第一节微分中值定理78443

1、第三章第三章中值定理中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题利用导数解决实际问题罗尔中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理泰勒公式泰勒公式 (第三节)推广推广微分中值定理微分中值定理 与与导数的应用导数的应用 一、罗尔一、罗尔( rolle )定理定理第一节第一节二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西三、柯西(cauchy)中值定理中值定理 中值定理中值定理 费马费马(fermat)引理引理一、罗尔一、罗尔( rolle )定理定理,)(0有定义有定义在在x且且 )(0 xf 存在存在, )()(0 xf

2、xf )( 或或0)(0 xf证证: 设设, )()(, )(0000 xfxxfxxx 则则)(0 xf xxfxxfx )()(lim000)0( x)(0 xf )0( x)(0 xf 0 0 0)(0 xfxyo0 x)(xfy 证毕证毕由保号性由保号性罗尔（罗尔（ rolle ）定理）定理)(xfy 满足满足:(1) 在区间在区间 a , b 上连续上连续(2) 在区间在区间 (a , b) 内可导内可导(3) f ( a ) = f ( b ),使使. 0)( f在在( a , b ) 内至少存在一点内至少存在一点:例如例如322 xxxf)(.)()(13 xx,3,1上连续上连

3、续在在 ,)3,1(内可导内可导在在 ,0)3()1( ff且且,)()(12 xxf )3,1(1,1 取取.)(0 fab1 2 xyo)(xfy c证证.)1(mm 若若,)(连连续续在在baxf.mm 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(mxf 则则. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都都有有.)2(mm 若若),()(bfaf .取得取得最值不可能同时在端点最值不可能同时在端点),(afm 设设.)(),(mfba 使使内至少存在一点内至少存在一点则在则在),()( fxf, 0)()( fxf, 0 x若若; 0)()( xfxf 则有则有, 0 x若若;

4、0)()( xfxf 则有则有; 0)()(lim)(0 xfxffx; 0)()(lim)(0 xfxffx,)(存存在在 f ).()( ff. 0)( f只只有有几何解释几何解释: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧cabc注意注意:1) 定理条件条件不全具备定理条件条件不全具备, 结论不一定成立结论不一定成立. 例如例如, 1,010,)(xxxxfx1yo1 ,1)( xxxf1 ,0)( xxxfx1yo1x1yo例例1. 证明方程证明方程0155 xx,15)(5 xxxf. 3)1(,1)0(

5、 ff, 0)(0 xf, )1,0(011xxx )1(5)(4 xxf),1,0(, 0 x有且仅有有且仅有一个小于一个小于1 的的正实根正实根 .证证: 1) 存在性存在性 .则则)(xf在在 0 , 1 连续连续 , 且且由介值定理知存在由介值定理知存在, )1 ,0(0 x使使即方程有小于即方程有小于 1 的正根的正根.0 x2) 唯一性唯一性 .假设另有假设另有, 0)(1 xf使使在以在以)(xf10, xx为端点的区间满足罗尔定理条件为端点的区间满足罗尔定理条件 ,之之间间在在10, xx至少存在一点至少存在一点, .0)( f使使但但矛盾矛盾, 故假设不真故假设不真!设设二、

6、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理(1) 在区间在区间 a , b 上连续上连续)(xfy 满足满足:(2) 在区间在区间 ( a , b ) 内可导内可导至少存在一点至少存在一点, ),(ba 使使.)()()(abafbff xyoab)(xfy abafbfk )()(几何解释几何解释: :.,abcab线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧设设: : -连接两端点弦的斜率连接两端点弦的斜率ab )( 思路思路: 利用利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数作辅助函数显然显然 ,)(x在在

7、a , b 上连续上连续 , 在在 ( a , b ) 内可导内可导, 且且证证: 问题转化为证问题转化为证 )(x )(xfkx )(a 由罗尔定理知至少存在一点由罗尔定理知至少存在一点, ),(ba ,0)( 使使即定理结论成立即定理结论成立 ., )(b abbfaafb )()(abafbfkf )()()( 即要证即要证: : 0)( kf ,0)( )( kf 拉格朗日中值定理的其它形式拉格朗日中值定理的其它形式:abafbff )()()( (1)( )()(abfafbf ),(ba 比如比如: ablnln)(1ab 11e),(ba e)1 , 0( abarctanarc

8、tan )(112ab ),(ba )10()(0 xxxfy,00 xxbxa (2)令令则则)( )()(00 fxfxxf x(3)介于介于00 xxx与与 之间之间. 介于介于00 xxx与与 之间之间, 必有必有 10 , 使使 xx 0)( )()(abfafbf .的精确表达式的精确表达式增量增量 y 拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理. .拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式. .微分中值定理微分中值定理推论推论: (1)若函数若函数在区间在区间 i 上满足上满足,0)( xf则则)(xf在在 i 上必为常数上必为常数.

9、)(xf证证: 在在 i 上任取两点上任取两点, )(,2121xxxx 上用拉上用拉在在,21xx日中值公式日中值公式 , 得得0 )()(12xfxf )(12xxf )(21xx )()(12xfxf 由由 的任意性知的任意性知, 21,xx)(xf在在 i 上为常数上为常数 .(2)若若kxf )( ,则则)()(常数常数ckxxf 证证: 令令 ,)()(kxxfx kxfx )( )( 而而 0ckxxfx )()( 所以所以即即ckxxf )(3)若若)( )( xgxf ,则则)()()(常数常数cxgxf )( )( xgxf 0)( )( xgxf0)()( xgxfcxg

10、xf )()(yox例例2. 证明等式证明等式. 1,1,2arccosarcsin xxx 证证: 设设,arccosarcsin)(xxxf 上上则在则在)1,1( )(xf由推论可知由推论可知cxxxf arccosarcsin)( (常数常数) 令令 x = 0 , 得得.2 c又又,2)1( f故所证等式在定义域故所证等式在定义域 上成立上成立. 1, 1211x 211x 0 经验经验: 欲证欲证ix 时时,)(0cxf 只需证在只需证在 i 上上, 0)( xf,0ix 且且.)(00cxf 使使例例3. 证明不等式证明不等式证证: 设设, )1ln()(ttf 上满足拉格朗日上

11、满足拉格朗日在在则则,0)(xtf中值定理条件中值定理条件,即即因为因为故故. )0()1ln(1 xxxxx )0()(fxf)1ln(x xx 0,1 1x xx1x)0()1ln(1 xxxxxxxf 0, )0)(因此应有因此应有 )01ln()1ln(xx 11三、柯西三、柯西(cauchy)中值定理中值定理)(xf及及(1) 在闭区间在闭区间 a , b 上连续上连续(2) 在开区间在开区间 ( a , b ) 内可导内可导(3)在开区间在开区间 ( a , b ) 内内至少存在一点至少存在一点, ),(ba 使使.)()()()()()( ffafbfafbf 满足满足 :)(x

12、f0)( xf0)()()()()()(ffafbfafbf)(分析分析:)()(afbf)(abfba0要证要证)()()()()()()(xfxfafbfafbfx证证: 作辅助函数作辅助函数)()()()()()()(xfxfafbfafbfx)()()()()()()()(bafbfbfafafbfa,),(,)(内可导在上连续在则babax且, ),(ba使使, 0)(即即由罗尔定理知由罗尔定理知, 至少存在一点至少存在一点.)()()()()()(ffafbfafbf思考思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?),(, )()()(baabfafbf),(, )()()(baabfafb

13、f两个 不一定相同错错! !上面两式相比即得结论. 柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义:)()()()()()( ffafbfafbf )(f)(af )()(tfytfx)(af)(bf)(bf)()(ddtftfxy 注意注意:xyo弦的斜率弦的斜率切线斜率切线斜率)0()1(ff )0() 1 (ff例例4. 设设).0()1(2)(fff 2)(01)0()1(fff xxxf)()(2,)(2xxf ,)1 ,0(,1 ,0)(内可导内可导在在上连续上连续在在xf至少存在一点至少存在一点),1,0( 使使证证: 结论可变形为结论可变形为设设则则)(, )(xfxf在在 0, 1 上

14、满足柯西中值上满足柯西中值定理条件定理条件, 因此在因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点内至少存在一点 , 使使)( f )(f012即即)0()1(2)(fff 证明证明.)(xexf则内内满满足足关关系系式式在在若若函函数数证证明明例例),()(:.5 xf,1)0(, )()( fxfxf且且xexfxf)()(,)()(.xexfx 令令证证xxxeexfexfx2)()()( 则则.0. )()(),(常数常数内内所以在所以在cx ,1)0()0(0 ef 又又.1 c.)()(1xexfx .)(xexf例例6. .设,0)(cxf且在),0(内可导, 证明至少存在一点, )

15、,0(使.cot)()(ff提示提示: 由结论可知, 只需证0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf验证)(xf在,0上满足罗尔定理条件.设xxfxfsin)()(0)( fxyoab)(xfy )()()()()()( ffafbfafbf abafbff )()()( xyoab)(xfy小结小结,rolle.1定理定理水平弦水平弦!切线切线的曲线必有与弦平行的的曲线必有与弦平行的处处可切处处可切,lagrange.2定理定理倾斜弦倾斜弦.cauchy)(.3定理定理参数方程参数方程倾斜弦倾斜弦 )()(tfytfxxyoabrolle定理定理lagrange中值定理中值定理cau

16、chy中值定理中值定理xxf )()()(bfaf 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤. .4412 3412思考与练习思考与练习1. 填空题填空题1) 函数函数4)(xxf在区间在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理上满足拉格朗日定理条件条件, 则中值则中值._2) 设设有有个根个根 , 它们分别在区间它们分别在区间341530)( xf)4, 3(, )2,1(, )3,2(上上., )4)(3)(2)(1(

17、)( xxxxxf方程方程:.2证明不等式证明不等式, |tanarctanarc|. )(baba1.,1. )2(xeexx 时时当当,tanarc)(. )1(.xxf 设设证证:lagrange,中值定理得中值定理得上应用上应用在在ba.,11tanarctanarc2之间之间和和介于介于bababa ,1tanarctanarc, baba所以所以. |tanarctanarc|baba.1, )1(:. )2(exeexeeexx 分析分析:lagrange,1,)(中值定理中值定理上应用上应用在在令令xexfx exeex11.e, )1( xeeex所以所以.xeex)(x 1*,),(,)(, )(.3内可导内可导在在上连续上连续在在设设babaxgxf,)()()()()(,)()()()()(.xgagxfafxfxgagxfafxf 则则令令证证使使存在存在中值定理中值定理上应用上应用在在, ),(,lagrange,baba )()()()(abfafbf ) .0)(:( af注意注意.)()()()()()()()()( gagfafabbgagbfaf 得得.:bcaddcba 行列式行列式.)()()()()()()()()(,),(: gagfafabbgagbfafba 使使内有一点内有一点在在证明证明备用题备用题求证存在, ) 1 ,