2高斯定理75613410310151613

1、1温故知新温故知新1、亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理的基本内容和意义？的基本内容和意义？3、分析、分析各种场各种场的基本思路是什么？的基本思路是什么？2、梯度、散度和旋度梯度、散度和旋度的物理意义和计算公的物理意义和计算公式式4、静电场静电场 的基本物理量是什么？的基本物理量是什么？5、电场强度、电场强度e的旋度的旋度是多少，说明什么？是多少，说明什么？6、标量电位标量电位的定义？它的提出有何意义？的定义？它的提出有何意义？2第一章第一章 静电场静电场实验实验基础基础与理论与理论基础基础静电场的静电场的基本方程基本方程基本方程的基本方程的解解应用应用1.1电场强度，电位电场强度，电位1.2高斯定律高

2、斯定律1.3 静电场的基本方程，静电场的基本方程， 分界面上的衔接条件分界面上的衔接条件1.4 静电场边值问题，唯一性定理静电场边值问题，唯一性定理1.5 分离变量法分离变量法1.6 有限差分法有限差分法1.7 镜像法和电轴法镜像法和电轴法1.8电容和部分电容电容和部分电容1.9静电能量与力静电能量与力 31.2高斯定理高斯定理1.2.1 静电场中的导体静电场中的导体1.2.2 静电场中的电介质静电场中的电介质1.2.3 高斯定理高斯定理41.2.1 静电场中的导体静电场中的导体导体的特点导体的特点：有大量自由电子。有大量自由电子。看录像，思考：导体在外电场中达到看录像，思考：导体在外电场中达

3、到静电平衡静电平衡1、导体中的、导体中的电荷和场强电荷和场强如何分布？如何分布？电荷只电荷只分布在导体表面分布在导体表面导体导体内部场强内部场强处处为处处为0；导体表面任意一点的场强方向导体表面任意一点的场强方向与表面与表面垂直垂直;导体为一个导体为一个等位体等位体，导体表面，导体表面为一个为一个等位面等位面;e导导体体e引起电荷移动引起电荷移动5静电屏蔽静电屏蔽的原理的原理2、有空腔的、有空腔的导体壳导体壳带电体带电体 a 在在空腔导体空腔导体 b 外外正、负感应电荷分布正、负感应电荷分布在在 b 的外表面上。的外表面上。a+ +-+be内内=0带电体带电体 a 在在空腔导体空腔导体 b 内

4、内-+ +a正、负感应电荷分布在正、负感应电荷分布在 b 的内、外表面上。的内、外表面上。63.3.导体表面电荷密度导体表面电荷密度 与该处与该处 e e表表的大小成正比。的大小成正比。在导体外紧靠导体表面的一点在导体外紧靠导体表面的一点 p :p 导导体体e表表0表e4.4.孤立带电导体表面电荷分布孤立带电导体表面电荷分布处在静电处在静电平衡时平衡时, ,在导体表面在导体表面凸出凸出的尖锐部分的尖锐部分电荷电荷面密度面密度 较大较大; ;在比较平坦部分电荷面在比较平坦部分电荷面密度密度 较小。较小。7 任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不变的。任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不

5、变的。 （ ） 一导体的电位为零，则该导体不带电。一导体的电位为零，则该导体不带电。 （ ） 接地导体都不带电。（接地导体都不带电。（ ） 静电场中的导体静电场中的导体8无极性分子无极性分子有极性分子有极性分子1、电介质的特点：、电介质的特点：在电场作用下：电介质在电场作用下：电介质分子旋转或拉伸分子旋转或拉伸， 正负电荷中心不再重合，形成正负电荷中心不再重合，形成电偶极子电偶极子。1.2.2 静电场中的电介质静电场中的电介质电子被原子核束缚，不能自由活动；电子被原子核束缚，不能自由活动；看录像，思考：将一块看录像，思考：将一块电介质电介质放入放入外电场外电场中的表现？中的表现？9思考：思考：

6、外加电场后，介质发生极化，形成外加电场后，介质发生极化，形成附加附加电场电场，破坏原电场分布。，破坏原电场分布。怎样计算怎样计算电介质极化电介质极化后产生的电场？后产生的电场？方向由负电荷指向正电荷。方向由负电荷指向正电荷。vppv 0lim极极化化率率，无无量量纲纲: 0 ep 定义：定义：极化强度为极化强度为定义：矢量定义：矢量电偶极矩电偶极矩dqp 2041reprp 可计算出，单个电偶极子产可计算出，单个电偶极子产生的电位为：生的电位为：怎样衡量怎样衡量电介质极化电介质极化的强弱？的强弱？10 - q +qp0zr2r1r d例：电偶极子的电场例：电偶极子的电场思路：由电位求场强。思路

7、：由电位求场强。 - q +q dp0zr2r1r211202010444rrrrqrqrqp 解：解： 当当dr时：时：r2 - r1dcos r2 r1 r220cos4rdqp 2041reprp e = - 11介质中体积元介质中体积元 v 产生的电位为：产生的电位为：vrepreprr 20204141整个介质产生的电位为：整个介质产生的电位为： vrvdrep2041 12 vvdrp)1(410 dq0 xyzpr rr整个介质产生的电位：整个介质产生的电位： vrvdrep2041 rerr rezzyyxx 222)()()(rr11 矢量恒等式：矢量恒等式：aaa )(1/

8、rp vvvdprvdrp1)(410 2rer vsvdrpsdrp410 vsnvdrpsdrep410 ne p p13整个介质产生的电位：整个介质产生的电位： vsnvdrpsdrep410 p p1.在有介质存在的空间中，任意点的电场是由在有介质存在的空间中，任意点的电场是由自由电自由电荷、极化电荷荷、极化电荷共同在共同在真空真空中产生的中产生的电场的叠加电场的叠加；peppnp 3. 极化电荷的总和为极化电荷的总和为00)( vsvpspvdpsdpvdsd 2. 极化电荷的体密度为极化电荷的体密度为 p、面密度为、面密度为 p结论：结论：141 1、自由电荷与束缚电荷的区别是什么

9、？、自由电荷与束缚电荷的区别是什么？2 2、电介质的极化和导体的静电感应有何不同？、电介质的极化和导体的静电感应有何不同？3 3、如何考虑电介质和导体在静电场中的效应？、如何考虑电介质和导体在静电场中的效应？导体导体自由电荷自由电荷自由移动自由移动静电感应静电感应电介质电介质束缚电荷束缚电荷不能自由移动不能自由移动 电偶极子电偶极子极化极化电荷重新分布电荷重新分布附加电场附加电场附加电场附加电场导体导体表面静电感应电荷表面静电感应电荷在导体内部与外电场在导体内部与外电场处处处处抵消抵消e0电介质电介质束缚电荷极化束缚电荷极化在电介质内部在电介质内部削弱削弱外电场外电场合电场不为零合电场不为零1

10、51、真空中的高斯定理：、真空中的高斯定理： 点电荷点电荷q、闭合面为以点电荷所在处为球心的球面：、闭合面为以点电荷所在处为球心的球面： ssde 点电荷点电荷q、闭合面为任意形状、闭合面为任意形状：0 qsdes n个点电荷、闭合面为任意形状个点电荷、闭合面为任意形状： snkkssdesde)(1 电荷连续分布、闭合面为任意形状电荷连续分布、闭合面为任意形状： dqsdes01 srsdreq204 srrdseerq204 0 q nkknkskqsde1011 结论：结论：在真空中，由任意闭合面穿出的在真空中，由任意闭合面穿出的e通量，等于该闭合面内所有通量，等于该闭合面内所有电荷的代

11、数和除以真空的介电常数电荷的代数和除以真空的介电常数1.2.3 高斯定理高斯定理16电介质电介质表面表面s为电介质中一假想闭合面，不包含介质的表面；为电介质中一假想闭合面，不包含介质的表面；自由电荷自由电荷q1 、 q2 、 q3分布在导体表面分布在导体表面s1 、 s2 、 s3上：上： ssde 321321sssspvvvvppdsdvq )(10pqq sq1q2q3s1s2s3 321321ssspspvvvvpdsdsdv 0 321321sssnvvvvdsepdvp 321321sssnsnsssndsepdsepdsep sndsep0 sssdpqsde ssdp2、介质中

12、的高斯定律、介质中的高斯定律170 sssdpqsdeqsdpes )(0 定义：电通量密度，电位移矢量定义：电通量密度，电位移矢量ped0qdssd 在在静电场静电场中（无论在真空还是介中（无论在真空还是介质中，不管介质均匀与否），由任意质中，不管介质均匀与否），由任意闭合面穿出的闭合面穿出的d通量，等于该闭合面通量，等于该闭合面内所有内所有自由电荷自由电荷的的代数和代数和，与所有极，与所有极化电荷及闭合面外的自由电荷无关。化电荷及闭合面外的自由电荷无关。高斯通量定高斯通量定理理的微分形式的微分形式 d在在静电场静电场中，任意一点的中，任意一点的d的散度等于该点的的散度等于该点的自由电荷体密

13、度自由电荷体密度。高斯通量定高斯通量定理理的积的积分形式分形式d= 0 ( 1+ ) e= 0 re= e线性、各向同性：线性、各向同性： p= 0 e 电介质的介电常数；（电介质的介电常数；（f/m） r电介质的相对介电常数，无量纲电介质的相对介电常数，无量纲18 实际中经常使用介电常数的相对值，这种相实际中经常使用介电常数的相对值，这种相对值称为相对介电常数，以对值称为相对介电常数，以 r 表示，其定义为表示，其定义为e0r1 可见，任何介质的相对介电常数总是可见，任何介质的相对介电常数总是大于大于1。下。下表给出了几种介质的相对介电常数的近似值。表给出了几种介质的相对介电常数的近似值。介

14、介 质质介介 质质空空 气气1.0石石 英英3.3油油2.3云云 母母6.0纸纸1.34.0陶陶 瓷瓷5.36.5有机玻璃有机玻璃2.63.5纯纯 水水81石石 腊腊2.1树树 脂脂3.3聚乙烯聚乙烯2.3聚苯乙烯聚苯乙烯2.6 r r r r19图示平行板电容器中放入一块介质后，其图示平行板电容器中放入一块介质后，其d 线、线、e 线和线和p 线的分布。线的分布。 d 线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷； p 线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。 e 线由正电荷出发，终止于负电荷；线由正电荷出发，

15、终止于负电荷；d线e线p线d、e与与 p 三者之间的关系三者之间的关系3、 d 线、线、e 线和线和p 线：线：201 1、电场强度在电介质内部是增加了，还是、电场强度在电介质内部是增加了，还是减少了？减少了？2 2、说明、说明e、p与与d三矢量的物理意义。三矢量的物理意义。e与介质有关，与介质有关，d与介质无关的说法对吗？与介质无关的说法对吗？21e是电场强度是电场强度，其物理意义是从力的角度描述静电场，其物理意义是从力的角度描述静电场特性物理量。其定义为静电场中任一点单位正电荷所特性物理量。其定义为静电场中任一点单位正电荷所受到的电场力。受到的电场力。 p是电极化强度是电极化强度，其物理意

16、义是描述电介质中任一点，其物理意义是描述电介质中任一点电极化强弱的物理量。电极化强弱的物理量。d是电位移矢量是电位移矢量，是一个，是一个辅助辅助物理量，其本身并没有物理量，其本身并没有明确的物理意义，然而引入它可以明确的物理意义，然而引入它可以方便方便地表达出任一地表达出任一点的场量与场源之间的关系，即电位移矢量的散度等点的场量与场源之间的关系，即电位移矢量的散度等于该点分布的自由电荷体密度。于该点分布的自由电荷体密度。e和和d的分布都与介质有关的分布都与介质有关。但是穿过闭合曲面的。但是穿过闭合曲面的d通通量仅与该闭合面所包围的自由电荷有关，而与介质中量仅与该闭合面所包围的自由电荷有关，而与

17、介质中的束缚电荷无关。的束缚电荷无关。221d1ssd2d2ssdrrqeddd23214q q d 通量只取决于高斯面内通量只取决于高斯面内的自由电荷，而高斯面上的的自由电荷，而高斯面上的 d 是由高斯面内、外的系统是由高斯面内、外的系统所有电荷共同产生的。所有电荷共同产生的。点电荷点电荷q分别置于金属球壳的内外分别置于金属球壳的内外点电荷的电场中置入任意一块介质点电荷的电场中置入任意一块介质q q23qqq点电荷点电荷q在高斯面在高斯面 s 内位置不同内位置不同, d的通量的通量有何变化有何变化?24高斯定律的表达式中高斯定律的表达式中,0 iisqsdee左方的场强左方的场强 e 是曲面

18、上各面元是曲面上各面元 ds 处的处的场强场强,它是由它是由全部电荷全部电荷(有有封闭曲面内封闭曲面内,又有封闭曲面外的电又有封闭曲面外的电荷荷)产生的产生的合场强合场强。qnqn+idse254、应用高斯定律的、应用高斯定律的解题步骤解题步骤:应用高斯通量定律可很简捷地求解对称场的分布。应用高斯通量定律可很简捷地求解对称场的分布。qsdds 1.根据电荷分布的对称性根据电荷分布的对称性,分析电场分布的对称性。分析电场分布的对称性。2.选好通过场点的封闭曲面选好通过场点的封闭曲面(高斯面高斯面)。3.应应用高斯定律用高斯定律, ,找准找准高斯面内包围的电荷量高斯面内包围的电荷量,即可求得场强即

19、可求得场强 e 。26试问：试问： 能否选取正方形的高斯面求解球对称场能否选取正方形的高斯面求解球对称场( (a) )( (b) )( (c) )图图1. 1. 球对称场的高斯面球对称场的高斯面 (a)(a) 球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。心球壳等。5、高斯面的选取方法、高斯面的选取方法:27 ( (b)b) 轴对称分布：包括无限长均匀带电的直线，圆轴对称分布：包括无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。柱面，圆柱壳等。图图2. 2. 轴对称场的高斯面轴对称场的高斯面28(c)(c)无限大平面电荷：包括无限大的均匀带电平面，无

20、限大平面电荷：包括无限大的均匀带电平面，平板等。平板等。( (a a) )( (b b) )( (c c) )图图3. 3. 平行平面场的高斯面平行平面场的高斯面试问：试问：能否选取底面为方型的封闭柱面为高斯面？能否选取底面为方型的封闭柱面为高斯面？29 真空中有两个同心金属真空中有两个同心金属球壳球壳，内球壳半径，内球壳半径r1，带电，带电q1，外球，外球壳半径壳半径r2，壳厚，壳厚 r2，带电，带电q2，求场中各处，求场中各处电场电场及及电位电位。qsdds r1r2 r2q1分析电荷分布情况分析电荷分布情况 ：-q1q1+q2求场强分布情况：求场强分布情况： （方向、对称性）方向、对称性

21、）以与球壳同心、半径为以与球壳同心、半径为r的球面为闭合面的球面为闭合面 srsded sdsd24 rd a. r r1： q=0 d=0 e=0b. r1 r r2： q=q1214 rqd rerqe2014 c. r2 r r2+ r2 ： q= q1+q22214 rqqd rerqqe20214 er0 r1r2r2+ r2 例例1解解:30r1r2 r2q1求各处电位：求各处电位： -q1q1+q22014rq 20214rqq er0 r1r2r2+ r2 以无限远处为参考点，电位为以无限远处为参考点，电位为0： pplde a. r r2+ r2 ：b. r2 r r2+ r

22、2 ：c. r1 r r2 ：d. r =r1 ：dreerqqrrr 20214 )(4220212rrqq 220124 dreerqrrrrrqq0214 )(4)11(422021201rrqqrrq )(4)11(42202121011rrqqrrq )(4)111(42202222101rrqrrrrq 31 同轴电缆有两层绝缘体，分界面也是同轴圆柱面，同轴电缆有两层绝缘体，分界面也是同轴圆柱面，尺寸如图。内外导体之间的电压为尺寸如图。内外导体之间的电压为u，求场中各处电场。，求场中各处电场。qsdds 求场强分布情况：求场强分布情况： （方向、对称性）方向、对称性）作半径为作半径

23、为r、长为、长为l的同轴圆柱面（包括两个底面）的同轴圆柱面（包括两个底面） 两两个个底底面面圆圆柱柱面面sddsdedsr sdsd圆圆柱柱面面rld 2 a. r r1： =0 d=0 e=0b. r1 r r2：rd 2 rere112 c. r2 r r3： =0 d=0 e=0er0 r1r2r3r1r2 1r3 20= lrd 2 rere222 dreeedreeeurrrrrrrr 322121232121ln2ln2rrrr e例例2分析电荷和场分布情况分析电荷和场分布情况 ：解解:32 2、圆圆 柱柱 形形 电电 容容 器器 外外 导导 体体 的的 半半 径径 为为 1cm，

24、 内内 外外 导导 体体 之之 间间 充充 满满 击击 穿穿 强强 度度 为为 1.8103kv/m的的 电电 介介 质，质， 试试 确确 定定 该该 电电 容容 器器 能能 承承 受受 最最 大大 电电 压压 时时 的的 内内 导导 体体 的的 半半 径径 a a 为为 多多 少？少？ 并并 求求 能能 承承 受受 的的 最最 大大 电电 压压 值。值。 33解：解： 设设 外外 导导 体体 半半 径径 为为 b， 单单 位位 长长 度度 上上 导导 体体 所所 带带 电电 荷荷 量量 为为，则，则 由由 高高 斯斯 定定 理理 可可 知：知：eraarear 22max ( 最最 大大 场

25、场 强强 在在ra处）（处）（4） 则则 (8)(10)dd=uaebamax（ln 1） 0abe 0 368. cmubeemaxmax. 66 24 kvuaerraebaab maxmaxln1d34ra真空中有电荷以体密度真空中有电荷以体密度 均匀分布于一半径为均匀分布于一半径为a a的球中，试求球内外的电场强度及电位。的球中，试求球内外的电场强度及电位。ra4 r2 d=4 a3 /3rraed233rraee2033例例3020262dd rarerearaar033d rarearr35无限大平面均匀带电，电荷面密度为无限大平面均匀带电，电荷面密度为，求电场强度。，求电场强度。解解：（：（1 1）电荷分布具有平面对称性）电荷分布具有平面对称性选取直角坐标选取直角坐标（2 2）电场垂直于带电平面）电场垂直于带电平面（3 3）以带电平面为对称面，作一平行六）以带电平面为对称面，作一平行六面体，设其侧面面积为面体，设其侧面面积为s。x02ssesesexxxsssd1d0se02xes0结论：无限大均匀带电平面在两侧产生反向匀强电场结论：无限大均匀带电平面在两侧产生反向匀强电场-x o xs例例436求线电荷密度为求线电荷密度为l的无限长带电直线的电场。的无限长带电直线的电场。解：解：（1 1）建立适当的坐标系）建立适当的坐标系电荷分布具有轴对称