第一讲：常微分方程的应用与基本概念

1、常常 微微 分分 方方 程程 e-mail: e-mail: chenningc新课导入新课导入先修课程后续课程本课程的专业地位本课程的学习安排 1.1.什么是什么是微分方程？微分方程？ 含有自变量，未知函数及其导数的关系式称为含有自变量，未知函数及其导数的关系式称为微分方程微分方程。 2.2.什么是什么是常微分方程常微分方程？ 联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程；的关系式称为微分方程；常微分方程常微分方程是是只含有一个自变只含有一个自变量量的微分方程；的微分方程； 常微分方程常微分方程则是研究含有一个自变量的微分方则是

2、研究含有一个自变量的微分方程的求解方法及解的性质的科学。程的求解方法及解的性质的科学。 研究对象研究对象：只含一个自变量的微分方程。：只含一个自变量的微分方程。 基本任务基本任务：求解问题及解的性质。：求解问题及解的性质。 在自然界中，很多时候为了刻划客观对象的运动在自然界中，很多时候为了刻划客观对象的运动规律或变化规律，经常需要描述变量之间的函数关系。规律或变化规律，经常需要描述变量之间的函数关系。但针对实际问题，我们通常很难直接找到这种函数关但针对实际问题，我们通常很难直接找到这种函数关系，却容易建立起变量所满足的微分方程。如果方程系，却容易建立起变量所满足的微分方程。如果方程可求解，则可

3、以得到描述客观对象运动规律或变化规可求解，则可以得到描述客观对象运动规律或变化规律的函数关系。律的函数关系。 这就是说微分方程有着深刻而生动的实际背景。这就是说微分方程有着深刻而生动的实际背景。举例说明：举例说明：1.1.社会学社会学中的中的malthusmalthus人口模型人口模型2.2.种群生态学种群生态学中的中的logisticlogistic虫口模型虫口模型3.3.医学医学中的中的传染病动力学模型传染病动力学模型应用举例应用举例5.5.电学电学中的中的r-l-cr-l-c电路模型电路模型4.4.力学力学中的变力作用模型中的变力作用模型10.10.化学化学中的流体浓度问题模型中的流体浓

4、度问题模型9.9.光学光学中的光学仪器成象原理模型中的光学仪器成象原理模型8.8.气象学气象学中的中的长期天气预报不可能问题长期天气预报不可能问题7.7.原子物理学原子物理学中的中的裂变问题模型裂变问题模型6.6.热学热学中的中的物体冷却模型物体冷却模型应用举例应用举例赝品的鉴定赝品的鉴定基本概念基本概念1.1.常微分方程与偏微分方程：常微分方程与偏微分方程：3.3.线性常微分方程与非线性常微分方程：线性常微分方程与非线性常微分方程：2.2.常微分方程的阶：常微分方程的阶：5.5.常微分方程的显式解和隐式解：常微分方程的显式解和隐式解：6.6.常微分方程的特解（特积分）与通解（通积分）：常微分

5、方程的特解（特积分）与通解（通积分）：7.7.常微分方程定解问题的提法：常微分方程定解问题的提法：4.4.齐次微分方程和非齐次微分方程：齐次微分方程和非齐次微分方程：8.8.初等积分法求解常微分方程：初等积分法求解常微分方程：作业与思考作业与思考练习练习1 1：列车在平直的线路上以列车在平直的线路上以2020米米/ /秒的速度行秒的速度行驶驶, , 当制动时列车获得加速度当制动时列车获得加速度0.40.4米米/ /秒秒, ,试建立试建立该问题的微分方程模型，并求列车开始制动后多该问题的微分方程模型，并求列车开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行少时间列车才能停住？以及列车在这段

6、时间内行驶了多少路程？驶了多少路程？ 练习练习2 2：数学摆模型：数学摆模型 数学摆是系于一根长度为 的线上而质量为 的质点m. 在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圆周运动.如图所示.试确定摆的运动方程. lm 一定质量的镭，随着时间的变化，它的质量一定质量的镭，随着时间的变化，它的质量会减少。已知裂变速度与它的存余量成正比，假会减少。已知裂变速度与它的存余量成正比，假设时刻设时刻 t 镭的质量镭的质量 r。 分析：分析：很难直接得到很难直接得到 r 与与 t 函数关系，但却函数关系，但却容易建立变量之间的一个微分方程：容易建立变量之间的一个微分方程：,drkrdt 这里这里 为比例常数。

7、借助于微积分知识，可为比例常数。借助于微积分知识，可对方程求解。原方程变形为对方程求解。原方程变形为k例：镭的裂变模型例：镭的裂变模型,drkdtr 两端积分得：两端积分得：0ln rktc .ktrc e亦即亦即注意到初始条件：注意到初始条件：00(),r ttr即得即得 00e,ktcr于是于是0()0.kttrr e这里的比例常数可通过实验获得。这里的比例常数可通过实验获得。例例1 1的解决过程就是数学建模的过程。的解决过程就是数学建模的过程。返回返回解解 设制动后设制动后 t 秒钟行驶秒钟行驶 s 米，米，s=s(t) , 则则 220.4d sdt 注意到在注意到在 t=0 时，时，

8、0,20,dssvdt练习练习1 1：列车在平直的线路上以列车在平直的线路上以2020米米/ /秒的速度行秒的速度行驶驶, , 当制动时列车获得加速度当制动时列车获得加速度0.40.4米米/ /秒秒, ,问开始问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？时间内行驶了多少路程？ 14 . 0ctdtdsv 于是于是2122 . 0ctcts 代入条件后知：代入条件后知：0,2021 cc,202 . 02tts 从而从而故从开始制动到列车完全停住共需故从开始制动到列车完全停住共需 秒。秒。20500.4t 列列车车在在这这段段时

9、时间间内内行行驶驶了了 20.2502050500 ( ).s m练习练习2： 求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线方程.解: 设所求的曲线方程为).(xfy 由导数的几何意义, 应有t,2)( xxf即.2)(2cxcdxxxf又由条件: 曲线过(1,3), 即, 3) 1 (f于是得. 2c故所求的曲线方程为:.22 xy 例例2. 2. 长期天气预报不可能问题长期天气预报不可能问题 为了刻划空气气流对流的规律，为了刻划空气气流对流的规律，lorenz 得到了如下的微分方程组得到了如下的微分方程组()(),dxyxdtdyrz xydtdzxybzdt这里，这里，x 正比

10、于对流运动强度，正比于对流运动强度，y 正比于水平方向正比于水平方向温度的变化，温度的变化，z 正比于竖直方向温度的变化，参数正比于竖直方向温度的变化，参数, , r b为正常数。为正常数。 通过对通过对 lorenz 方程组稳定性的讨论，可得方程组稳定性的讨论，可得到长期天气预报的不可能性。到长期天气预报的不可能性。 另外，人口模型、传染病模型、水波运动模另外，人口模型、传染病模型、水波运动模型、光纤通讯中脉冲波胞的传输模型等等，均是型、光纤通讯中脉冲波胞的传输模型等等，均是微分方程模型。微分方程模型。返回返回所谓所谓仓室模型仓室模型就是针对某类传染病的传播特征和环就是针对某类传染病的传播特

11、征和环境情况将某地区的人群（或某一种群）分成三类：境情况将某地区的人群（或某一种群）分成三类： 易感者类易感者类：其数量记为：其数量记为s(ts(t),),表示表示t t时刻尚未染时刻尚未染病但有可能被该类病菌或病毒感染的个体数；病但有可能被该类病菌或病毒感染的个体数； 染病者类染病者类：其数量记为：其数量记为i(ti(t),),表示表示t t时刻已经染时刻已经染病并且有感染力的个体数；病并且有感染力的个体数； 移出者类移出者类：其数量记为：其数量记为r(tr(t),),表示表示t t时刻从染病时刻从染病中康复后移出的个体数；中康复后移出的个体数；sirsir模型的三个基本假设：模型的三个基本

12、假设：（1 1）不考虑人口的出生与死亡，环境封闭（没有流）不考虑人口的出生与死亡，环境封闭（没有流入和流出），从而成员的总数始终保持一常数入和流出），从而成员的总数始终保持一常数k,k,即：即：( )( )( )s ti tr tk（2 2）一个染病者一旦与易感者接触就必然有一定的）一个染病者一旦与易感者接触就必然有一定的感染力。假设感染力。假设t t时刻单位时间内已染病者传染易感者时刻单位时间内已染病者传染易感者的数目与此时此刻易感者的数量的数目与此时此刻易感者的数量s(ts(t) )成正比，比例系成正比，比例系数为数为 ；（3 3）假设）假设t t时刻单位时间内从染病者中康复后移出时刻单位

13、时间内从染病者中康复后移出的成员数与此时此刻已感染者的数量的成员数与此时此刻已感染者的数量i(ti(t) )成正比，成正比，比例系数为比例系数为 ，并且假设康复者具有永久免疫力，并且假设康复者具有永久免疫力，康复后不会再次被此疾病感染；康复后不会再次被此疾病感染；s(s(易感者）易感者）i i（染病者）（染病者）r r（移出者）（移出者）siisirsir模型传染病示意图模型传染病示意图 对每一仓室的成员变化率建立平衡方程式，变对每一仓室的成员变化率建立平衡方程式，变得到了下面经典的得到了下面经典的sirsir模型：模型：dssidtdisiidtdridt 返回返回 例例3. 3. 物理冷却

14、过程的数学模型物理冷却过程的数学模型 将某物体放置于空气中, 在时刻0t时, 测得它的温度为,1500cu10分钟后测量得温度为 试决定此物.1001cu体的温度 和时间 的关系,并计算20分钟后物体的温度. 这 里假设空气的温度保持在ut.24 cua解: newton 冷却定律冷却定律: 1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导; 2. 在一定的温度范围内在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比. 设物体在时刻 的温度为 根据导数

15、的物理意义, 则 温度的变化速度为 由newton冷却定律, 得到 t).(tu.dtdu),(auukdtdu其中 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数学模型.0k注意:此式子并不是直接给出 和 之间的函数关系,而只是给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式子求得 与 之间的关系式, 以后再介绍.utut返回返回例例4. r-l-c4. r-l-c电路模型电路模型 如图所示的r-l-c电路. 它包含电感l,电阻r,电容c及电源e(t). 设l,r,c均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关k合上后,电路中电流强度i与时间t之间的关系. 解: 电路的电路的kir

16、chhoff第二定律第二定律: 在闭合回路中在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零所有支路上的电压的代数和为零. 设当开关k合上后, 电路中在时刻t的电流强度为i(t), 则电流 经过电感l, 电阻r和电容的电压降分别为 其中q为电量,于是由kirchhoff第二定律, 得到 ,cqridtdil. 0)(cqridtdilte因为 于是得到,dtdqi .)(122dttdellcidtdilrdtid这就是电流强度i与时间t所满足的数学关系式. 返回返回例例5.5. 数学摆模型数学摆模型 数学摆是系于一根长度为 的线上而质量为 的质点m. 在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圆周运动

17、.如图所示.试确定摆的运动方程. lm解: newton第二定律第二定律: .maf 取反时针运动方向为计量摆与铅垂线所成的角 的正方向. 则由newton第二定律, 得到摆的运动方程为 .sin22lgdtd附注1: 如果研究摆的微小振动,即当 比较小时, 可以取 的近似值 代入上式,这样就得到微小振动时摆的运动方程: sin.22lgdtd 为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。 本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一本节将建立几个简单的单

18、种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。行建立相应的模型。 美丽的大自然 种群的数量本应取离散值，但由于种群数种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。由此引起的误差将是十分微小的。 离散化为连续，方离散

19、化为连续，方便研究便研究malthusmalthus模型与模型与logisticlogistic模型模型例例. . 马尔萨斯（马尔萨斯（malthusmalthus）模型）模型 马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率口净增长率r r基本上是一常数，（基本上是一常数，（r r= =b b- -d d, ,b b为出生率，为出生率，d d为死亡为死亡率），即：率），即： 1 dnrn dtdnrndt或或 （3.5） 0()0( )r t tn tn e（3.6） （3.1）的解为的解为：其中其中n0=n(t0)为初始时刻为初始时

20、刻t0时的种群数。时的种群数。 马尔萨斯模型的一个显著特点马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需种群数量翻一番所需的时间是固定的的时间是固定的。令种群数量翻一番所需的时间为令种群数量翻一番所需的时间为t，则有：，则有： 002rtnn eln2tr故故模型检验模型检验 比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人年世界人口数为口数为30.6 （即（即3.06109），人口增长率约为），人口增长率约为2%，人口数，人口数大约每大约每35年增加

21、一倍。检查年增加一倍。检查1700年至年至1961的的260年人口实际年人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。年增加一倍，两者也几乎相同。 19502000205021002150220000.511.522.533.5x 1011t/年n/人马 尔 萨 斯 模 型 人 口 预 测模型预测模型预测 假如人口数真能保持每假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。例如，到以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达年，人口

22、达21014个，个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，平方英尺的活动范围，而到而到2670年，人口达年，人口达361015个，只好一个人站在另一人的个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了。肩上排成二层了。 故故马尔萨斯模型是不完善的。马尔萨斯模型是不完善的。几何级数的增长malthusmalthus模型实际上只有在群体总数模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能

23、发生生存竞争等现等原因，就可能发生生存竞争等现象。象。所以所以malthusmalthus模型假设的人口模型假设的人口净净增长率不可能始终保持常数，增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。它应当与人口数量有关。返回返回例例. logistic. logistic模型模型 人口净增长率应当与人口数量有关，即：人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(n) 从而有从而有：()dnr n ndt（3.7）r( (n n) )是未知函数，但根是未知函数，但根据实际背景，它无法用据实际背景，它无法用拟合方法来求拟合方法来求 。为了得出一个有实际意义为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一

24、的模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们下工程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简型时，总是采用尽可能简单的方法。单的方法。 r(n)最简单的形式是常数，此最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）进就是引进一次项（竞争项） 对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令 r(n)=r-an 此时得到微分方程：此时得到微分方程： ()dnran ndt(1)dnnrndtk或或（3.8） （3.8）被称为被

25、称为logisticlogistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生物学家弗赫斯特（生物学家弗赫斯特（verhulstverhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。（3.83.8）可改写成：可改写成： ()dnk kn ndt（3.9） (3.9)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种

26、群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为的种群数量的上界为k（近似地将（近似地将k看成常数），看成常数），n表示当前的种群数量，表示当前的种群数量，k-n恰为环境还能供养的种群数量，（恰为环境还能供养的种群数量，（3.9）指出，种群增长率与两者的乘）指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结

27、果的支持，这就是（3.9）也被称为统计筹算律的原因。也被称为统计筹算律的原因。 图图3-5对对（3.93.9）分离变量：分离变量：11dnkkdtnkn两边积分并整理得：两边积分并整理得： 1kktknce令令n(0)=n0，求得：，求得： 00kncn故故（3.93.9）的满足初始条件的满足初始条件n(0)=n0的解为：的解为： 000( )()kktn kn tnkn e（3.10）易见：易见： n(0)=n0 ，lim( )tn tkn(t)的图形请看图的图形请看图3.5 模型检验模型检验 用用logisticlogistic模型来描述种群增长的规律效果如何呢？模型来描述种群增长的规律效果如何呢？19451945年克朗皮克（年克朗皮克（crombiccrombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数学生物学家高斯（学生物学家高斯（e ef fgaussgauss）也做了一个原生物草履虫实验，）也做了一个原生物草履虫实验，实验结果都和实验结果都和logisticlogistic曲线十分吻合。曲线十分吻合。 大量实验资料表明用大量实验资料表明用logisticlogistic模型