函数的求导法则87945

1、1函数的线性组合、积、商的求导法则函数的线性组合、积、商的求导法则小结小结 思考题思考题 作业作业第二节第二节 函数的求导法则函数的求导法则第二章第二章 导数与微分导数与微分反函数的求导法则反函数的求导法则基本求导法则与导数公式基本求导法则与导数公式复合函数的求导法则复合函数的求导法则2定理定理1,)(),(处可导处可导在点在点如果函数如果函数xxvxu )()()1(xvxu 并且并且则则它们的线性组合、积、商它们的线性组合、积、商在点在点 x处也可导处也可导,);()(xvxu )()()2(xvxu);()()()(xvxuxvxu )()()()()(2xvxvxuxvxu 函数的求导

2、法则函数的求导法则).0)( xv.,r 一、函数的线性组合、积、商的求导法则一、函数的线性组合、积、商的求导法则 )()()3(xvxu3证证则由则由导数的定义导数的定义有有hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxuhxuh)()(lim0 hxvhxvh)()(lim0 ).()(xvxu 函数的求导法则函数的求导法则 )()()1(xvxu );()(xvxu .,r 0lim hh ),()()(xvxuxf 设设hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 )()(xuhxu )()(xvhxv 4 )()(xvxu).0)()()()()()(2 xvxvxvxuxvxu,

3、vuy 设设证证.yvu 则则 )()()2(xvxu);()()()(xvxuxvxu 由乘积的导数由乘积的导数: u得得故故vvyuy vvvuu )0(2 vvvuvuvy ,vy y 特别特别 )(1xv)()(2xvxv .2vvuvuvu 即即函数的求导法则函数的求导法则5推论推论,处均可导处均可导在点在点、若若xwvu wvu uvw,wvu 则则,处也可导处也可导在同一点在同一点x且且uvw vw wvuwuv 函数的求导法则函数的求导法则 u vwu6例例.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4 例例.ln2sin的导数的导数求求xxy 解解xxxylnco

4、ssin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 函数的求导法则函数的求导法则7例例.tan的导数的导数求求xy 解解)(tan xyx2cos xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx )(cot x同理可得同理可得 xxcossin即即.csc2x 2vvuvuvu 函数的求导法则函数的求导法则)(cossin xxxx cos)(sin 8例例.sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2

5、cossin 同理可得同理可得 )(1xv)()(2xvxv 即即xxxtansec)(sec 函数的求导法则函数的求导法则xxxcotcsc)(csc 9.11的导数的导数求求 xxy解解 法一法一2)1()1)(1()1()1( xxxxxy2)1(2 x法二法二11 xxy121 x)12()1( xy2)1(2 x注注在进行求导运算中在进行求导运算中,且也能提高结果的准且也能提高结果的准这样使求导过程简单这样使求导过程简单,尽量先化简再求导尽量先化简再求导,确性确性.2)1(12x 函数的求导法则函数的求导法则 )(1xv)()(2xvxv 10函数的求导法则函数的求导法则用求导法则与

6、用定义求导数时用求导法则与用定义求导数时, 结果有时不一致结果有时不一致,这是为什么这是为什么? 如已知如已知).0(,sin)(3fxxxf 求求无意义无意义,解解.cossin31)(3132xxxxxf )0(f 所以所以,)0(f 不存在不存在.上述解法有问题吗上述解法有问题吗?注意问题出在注意问题出在)(0 xfx 处处不连续不连续.因此因此)(xf 可能在不连续点处不代表该点处的导数值可能在不连续点处不代表该点处的导数值.,0时时当当 x )(xf,0时时当当 x, 0用定义用定义!,cossin31332xxxx 11)(1 )(1yfxf 或或.dd1ddyxxy 第一章第九节

7、定理第一章第九节定理2: 单调的连续函数必有单调的连续函数必有单调的连续反函数单调的连续反函数. .定理定理2内单调、内单调、在某区间在某区间如果函数如果函数yiyfx)( ,0)( yf且且在在那末它的反函数那末它的反函数)(1xfy ,内也可导内也可导对应区间对应区间xi且且可导可导函数的求导法则函数的求导法则二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则证证,xix 任取任取xx 以以增增量量给给)()(11xfxxfy 连续连续,), 0(xixxx , 0 .1yx xy , 0lim0 yx)(1xfy 故故从而从而有有0lim x0lim y.)(1yf )(1xf因因 反函数的导数等

8、于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数. .yxxy 112.112x 例例.arcsin的导数的导数求函数求函数xy 解解yxsin yycos)(sin 且且内有内有在在)1 , 1( xi)(arcsin xycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx , 0 )(sin1 y)(arcsin x函数的求导法则函数的求导法则)(1 )(1yfxf 单调、可导单调、可导,直接函数直接函数 反函数反函数 内内在在 2,2p pp pyi21(arccot )1xx 13注注如果利用三角学中的公式如果利用三角

9、学中的公式:,arcsin2arccosxx p p,11)(arccos2xx .11)cot(2xx arc,arctan2cotarcxx p p也可得公式也可得公式也可得公式也可得公式函数的求导法则函数的求导法则14例例.log的导数的导数求函数求函数xya , 0ln)( aaayy且且内有内有在在), 0( xi)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(内单调、可导内单调、可导在在 yyiax特别地特别地.1)(lnxx 函数的求导法则函数的求导法则15定理定理3 链导法则链导法则)(ufy 而而 xydd)(xg )(uf 三、复合函数的求导法则三、复合函

10、数的求导法则函数的求导法则函数的求导法则可导可导, ,且其导数为且其导数为或或 uyxydddd.ddxu因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间等于因变量对中间变量求导变量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导. .,)(可导可导在点在点如果函数如果函数xxgu ,)(可导可导在点在点xgu xxgfy在点在点则复合函数则复合函数)( 16证证,)(可导可导在点在点由由uufy )(lim0ufuyu )(ufuy故故uuufy )(则则xy xuufx0lim)(函数的求导法则函数的求导法则 xydd0 u规定规定0lim xxuxuuf )( 0li

11、m xxuxx 00limlim , 0,0 ux时时当当xxgfy在点在点则复合函数则复合函数)( ,)(可导可导在点在点如果函数如果函数xxgu 可导可导, ,且其导数为且其导数为可导可导, ,定理定理3)()(xguufy 在点在点而而)()(ddxgufxy )0lim( , 0 u, 0 u0 . 0lim0 u 0limx )(uf).(xg 17推广推广),(ufy 设设的的导导数数为为则则复复合合函函数数)(xfy 例例.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解,lnuy uyxydddd u1xxsincos xcot xydd),(vu ),(xv .sin xu xc

12、os函数的求导法则函数的求导法则uyddvudd.ddxvxudd18例例.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解 92)1(10 xy 92)1(10 x.)1(2092 xx例例.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解解 )2(22xaxy2221xa 2221xa )0( ax2)arcsin2(2 axa22112 axa)1(2 x函数的求导法则函数的求导法则)(22 xa ax22212xax 2222xax 2222xaa 19例例.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxyxxy211212

13、 )2(3112 xxx例例.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin x xe1sin.1cos11sin2xexx )2(31 x xey1sin x1cos)1( x函数的求导法则函数的求导法则200 x,lnxex )()(ln xex 因为因为所以所以 xeln x)ln( x .1 xx1 函数的求导法则函数的求导法则的情形证明幂函数的导数公式的情形证明幂函数的导数公式1)( xx21xxxxxxxctansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1. 常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(cscc

14、sc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 四、基本求导法则与导数公式四、基本求导法则与导数公式课本第课本第93页页函数的求导法则函数的求导法则211)(arcsinxx 211)(arccosxx 211)(arctanxx 211)cotarc(xx 222. 函数的线性组合、积、商的求导法则函数的线性组合、积、商的求导法则函数的求导法则函数的求导法则)(),(xvvxuu 设设都可导都可导, 则则3. 反函数的求导法则反函数的求导法则)(1 )(1yfxf 或或.dd1ddyxxy 内单调、内单调、在某区间在某区间如果函

15、数如果函数yiyfx)( ,0)( yf且且在对应区间在对应区间则它的反函数则它的反函数)(1xfy 且且可导可导.,r ,)()1(vuvu .)()2(vuvuvu ).0()3(2 vvvuvuvu,内也可导内也可导xi234. 复合函数的求导法则复合函数的求导法则,)()()(),(都可导都可导及及且且而而设设xgufxguufy 初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.注注函数的求导法则函数的求导法则的导数为的导数为则复合函数则复合函数)(xgfy ).()()(ddddddxgufxyxuuyxy 或或 利用上述公式及法则初等函数求导问题利用上述公式及法则初等函数求导

16、问题可完全解决可完全解决.24例例.的导数的导数求函数求函数xxxy 解解 y xxx21)211(211(21xxxxxx .812422xxxxxxxxxx )( xxxxxx 21 1()(21 xxxx函数的求导法则函数的求导法则25例例.,可导可导其中函数其中函数的导数的导数求求g xgey1解解 xg1 xge1 2111xxgexg xgexxg121 y xge1 xg1 x1函数的求导法则函数的求导法则26例例).(000sin)(2xfxxxxxf 求求设设解解,0时时 x,0时时 xxxxx0sinlim20 220sinlimxxx 22sin2sinxxxx xxxf

17、2sin)(0)0()(lim)0(0 xfxffx1 所以所以 010sin2sin)(22xxxxxxxf函数的求导法则函数的求导法则27例例.)(sin的导数的导数求函数求函数nnnxfy 解解 y)(sin1nnxn nxcos ).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn )(sin1nnnxnf )(sinnnxf )(sinnx 1 nnx函数的求导法则函数的求导法则28xexeexxxx22sin)1(sin)1(cos 解解 21sin11xex 1sinxex y函数的求导法则函数的求导法则.1sinarctan的导数的导数

18、求函数求函数 xexy29解解),(ufy 设设 yxxf3cos)3(sin3 注注xu3sin uy )(ufx3cos3则则xu .的导数的导数对对不表示不表示xf函数的求导法则函数的求导法则上式中上式中是函数是函数 f 对括号中的中间对括号中的中间变量求导变量求导,? .,3sin可导可导其中函数其中函数的导数的导数求求fxfy )3(sin xf )3(sin)3(sin xfxf30.)(,)(的导数的导数求求是可导函数是可导函数设设xfxeefyf 解解函数的求导法则函数的求导法则 分析分析 这是抽象函数与具体函数相结合的导数这是抽象函数与具体函数相结合的导数, 综合运用函数线性组合、积、商求导法则以及综合运用函数线性组合、积、商求导法则以及 复合函数求导法则复合函数求导法则.)()( xfxeefy