果果曲曲面面s与与三三元元方方程程0),( zyxf有有下下述述关关系系：（1 1） 曲面曲面s上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程；（2 2）不在曲面）不在曲面s上的点的坐标都不满足方程；上的点的坐标都不满足方程；那那么么，方方程程0),( zyxf就就叫叫做做曲曲面面s的的方方程程，

2、而而曲曲面面s就就叫叫做做方方程程的的图图形形曲面的实例：曲面的实例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面.例例 1 1 建建立立球球心心在在点点),(0000zyxm、半半径径为为r的的球球面面方方程程. 解解设设),(zyxm是球面上任一点，是球面上任一点，rmm |0根据题意有根据题意有 rzzyyxx 202020 2202020rzzyyxx 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222rzyx 例例 2 2 方方程程042222 yxzyx表表示示怎怎样样的的曲曲面面？ 解解原方程可化为原方程可化为 5

3、)2()1(222 zyx ),0 , 2, 1( 所以原方程表示球心为所以原方程表示球心为5半径为半径为的球面.球面.时，表示的轨迹称为虚当表示点球面.时当的球面半径为 时，表示球心为当项.配方后化为其特点为缺注：设有三元二次方程0222 0222 .222),(0222 2222)(2)(2)( 0222222 dcbadcbadcbacbadcbadcbaczbyaxzxyzxydczbyaxzyx，：、例例 3 3 已知已知)3 , 2 , 1(a，)4 , 1, 2( b，求线段，求线段ab的的垂直平分面的方程垂直平分面的方程.设设),(zyxm是是所所求求平平面面上上任任一一点点，

4、根据题意有根据题意有|,|mbma 222321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程. 07262 zyx解解zxyo例例4 4 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？1)2()1(22 yxz根据题意有根据题意有1 z用用平平面面cz 去去截截图图形形得得圆圆：)1(1)2()1(22 ccyx 当当平平面面cz 上上下下移移动动时时，得得到到一一系系列列圆圆圆心在圆心在), 2 , 1(c，半径为，半径为c 1半径随半径随c的增大而增大的增大而增大.图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解c以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个

5、基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴播放播放二、旋转曲面二、旋转曲面xozy0),( zyf), 0(111zym m),(zyxm设设1)1(zz （2）点）点m到到z轴的距离轴的距离 |122yyx

6、d 旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf , 0,22 zyxfyoz坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),( zyf绕绕 z轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程. 得方程得方程同同理理：yoz坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),( zyf绕绕y轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程为为 . 0,22 zxyf例例 5 5 直直线线l绕绕另另一一条条与与l相相交交的的直直线线旋旋转转一一周周，所所得得旋旋转转曲曲面面叫叫圆圆锥锥面面两两直直线

7、线的的交交点点叫叫圆圆锥锥面面的的顶顶点点，两两直直线线的的夹夹角角 20叫叫圆圆锥锥面面的的半半顶顶角角试试建建立立顶顶点点在在坐坐标标原原点点，旋旋转转轴轴为为z轴轴，半半顶顶角角为为 的的圆圆锥锥面面方方程程xozy解解 yoz面面上上直直线线方方程程为为 cotyz ), 0(111zym ),(zyxm圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz oxzy 例例6 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程（1）双双曲曲线线12222 czax分分别别绕绕x轴轴和和z轴轴；绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222

8、 czyax122222 czayx旋转双曲面旋转双曲面（2）椭椭圆圆 012222xczay绕绕y轴轴和和z轴轴；绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面（3）抛物线）抛物线 022xpzy绕绕z轴；轴；pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面播放播放定义定义观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl三、柱面三、柱面柱面举例柱面

9、举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征： 只含只含yx,而缺而缺 z的方程的方程0),( yxf， 在空， 在空间直角坐标系中表示母线平行于间直角坐标系中表示母线平行于 z轴的柱面， 其轴的柱面， 其准线为准线为xoy面上曲线面上曲线c. （其他类推）（其他类推）实实 例例12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 / 轴轴x12222 byax双曲柱面双曲柱面 / 轴轴zpzx22 抛物柱面抛物柱面 / 轴轴y1 定义：三元二次方程表示的曲面定义：三元二次方程表示的曲面,称为二次曲称为二次曲面。面。如球面如球面 4321222 zy

10、x圆锥面、旋转曲面等圆锥面、旋转曲面等四四、二次曲面、二次曲面 (quadratic surfaces)2、二次曲面的研究方法：、二次曲面的研究方法：(不能用描点法，而用截面法不能用描点法，而用截面法)1）对称性：关于坐标面，坐标轴）对称性：关于坐标面，坐标轴2）存在范围）存在范围3）曲面与坐标轴、坐标面的关系）曲面与坐标轴、坐标面的关系4）曲面弯曲状况。）曲面弯曲状况。3、几种重要的二次曲面：、几种重要的二次曲面：1）椭球面：）椭球面：1222222 czbyaxxyz用平行于坐标面的平面去截曲面由所得截痕来用平行于坐标面的平面去截曲面由所得截痕来勾画曲面的大体形状。勾画曲面的大体形状。(e

11、llipsoids)特殊情形：特殊情形：1）当）当a=b=c时，此时为球面时，此时为球面azyx2222 2）当）当a=b时，此时为旋转曲面时，此时为旋转曲面1222222 czayax3) 当当a=c时，此时为旋转曲面时，此时为旋转曲面 1222222 azbyax4) 当当c=b时，此时为旋转曲面时，此时为旋转曲面1222222 czcyax2)抛物面抛物面(paraboloids)i) 椭圆抛物面椭圆抛物面同号）同号） q(p, 2222zqpyx xyz(0,0,0)p=q时，成为旋转时，成为旋转抛物面抛物面(p0,q0)ii)双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）同号）同号） q(p, 2222zqpyx (elliptic paraboloids)(hyperbolic paraboloids)ii)双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）同号）同号） q(p, 2222zqpyx xzyoxyzxyz xy 3) 双曲面双曲面(hyperboloids)i)单叶双曲面单叶双曲面(hyperboloids of one sheet)1222222 czbyaxoxyzii)双叶双曲面双叶双曲面(hyperboloids of two sheet)：12222