复变函数第六讲

1、第六讲解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系 在在3.63.6我们证明了在我们证明了在d内的解析函数内的解析函数,其导数其导数仍为解析函数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节所以解析函数有任意阶导数。本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系。的关系。内内 容容 简简 介介3.7 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系.),()00:),(2222内内的的调调和和函函数数为为则则称称即即（方方程程续续偏偏导导数数且且满满足足内内具具有有二二阶阶连连在在若若二二元元实实变变函函数数dyxyxlaplacedyx 定义

2、定义内的调和函数。内的调和函数。是是，内解析内解析在区域在区域若若dyxvvyxuudyxivyxuzf),(),(),(),()( 定理定理证明：证明：设设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域在区域d内解析，则内解析，则xvyuyvxurc 方方程程由由yxvyuxyvxu 222222从从而而有有xyvyxvyxvyxu 22.),(),(具具有有任任意意阶阶的的连连续续导导数数理理由由解解析析函函数数高高阶阶导导数数定定, 0 d2222 yuxu内有内有故在故在0 2222 yvxv同理有同理有0, 0 vu2222yx 其其中中即即u及及v 在在d内满足拉普拉斯内满足拉普

3、拉斯(laplace)方程方程:内内的的调调和和函函数数。是是，dyxvvyxuu),(),( .),(),(d,),(的的共共轭轭调调和和函函数数为为函函数数内内构构成成解解析析函函数数的的调调和和在在称称使使得得内内的的调调和和函函数数为为设设yxuyxvivudyxu 定义定义上面定理说明：上面定理说明：.部部的的共共轭轭调调和和函函数数内内解解析析函函数数的的虚虚部部是是实实d.),(),(),(),()(,的的共共轭轭调调和和函函数数必必为为内内在在内内解解析析在在即即yxuuyxvddyxivyxuzf 由解析的概念得：由解析的概念得：.,:的的共共轭轭调调和和函函数数必必为为调调

4、和和函函数数的的两两个个方方程程内内满满足足在在uvvuvuvurcdxyyx ., 一一定定解解析析内内就就不不在在则则内内的的两两个个调调和和函函数数区区域域是是任任意意选选取取的的在在若若divudvu 现在研究反过来的问题：现在研究反过来的问题：.的的共共轭轭调调和和函函数数不不是是yxuyxv 如如)11)()()(xyyxvuvuzyxiyxivuzf 处处不解析处处不解析平面上平面上在在（由由此此，的的共共轭轭调调和和函函数数必必须须是是方方程程，即即还还必必须须满满足足及及内内解解析析在在要要想想使使.,uvrcvudivu .),(),(ivuyxvrcyxu 从从而而构构成

5、成解解析析函函数数程程可可求求得得它它的的虚虚部部方方利利用用部部已已知知一一个个解解析析函函数数的的实实),(yxv虚虚部部),(yxu实实部部0,),(,2222 yuxudyxud则则函函数数内内的的调调和和是是区区域域一一单单连连通通区区域域设设内内有有连连续续一一阶阶偏偏导导数数在在、即即dxuyu ,dyxudxyudyyvdxxvxuxyuy )()(且且),(yxdvv )(),(),(),(00 cdyxudxyuyxvyxyx.内内解解析析在在方方程程满满足足divurcxuyvyuxv .)(),()(,),( 内解析内解析在在使得使得式所确定的式所确定的则则内调和函数内

6、调和函数在单连通在单连通设设divuzfyxvdyxu 定理定理a 公式不用强记！可如下推出：公式不用强记！可如下推出：dyxvdxyvdyyvdxxvdurc 方方程程由由然然后后两两端端积积分分。由由求求其其共共轭轭调调和和函函数数已已知知：方方程程dyudxudyyvdxxvdvyxvyxuxyrc :),(),(类似地，类似地， 然后两端积分得，然后两端积分得，)(),(),(),(00 cdyvdxvyxuyxyxxya 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解析函数的

7、关系。析函数的关系。iifyxyxuivuzf 1)()(22由由下下列列条条件件求求解解析析函函数数例例1dyyxdxxydyyvdxxvdvxyyuxvyxxuyv)2()2(22 解解cyxyxcdyyxxdxcdyyxdxxyyxvyxoyx 222)2()2()2(),(220),()0,0(曲线积分法曲线积分法icziiciyxiiyxcyxyxixyyxzf 2222222)211()(2)()21221()()(故故2)21()(211)21(1)(22izizfciiciiiif 代代入入上上式式得得，a )(21),(21zziyzzx )22(22222yxddxyydy

8、xdxxdyydx dyyxdxxydyyvdxxvdv)2()2( 又解又解cyxyxyxv 222),(22)21221()()(2222cyxyxixyyxzf 凑凑全全微微分分法法)(2222xyxyvyxyv )21221()()(2222cyxyxixyyxzf 又解又解偏偏积积分分法法xyxyxvxv 2)( 2 cxx 2)(2 cxyxyyxv 222),(22xx )( )2()2()( yxiyxiuuivuzfyxxx )21221()()(2222cyxyxixyyxzf 又解又解不不定定积积分分法法)(2()()(2iyxiiyxiiyx zi 2iczizf 22

9、2)(& 1. 复数列的极限复数列的极限& 2. 级数的概念级数的概念第第 四四 章章 级级 数数ch44.1 复数项级数复数项级数 1. 复数列的极限复数列的极限定义定义,), 2 , 1(nnnniban 其其中中设设复复数数列列： ，iba 又设复常数：又设复常数：时时的的极极限限，当当称称为为复复数数列列那那么么，恒恒有有若若 nnnnnn, 0, 0 定理定理1.lim,limlimbbaannnnnn 证明证明 nnnnnn恒恒有有即即，”已已知知“, 0, 0lim.,lim 收收敛敛于于此此时时，也也称称复复数数列列时时，或或当当记记作作nnnnn .lim,l

10、im)()()()(22bbaabbaabbaabbiaannnnnnnnnnnnn 故故又又 .lim)()(22, 0, 0lim,lim nnnnnnnnnnnnnbbaabbiaabbaannnbbaa故故又又，恒恒有有即即，”已已知知“2. 级数的概念级数的概念 nnn 211 niinns121 级数的前面级数的前面n项的和项的和-级数的部分和级数的部分和称为级数的和称为级数的和ssnn lim称称为为收收敛敛级级数数 1nn 不收敛不收敛称称为为发发散散级级数数 1nn -无穷级数无穷级数定义定义), 2 , 1( nibannn 设复数列：设复数列： 收收敛敛若若部部分分和和数

11、数列列ns例例1解解的敛散性。的敛散性。判别判别 123nniisiisnnnnjjn3lim),211(3231 又又.3,i且且和和为为级级数数收收敛敛定理定理2都都收收敛敛。和和收收敛敛级级数数 111nnnnnnba 都收敛。都收敛。和和由定理，由定理， 111111lim,limlim)(nnnnnnnnnnnnnkknkkknkknkknbabaibasibiaibas 证明证明a 由定理由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。两个实数项级数的收敛问题。. 0lim: nn 收收敛敛的的必必要要条条件件级级数数 1nn 性质性

12、质定理定理3.1111 nnnnnnnn 收收敛敛，且且收收敛敛若若证明证明222222,nnnnnnnnnnnbabbaabaiba 收敛。收敛。得得由定理由定理均绝对收敛，均绝对收敛，和和由比较判定法由比较判定法 1112nnnnnnba 1111,nnnnnkknkk a 收敛.收敛.收敛收敛若若 11nnnn ?)1(:(1 nnni例例如如定义定义.11111条条件件收收敛敛为为收收敛敛，则则称称发发散散，而而若若为为绝绝对对收收敛敛；收收敛敛，则则称称若若 nnnnnnnnnn 由定理由定理3的证明过程，及不等式的证明过程，及不等式:22有有nnnnbaba 定理定理4都都收收敛敛

13、。和和收收敛敛级级数数 111nnnnnnba 解解.)1(111)1(1121发发散散收收敛敛，发发散散， nnnninnn绝绝对对收收敛敛。收收敛敛， 000!)8(!8!8)2(nnnnnnninni.)2)1(21)1()3(111收收敛敛收收敛敛，收收敛敛， nnnnnnninn例例2否否绝绝对对收收敛敛？下下列列级级数数是是否否收收敛敛？是是 011)2)1()3(!)8()2()1(1)1(nnnnnninninin.)1(1原原级级数数非非绝绝对对收收敛敛收收敛敛，条条件件又又 nnn例例3的敛散性。的敛散性。讨论讨论 0!nnnz解解敛。敛。在复平面上处处绝对收在复平面上处处

14、绝对收令令 000!,nnrnnnnnzenrnzrz练习：练习：的敛散性。的敛散性。讨论讨论 011nnien 的敛散性。的敛散性。讨论讨论 02cosnnin2cosnneein & 1. 幂级数的概念幂级数的概念& 2. 收敛定理收敛定理& 3. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径& 4. 收敛半径的求法收敛半径的求法& 5. 幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质4.2 幂级数幂级数1. 幂级数的概念幂级数的概念定义定义设复变函数列：设复变函数列：)1()()()()(211 zfzfzfzfnnn, 2 , 1,)( ndzzfn-称为复变函数项级

15、数称为复变函数项级数级数的最前面级数的最前面n项的和项的和 nkknnzfzfzfzfzs121)()()()()(-级数的部分和级数的部分和,)1()(lim),(,)1(),()(lim000000发发散散不不存存在在，称称级级数数其其和和为为收收敛敛在在称称级级数数若若zszszzszsdznnnn 若级数若级数(1)在在d内处处收敛，其和为内处处收敛，其和为z的函数的函数)()()()(21zfzfzfzsn -级数级数(1)的和函数的和函数特殊情况，在级数特殊情况，在级数(1)中中得得nnnzzczf)()(0 ) 2()(00 nnnzzc)3(000 nnnzcz当当称为幂级数称

16、为幂级数并并不不失失一一般般性性。研研究究级级数数中中令令在在)3()2()2(00 kknczz 2. 收敛定理收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理定理1 (阿贝尔阿贝尔(able)定理）定理）.,)0(000级级数数必必绝绝对对收收敛敛的的则则对对满满足足收收敛敛在在若若级级数数zzzzzzcnnn .,00级级数数必必发发散散的的则则对对满满足足发发散散若若级级数数在在zzzzz ,2,1 ,0,max00202010 nmzczczczccmnnnn故故取取 证明证明，即即则则收收敛敛0lim,)1(000 nnnnn

17、nzczc nnzcnnn000，恒恒有有，1,00 qzzzz则则若若,00nnnnnnmqzzzczc ,0收收敛敛由由于于 nnmq,0收收敛敛由由比比较较判判别别法法得得 nnnzc绝对收敛。绝对收敛。 0nnnzc(2)用反证法，用反证法，3. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径收敛，收敛，有，有设设 01011,nnnzczzz由由able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，级数若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处在复平面上处处收敛。处收敛。！收收敛敛与与假假设设矛矛盾盾，得得证证知知由由 00)1(

18、nnnzc(ii )除除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数级数(3)在复平面上除在复平面上除z=0外处处发散。外处处发散。.)3(:)3(:发发散散数数外外，级级在在圆圆周周收收敛敛；内内，级级数数定定理理，在在圆圆周周由由 zczcable., 0, 0)(00发发散散使使得得收收敛敛使使得得 nnnnnncciii 显然，显然， 否则，级数否则，级数(3)将在将在 处发散。处发散。将收敛部分染成红色，发散将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，部分染成蓝色， 逐渐变大，逐渐变大，在在c c 内部都是红色内部都是红色, , 逐渐变逐渐变小，在小

19、，在c c 外部都是蓝色，外部都是蓝色，红、蓝色不会交错。红、蓝色不会交错。故故蓝两色的分界线。蓝两色的分界线。为红、为红、一定一定,rzcr ： 播放播放rrca ( (i) )幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析。要具体分析。定义定义这个红蓝两色的分界圆周这个红蓝两色的分界圆周cr叫做幂级数的叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半径收敛圆；这个圆的半径r叫做幂级数的收敛半径。叫做幂级数的收敛半径。(ii)幂级数幂级数(3)的收敛范围是以的收敛范围是以0为中心，半径为为中心，

20、半径为r的圆域；幂级数的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以的收敛范围是以z0为中心为中心,半径半径为为r的圆域的圆域.4. 收敛半径的求法收敛半径的求法的的收收敛敛半半径径求求法法，有有关关于于幂幂级级数数)3(0 nnnzc 定理定理2(比值法比值法) 000/1lim1rccnnn，则，则若若zzcczczcinnnnnnnn 111limlim, 0)(证明证明发发散散，时时时时，即即当当绝绝对对收收敛敛；时时即即时时当当 00,11,1,1nnnnnnzczzzczz !,01矛矛盾盾收收敛敛 nnnzc.1:0也也发发散散时时，当当以以下下证证 nnnzcz ,1,000收收，外外有有

21、一一点点设设在在用用反反证证法法 nnnzczz :1,011定理得定理得，由，由满足满足再取一点再取一点ablezzz .1,10 rzcznnn故故发散发散时，时，当当即即发发散散 ,00 nnnzc收收敛敛都都有有时时，对对若若 00)(nnnzczii ;0 rzcnnn故故在复平面上处处收敛，在复平面上处处收敛，.,0)(00也也发发散散发发散散，从从而而有有外外，对对一一切切时时，除除当当 nnnnnnzczczziii . 0!0,001101000 rzczzzzcznnnnnn故故收收敛敛，矛矛盾盾，满满足足则则收收敛敛否否则则，如如果果有有一一点点 定理定理3(根值法根值法

22、) 000/1limrcnnn，则，则若若 定理定理3(根值法根值法) 000/1limrcnnn，则，则若若 定理定理2(比值法比值法) 000/1lim1rccnnn，则，则若若例例1的收敛范围及和函数。的收敛范围及和函数。求幂级数求幂级数 nnnzzzz201121 nnzzzs又又zzn 11解解11lim1 rccnnn.11lim, 0lim1zszznnnn 时，时，当当., 0lim1级级数数发发散散时时，当当 nnzz 综上综上 .1;111,0时时当当发散发散时时当当且和函数为且和函数为收敛收敛zzzznn例例2 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形求下列幂级数的收

23、敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解解 (1); )0() 1 (1 npnpnz;)1)(ch)2(1 nnzni.)ln()3(1nninz nnncc1lim 1)1(lim pnnn1 r,1时时当当 z,1时时当当 z,)1(1 nnn级级数数为为,11 nn级级数数为为该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散p=1p=2,1上上在在圆圆周周 z 1122,1nnnnnz是是收收敛敛的的该级数在收敛圆上是该级数在收敛圆上是处处处处收敛的。收敛的。nninnineenicninin1cos1sin1cos1sin1cos21)(21ch)2( nnncc1lim 11cos11coslim nnn1 r,11上上在在圆圆周周 z 11)1(cos)1)(ch(nninnenzni 1)1)(ch(, 0)1(coslimnninnznien发发散散。 综上综上该级数发散。该级数发散。该级数收敛，该级数收敛，时时，当当11 z时时，当当11 z;)1)(ch)2(1 nnzni222)2(ln1ln1nnnninc r222lnln2ln)arg(ln)ln()3( ninininiinin其其中中：nnnnnnnc222)2(ln1limlim 故故0)2(ln1lim2122 nn.)ln()3(1nninz 故该级数在复平面上是处处收敛的故该级数在复平面上是处处收敛