第5章机械系统自激振动

1、 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学第第5 5章章 机械系统自激振动机械系统自激振动 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学5.1 5.1 自激振动的基本概念自激振动的基本概念 导轨爬行现象；导轨爬行现象；机床进行切削加工时，在没有周期性外力的作用下，机床进行切削加工时，在没有周期性外力的作用下，刀具与工件之间也可能产生强烈的相对振动。刀具与工件之间也可能产生强烈的相对振动。这样的自激振动都应予以避免和抑制。这样的自激振动都应予以避免和抑制。 自激振动自激振动？是不是就不需要外界激励，而自行起振？是不是就不需要外界激励，而自行起振的呢？的呢？ 机电工程学院机械制造及

2、自动化系机械动力学机械动力学摩擦系数摩擦系数 与质量块和与质量块和皮带之间的相对速度皮带之间的相对速度有关。有关。5.1.15.1.1自激振动的特征自激振动的特征 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学当当c-a0，振幅逐渐衰退；当，振幅逐渐衰退；当c-a0，表示只要振动位移滞后，表示只要振动位移滞后于交变作用力时，就有能量输入系统。于交变作用力时，就有能量输入系统。(5-1-3)(5-1-3) 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学对于阻力系统，交变阻力在一个振动周期对于阻力系统，交变阻力在一个振动周期t=2 / 内

3、，向系统所作的功内，向系统所作的功当当-180 0 时，时，uf0，表示只有振动位移导，表示只有振动位移导前于交变阻力时，才有能量输入系统。前于交变阻力时，才有能量输入系统。(5-1-4)(5-1-4) 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学5.1.55.1.5自激振动的实例自激振动的实例例例5-1 5-1 车刀后刀面与工件之间的摩擦引起的切削自振车刀后刀面与工件之间的摩擦引起的切削自振车刀后刀面与工件之间的车刀后刀面与工件之间的摩擦过程是这个自振系统摩擦过程是这个自振系统的调节环，如图的调节环，如图5-75-7 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学(5-1-5)(5

4、-1-5)(5-1-6)(5-1-6) 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学阻尼阻尼c和水平切削分力和水平切削分力py都是大都是大于于0的正数，只有的正数，只有 时，即时，即只有只有 具有随运动速度的增加而具有随运动速度的增加而下降的区域，即低速区域，才下降的区域，即低速区域，才可能产生这种切削自振。可能产生这种切削自振。00ypc00产生这种切削自激振动的条件是产生这种切削自激振动的条件是 。(5-1-7)(5-1-7) 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学例例5-2 5-2 刀具前、后角动态变化引起的切削自振刀具前、后角动态变化引起的切削自振 机电工程学院机械制

5、造及自动化系机械动力学机械动力学 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学(5-1-8)(5-1-8)(5-1-9)(5-1-9) 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学其运动方程：其运动方程：(5-1-10)(5-1-10) 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学5.2 5.2 速度反馈引起的自激振动速度反馈引起的自激振动一单自由度振动系统，所受一单自由度振动系统，所受激振力激振力 又受其自身振动又受其自身振动速度速度 控制，即成为振动速控制，即成为振动速度度 的函数。这种系统叫做的函数。这种系统叫做速度反馈系统。速度反馈系统。运动方程：运动方程： xfkx

6、xcxm (5-2-1)(5-2-1)x x f假定假定 可在可在 =0的附近展成幂级数的附近展成幂级数 xf x 2220! 2100 xxdfdxxddffxf(5-2-2)(5-2-2) 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学略去略去 的高次项及对系统振动无影响的恒力项的高次项及对系统振动无影响的恒力项x xcxxddfxf0(5-2-3)(5-2-3)代入代入(5-2-1)(5-2-1)式得式得0kxxccxm (5-2-4)(5-2-4)系统本身的阻尼系统本身的阻尼c，阻碍振动运动，正阻尼；，阻碍振动运动，正阻尼；速度反馈引起的阻尼速度反馈引起的阻尼c ，如在，如在 =0

7、附近附近 是是 的的增函数，则增函数，则c 0，负刚度，如，负刚度，如-k k，则系统总刚，则系统总刚度度 ，负刚度。，负刚度。下图所示分别为正刚度和负刚度情形。下图所示分别为正刚度和负刚度情形。0)(kk 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学下图分别给出具有正刚度和负刚度系统的两个例子，下图分别给出具有正刚度和负刚度系统的两个例子，即正摆和倒摆。显然后者是不稳定的，但其与前面所即正摆和倒摆。显然后者是不稳定的，但其与前面所述由于负阻尼引起的不稳定有很大不同。述由于负阻尼引起的不稳定有很大不同。 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学由由(5-3-3)(5-3-3)式

8、，系统固有频率式，系统固有频率负刚度情形下，负刚度情形下， 0成为虚数，即固有频率并不存在。成为虚数，即固有频率并不存在。如如 ，引入记号，引入记号(5-3-4)(5-3-4)0imkkp0)(kk022xpxpx mkk0imkkc2(5-3-5)(5-3-5)(5-3-6)(5-3-6)(5-3-3)(5-3-3)式写成式写成 令令(5-3-7)(5-3-7)(5-3-8)(5-3-8) staetx 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学代入上式，得特征方程代入上式，得特征方程解得解得方程方程(5-3-7)(5-3-7)的通解的通解0222ppssps2,211(5-3-9)

9、(5-3-9)(5-3-10)(5-3-10) tstseaeatx2121(5-3-11)(5-3-11) 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学由于负刚度引起的失稳称为静态不稳定，区别于由于负刚度引起的失稳称为静态不稳定，区别于前面的由于负阻尼引起的失稳（动态失稳）。前面的由于负阻尼引起的失稳（动态失稳）。例如金属切削中由于刀具变形引起的负刚度及静态例如金属切削中由于刀具变形引起的负刚度及静态失稳现象。失稳现象。“轧刀轧刀”现象。现象。 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学近视地视刀具为悬臂梁，完全刚性装夹，近视地视刀具为悬臂梁，完全刚性装夹，则刀具刚度则刀具刚度

10、eildxdpk33(5-3-12)(5-3-12)由位移反馈产生的等效刚度由位移反馈产生的等效刚度k 可推算如下：可推算如下：首先求刀刃纵向下沉量首先求刀刃纵向下沉量dx与横向伸出量与横向伸出量ds关系。关系。集中载荷集中载荷dp作用下端部挠度和转角分别为作用下端部挠度和转角分别为， 。由图关系得。由图关系得dxlzds23z z为刀刃到刀杆中性面之为刀刃到刀杆中性面之间距离。间距离。(5-3-13)(5-3-13)eidplf33eidpl22 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学将切削力与切削厚度之间的函数关系将切削力与切削厚度之间的函数关系p(s0+ds)在在s0附近展成

11、幂级数附近展成幂级数切削力的增量切削力的增量式中式中(5-3-14)(5-3-14)由于由于p(s0+ds)是是ds的增函数，故有的增函数，故有ks0。将。将(5-3-13)式式代入代入(5-3-14)略去高阶微量，得略去高阶微量，得由此得等效刚度由此得等效刚度(5-3-15)(5-3-15) 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学由此得等效刚度由此得等效刚度(5-3-16)(5-3-16)-ks3z/(2l)是由于位移反馈造成的等效负刚度。产生是由于位移反馈造成的等效负刚度。产生“轧刀轧刀”现象的条件为现象的条件为(5-3-17)(5-3-17)防止防止“轧刀轧刀”的一个有效措施

12、是改变刀杆形状，使的一个有效措施是改变刀杆形状，使得刀刃向下变形时，同时得刀刃向下变形时，同时会退离工件，而不是轧会退离工件，而不是轧入工件，这样上式中的入工件，这样上式中的第二项会变成正刚度。第二项会变成正刚度。 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学可见，单纯位移反馈，或只能使系统正刚度增加，可见，单纯位移反馈，或只能使系统正刚度增加，或使刚度减小甚至形成负刚度，而引起静态不稳定，或使刚度减小甚至形成负刚度，而引起静态不稳定，但不可能引起动态不稳定，即自激振动。但不可能引起动态不稳定，即自激振动。如作用在系统上瞬时激振力如作用在系统上瞬时激振力f(t)不是受当时振动位移不是受当

13、时振动位移x(t)控制，而受到一段时间控制，而受到一段时间t之前振动位移之前振动位移x(t-t)控制，控制，则得到位移的延时反馈系统（时延系统），则得到位移的延时反馈系统（时延系统），如图如图其运动方程其运动方程(5-3-18)(5-3-18) 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学将函数将函数fx(t-t)线性化处理线性化处理式中式中(5-3-19)(5-3-19)设设则则而而 = t是由于时延引起的相位滞后。将是由于时延引起的相位滞后。将(5-3-21)式、式、(5-3-22)式代入，引入记号式代入，引入记号(5-3-20)(5-3-20)(5-3-21)(5-3-21)(5-

14、3-22)(5-3-22) 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学(5-3-23)(5-3-23)(5-3-24)(5-3-24)(5-3-25)(5-3-25)得得代入代入(5-3-19)(5-3-19)式，得式，得 0txkktxcctxm (5-3-26)(5-3-26)可见，位移的延时反馈等价于位移与速度同时反馈，可见，位移的延时反馈等价于位移与速度同时反馈，它同时改变了系统的阻尼与刚度。它同时改变了系统的阻尼与刚度。式式(5-3-23)(5-3-23)、(5-3-24)(5-3-24)给出了由于延时反馈产生的给出了由于延时反馈产生的等效刚度和等效阻尼系数。等效刚度和等效阻

15、尼系数。视时延视时延t长短长短, ,可出现负刚度或负阻尼，从而引起静可出现负刚度或负阻尼，从而引起静态或动态的不稳定。态或动态的不稳定。 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学5.4 5.4 模态耦合引起的自激振动模态耦合引起的自激振动一个两自由度系统，自由振动运动方程一个两自由度系统，自由振动运动方程(5-4-1)(5-4-1)(5-4-2)(5-4-2)(5-4-3)(5-4-3)(5-4-4)(5-4-4)(5-4-5)(5-4-5) 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学于是于是(5-4-1)(5-4-1)式成为式成为(5-4-6)(5-4-6)每一个刚度系数均

16、有两部分：振动系统本身刚度每一个刚度系数均有两部分：振动系统本身刚度kij( (i, ,j=1,2)=1,2)和位移线性反馈的系数和位移线性反馈的系数 ij( (i, ,j=1,2=1,2) )。令令(5-4-7)(5-4-7)(5-4-6)(5-4-6)式成为式成为(5-4-8)(5-4-8) 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学(5-4-8)(5-4-8)式不一定满足式不一定满足(5-4-2)-(5-4-4)(5-4-2)-(5-4-4)式。有可式。有可能发生动态或静态不稳定，关键在于位移反馈方能发生动态或静态不稳定，关键在于位移反馈方式，即式，即(5-4-5)(5-4-5)

17、式的具体形式。式的具体形式。设形式解为设形式解为(5-4-9)(5-4-9)代入代入(5-4-8)(5-4-8)式，得式，得(5-4-10)(5-4-10)有非零解，必有有非零解，必有(5-4-11)(5-4-11)(5-4-12)(5-4-12)展开展开 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学(5-4-12)(5-4-12)式即特征方程。式即特征方程。假定对于系统假定对于系统(5-4-8)(5-4-8)，条件，条件(5-4-2)(5-4-2)式仍满足，即式仍满足，即k110，k220。令。令(5-4-13)(5-4-13)(5-4-12)(5-4-12)式写成式写成(5-4-14)(5-4-14)解得解得(5-4-15)(5-4-15)写成写成(5-4-16)(5-4-16) 机电工程学院机械制造及自动化系机械动力学机械动力学在下面的条件下在下面的条件下(5-4-17)(5-4-17)解出的解出的(p2)1与与(p2)2开方，得开方，得p1、p2与与p3、p4，系统，系统稳定性取决于四个数的取值，而后者又与稳定性取决于四个数的取值，而后者又与kij有关。有关。系统要么存在稳定的周期运动（由于系统中实际存系统要么存在稳定的周期运动（由于系统中实际存在着阻尼，周期运动必然会衰减掉），要么会出现在着阻尼