第7讲函数极限的四则运算及复合函数的极限

1、第5节 极限运算法则一. 极限运算法则二. 复合函数的极限请点击请点击 极限运算法则的理论依据 )(limaxf )()(xaxf 依据无穷小的运算法则定理法则 一.极限的运算法则 , )(lim , )(lim 则存在设bxgaxf . ) 0,( , )( , )(bxgaxf 在该极限过程中, )()()()(baxgxf , )()()()(baabbaxgxf . )0( , )()()(bbbabbababababaxgxf和的极限等于极限的和.乘积的极限等于极限的乘积.商的极限等于极限的商(分母不为零).差一点 ! 结论成立的条件. 设在某极限过程中, 函数 f (x)、g(x)

2、 的极限 lim f (x)、lim g(x) 存在, 则) 0)(lim ( )(lim)(lim)()(lim . 4xgxgxfxgxf)( )(lim)(lim . 2为常数kxfkxfk)(lim)(lim)()(lim . 3xgxfxgxf)(lim)(lim)()(lim . 1xgxfxgxf )(lim)(lim . 5 nnxfxf )(lim)(lim , )()( . 6xgxfxgxf则若在极限过程中 二.复合函数的极限 . )( )( )( 复合而成及是由设xuufyxfy : 由极限的概念可知 . ),u( 0uu有 , ),(u , 0 , 0 , )(lim

3、00时当即uuaufuu . ),u(ay有 , ),(u , 0 , 0 , )(lim000时当即xxuxxx ),u( ),(u 0, 000uuxx . ),u( ay . )( )( )( 复合而成及是由设xuufyxfy , )( )(u , )(lim 0000又有内且在若uxxuxxx . )(lim)(lim , )(lim000aufxfaufuuxxuu则注意这个条件, 缺了它定理不一定成立. . , )( 0在定义域内的值是的“自变量”是函数uuufu由极限的定义, 即要证明： , | 0 , 0 , 00有时使当xx. |)(| |)(|aufaxf , 0 , 0

4、, )(lim 0故由aufuu , | 0 0时当uu. |)(| auf , 0 , 0 , )(lim 100故对上面的又uxxx , | 0 10时当xx . |)(| |00uxuu则取中设在 ,min ,)( ),(u 21020 uxx, )( | 0 , | 0 000uxuuxx时当. |)(| ,auf从而证证综上所述： , | 0 , 0 , 00时当xx |)(| |)(|aufaxf . )(lim)(lim 00aufxfuuxx即 例例. , 0) ( , , ,1)( 为无理数为有理数即互质与设xxqpqpxqxf. 0 0, , 0 , 1 )(uuug0.)

5、 0,( , 1)(lim , 0)(lim0000uxugxfux . )(lim 0不存在但xfgx请想想,为什么?. 1)31)(21)(1 (lim 0 xxxxx求 . , , 0lim 0不能直接用公式计算所以由于xxxxxxx1)31)(21)(1 (lim 0 xxxxx161161lim320 . 6)6116(lim20 xxx 初等展开例例1 1解 . 22325lim 2xxx求 . , 0)22(lim 2故不能直接用公式计算由于xx)22)(22)(325()22)(325)(325(lim22325lim22xxxxxxxxxx)42)(325()22)(42(l

6、im2xxxxx . 32)325(lim)22(lim32522lim222xxxxxxx分子分母同时-有理化例例2 2解 . )2( 1lim xxxx求) )( ( )2( 1lim xxxxxxxxxxxx2)2)(2( 1limxxxx2 12lim . 1111111 2limxxx分子有理化例例3 3解lim2nn求) 12)(12(1141 2nnn) 12)(12(175153131114135115131 2nnn1211217151513131121nn121121n12112121nn . 21121121limlim

7、2nnnn故 部分分式法例例4 4解mnmnbamnbxbxbaxaxannnmmmx , , , 0lim00110110证明)()(lim110110nnnmmmxxbxbbxxaxaax原式)(limxgxnmx由，00)(limbaxgx，mnmnmnxnmx , , 1 , 0lim即得所证.证例例5 5.35123lim2232xxxxxx求35123lim2232xxxxxx3163252122223223例例6 6解 . ) 12(lim 3xxx求121lim 3xxx) 12(lim 3xxx01121lim323xxxx或者用下面的方法) 12(lim3xxx)112(l

8、im323xxxx 涉及到两个无穷大的差例例7 7解.lim sin0 xxe求 , 0sin , 0 而时因为xux , 1lim0uue所以,由复合函数求极限法则 . 1limsin0 xxe这类复合函数的极限通常可写成这类复合函数的极限通常可写成 . 1lim0sinlimsin00eeexxxx例例8 8解 .lim cosxxx求xxxxxexlncoscoslimlim . 1lnlncoslimeexxx这是求幂指函数极限常用的方法求幂指函数极限常用的方法:. )(ln)(lim exp)(lim)(xfxxfx.lim)(lim )(ln)(lim)(ln)()(xfxxfxx

9、eexf即例例9 9解 . 1211lim 31xxxx求这是两个无穷大量相减的问题. 我们首先进行通分运算, 设法去掉不定因素, 然后运用四则运算法则求其极限. 11lim1211lim32131xxxxxxx . 3211lim21xxxx解例例1010, 0 ,0 , 1)(xbxxexfx问 b 取何值时,)(lim0 xfx存在, 并求其值.若 由函数的极限与其左、右极限的关系, 得 . 2)(lim 0 xfx b = 2 , )(lim 0 xfx2) 1(lim0 xxe,)(lim0 xfxbbxx)(lim0,解例例1111，nnxxnx ,1)1 (lim0并由此证明, 1)1 (lim0mnxxmnx其中, n, mn.求xxnx1)1 (lim0 xxxnnnxnx1)!2) 1(1(lim20nxxnnnnx)2) 1(lim10解例例1212令，11mxy则，1)1 (myx，yxm1)1 (1,)1 ()1 (nmnyx当 x 0 时, y 0, 故1)1 (1)1 (lim1)1 (lim00mnymnxyyxxmnyyyymny1)1 (1)1 (lim0下面证明mnxxmnx1)1 (lim0. 变量代换 . 0)1(lim : , 236baxxbax使下式成立确定常数 ),1(1 23