微积分向量的乘法运算

1、第三节第三节 向量的乘法运算向量的乘法运算一、向量的数量积一、向量的数量积二、向量的向量积二、向量的向量积三、向量的混合积三、向量的混合积五、思考五、思考与练习与练习四、小结四、小结一、两向量的数量积一、两向量的数量积1m沿与力夹角为沿与力夹角为 的直线从点的直线从点m1移动到点移动到点m2, w引例引例 设一物体在常力设一物体在常力 f 作用下作用下, f位移为位移为 s ,则力则力f 所做的功为所做的功为 cos| f2ms| sab1. 定义定义设向量设向量 、 夹角为夹角为 ，ab为向量为向量 与与 的的数量积数量积 cos|ba则称数量则称数量ba 记为记为 , cos|baba 即

2、即 .(点积、内积点积、内积).注意注意： 中的中的“.”不能省不能省.ba ab sfw ab 上的投影为上的投影为在在若若aba,0 babaaprj| .prj|abbab ,0 b若若,cos|prj bba 2. 数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：.|)1(2aaa (2) 交换律：交换律：;abba (3) 分配律：分配律：( (投影投影) );)(cbcacba (4) 若若l l为数：为数：),()()(bababa l ll ll l若若l l、m m为数：为数：).()()(baba lmlmm ml l3. 关于两向量垂直的说明：关于两向量垂直的说明：,0,

3、0 ba设设.ba )(, 0cos| baba, 0| , 0| ba, 0cos .ba )(,ba , 0cos . 0cos| baba证证 ,2 ,2 baba与与则称向量则称向量，的夹角的夹角与与设向量设向量2 正交正交 ( 或或垂直垂直 ),.ba 记为记为定理定理.)0,(aa 0 baabcabc.cos2222 abbac 证证则则如图：设如图：设,acb ,bca , cab 例例1 1 证明三角形余弦定理证明三角形余弦定理,bac .cos2222 abbac 2|c)()(baba aa bb ba 22|a 2|b cos| 2ba |,|, |, |ccbbaa

4、4. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,相互垂直相互垂直kji, 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐标表示式数量积的坐标表示式4. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设zzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式,0,0时时当当 ba得得由由,cos| baba |cosbaba 222222zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表达式

5、两向量夹角余弦的坐标表达式 ba0 zzyyxxbababa由此可知由此可知解解ba )1(2)4()2(111 . 9 |cos)2(baba 3239 ,prj|)3(abbab . 339|prj bbaab .43 ,21 例例3 3., 9,22的坐标的坐标求向量求向量且且共线共线与与向量向量设设xxaaxkjia 解解,axl l 设设,9)(9l ll l aaxa则则, 1 l l).2, 1 , 2( ax例例4 4？问问是是否否有有并并且且有有且且设设bacbcacba ,0,0,0解解, ia 取取, jb ,kjic , 1 cbca则有则有.ba 但但证证cacbbc

6、a )()(cacbcbca )()()()(cacbcbca , 0 cacbbca )()(|oqfm sin|opf 二、向量的向量积二、向量的向量积lfpqo m的方向垂直于的方向垂直于op与与f所决定的平面所决定的平面, 引例引例 设设 o 为一根杠杆为一根杠杆 l 的支点，的支点， 有一力有一力f作用于这杠杆上作用于这杠杆上 p 点处点处 力力f与与 op 的夹角为的夹角为，力，力f对支点对支点 o 的力矩是一向量的力矩是一向量m，它的模，它的模 op、f、m的方向的方向符合右手法则符合右手法则. . opm fm 二、向量的向量积二、向量的向量积1. 定义定义向量向量a与与b的的

7、向量积向量积为为 ba , 它的模为：它的模为：; ),( ba sin|baba .,符合右手法则符合右手法则且且和和同时垂直于同时垂直于babababa ab向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.引例中的力矩引例中的力矩ba fopm 思考思考 右图三角形面积右图三角形面积s_ab |21ba 2. 关于向量积的说明：关于向量积的说明：. 0)1( aa)0sin0( ba/)2(. 0 ba)0, 0( ba)(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin ,0 或或 证证./ba)(,/ba,0 或或 , 0sin , 0sin| baba.0 ba;)1(abba

8、(2) 分配律（力矩）：分配律（力矩）：.)(cbcacba (3) 若若 l l为数：为数：).()()(bababa l ll ll l3. 向量积符合下列运算律：向量积符合下列运算律：4. 向量积的坐标表示向量积的坐标表示,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 xyyxzxxzyzzybababababababa ,向量积的分解表达式向量积的分解表达式向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式 yxyxzxzxzyzybbaabbaabbaa, 向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ( 三阶行列式计算见课本三阶行列式计算见课本 p3

9、19p320 ) 4. 向量积的坐标表示向量积的坐标表示,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx )()()(kibajibaiibazxyxxx )()()(kjbajjbaijbazyyyxy )()()(kkbajkbaikbazzyzxz ijkoibabayzzy)( jbabazxxz)( kbabaxyyx)( 向量积的分解表达式向量积的分解表达式5. 向量积的几何意义向量积的几何意义abbac |bas |ba ab1) ) 表示以表示以 和和 为为邻边的平行四边形的面积邻边的平行四边形的面积. .ba ab2) 与

10、一切既平行于与一切既平行于 又平行于又平行于 的平面相的平面相垂直垂直. .)3(;)2(;,)1(:, )3 , 1, 0()1 , 2 , 5(, )2 , 0 , 3(0的直线的距离的直线的距离和和到过到过求求的面积的面积量量所在平面垂直的单位向所在平面垂直的单位向与与求求和和三点三点已知已知cababcncbacba 例例1 abc解解 (1),1, 2 , 2( abac),1 , 1, 3( acab 113122 kji,4kji n,18| n|0nnn ).4 , 1 , 1(181 (2) d d abc的面积为的面积为|21abacs .1821 .)3(;)2(;,)1

11、(:, )3 , 1, 0()1 , 2 , 5(, )2 , 0 , 3(0的直线的距离的直线的距离和和到过到过求求的面积的面积量量所在平面垂直的单位向所在平面垂直的单位向与与求求和和三点三点已知已知cababcncbacba 例例1 abc解解 (3)d.bdabcacb的高的高的距离即为的距离即为到到|,|21bdacs |,|21abacs 又又|acacabbd ,1118 .1118的直线的距离为的直线的距离为和和到过到过即即cab解解.,10, )7, 2 , 1(, )3 , 2, 1(, )1,3,2(acabaacba求求且且和和垂直于垂直于已知向量已知向量设设 例例2 2

12、 )(baa l l321132 kjil l)57(kji l l)1 , 5 , 7(l l ca 10由由,10l l , 1 l l得得).1 , 5 , 7( a解解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依题题意意知知nm 与与p同同向向， 已已知知三三个个向向量量 a、b、c , 数数量量cba )( 称称为为这这三三个个向向量量的的混混合合积积 , 记记为为cba. . 三、向量的混合积三、向量的混合积1.定义定义即即 cbacba )(abc其底面积其底面积, |baa 高高ba |cos| ch 故平行六面体体

13、积为故平行六面体体积为hav |cos| cba |)( |cba . | |cba 几何几何意义意义：混合积的绝对值表示以：混合积的绝对值表示以向量向量 为棱的为棱的平行六面体体积平行六面体体积.cba,2. 混合积的坐标表示混合积的坐标表示),(zyxaaaa ),(zyxbbbb 设设),(zyxcccc cbacba )(.zyxzyxzyxcccbbbaaa 混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式.zyxyxyzxzxxzyzycbbaacbbaacbbaacba 3. 性质性质(2) 轮换对称性轮换对称性(可用三阶行列式推出可用三阶行列式推出).0 cba(1) 三个非零向量三个非零

14、向量共面共面 cba,bcabbac b. ac ac 已已知知2 cba， 计计算算)()()(accbba . 解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(cba )(2 2cba . 4 例例1 11a2a3a4a例例2 2 求以求以不在同一平面上的不在同一平面上的四点四点 ak (x k , y k , z k ) (k=1,2,3,4)为顶点的四面体的体积为顶点的四面体的体积.已知四面体的体积等于以向量已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的为棱的平行六面体体积的,21aa,31aa41aa

15、.61解解|61 v413121aaaaaa. |61141414131313121212zzyyxxzzyyxxzzyyxx 例例3 3 问四点问四点 a (1 , 1 , 1 ) , b (4 , 5 , 6 ) , c (2 , 3 , 3 ) , d (10 , 15 , 17 ) 是否共面是否共面 ?0adacab? 解解adacab16149221543 ,0 点点 a, b, c, d 共面共面.abcd四、小结四、小结),(zyxaaaa ),(zyxbbbb 设设.zzyyxxbababa cos|baba 2、向量的向量积、向量的向量积 (结果是一个向量结果是一个向量)ba

16、 1、向量的数量积、向量的数量积 (结果是一个数结果是一个数) ba ; ),( ba sin|baba aba , ,bba , ,且且a, ,b, ,ba 符合右手法则符合右手法则. . zyxzyxbbbaaakjiba .,yxyxzxzxzyzybbaabbaabbaa ),(zyxaaaa ),(zyxbbbb 设设),(zyxcccc 3、向量的混合积、向量的混合积 (结果是一个数量结果是一个数量)cbacbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa 5、数量积几何应用要点：、数量积几何应用要点：(1) 求向量的模：求向量的模：.|aaa (2) 求两向量的夹角：求两向量

17、的夹角：,0, 0时时当当 ba(3) 求一个向量在另一个向量上的投影：求一个向量在另一个向量上的投影：|prjbbaab .bea .|arccosbaba ba)4(. 0 zzyyxxbababa0 ba6、向量积几何应用要点：、向量积几何应用要点：. )0()( kbaksba,(2) 求以向量求以向量 为邻边的平行四边形的面积：为邻边的平行四边形的面积：. |bas :,)3(为顶点的三角形面积为顶点的三角形面积求以求以cba.,)4(dabccba的的距距离离到到直直线线求求不不共共线线的的设设三三点点. | acabs21.|abacabd (1) 求与两个非共线向量求与两个非共线向量 同时垂直的向量同时垂直的向量 ：ba,sba/)5(0 ba.zzyyxxababab 7、混合积几何应用要点：、混合积几何应用要点：共面共面cba,)1(. 0 cba(2) 以以 为相邻棱的为相邻棱的平行六面体平行六面体的体积：的体积：cba,.cbav |(3) 以不共面四点以不共面四点 a, b, c, d 为顶点的为顶点的四面体四面