63定积分的换元积分法和分部积分法

1、 上一节的牛上一节的牛莱公式将定积分的计算莱公式将定积分的计算的形式，常可使计算更简单的形式，常可使计算更简单.而不定积分可用换元法而不定积分可用换元法和分部积分法求积和分部积分法求积 , 这样定积分的计算问题这样定积分的计算问题已经比较完满地解决了已经比较完满地解决了.归结为求不定积分归结为求不定积分,如果将换元法和分部积分法写成定积分如果将换元法和分部积分法写成定积分引引 子子6.3 6.3 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 6.3.1. 定积分的换元法定积分的换元法 6.3.2. 定积分的分部积分法定积分的分部积分法6.3.1 6.3.1 定积分的换元法定积分的换元法

2、定理定理1则有则有 baxxfd)(定积分换元公式定积分换元公式假设函数假设函数上上或或在在),(, )( t f )(t tt d)( ,)(bacxf 设设满足条件满足条件:(1) (2) 具有连续导数具有连续导数,且且,)(bta)(tx ;)(,)(ba 证证,)(bacxf 因因为为),(xf xxfbad )( )(ddtft 是是故故)(tf tttfd )()( )()(afbf 故有故有 tttfxxfbad)()(d)( 则则由于由于 tttfxxfbad)()(d)( )(tf )()(ttf 的的)()(ttf )()(afbf 则则 )()( ff 所以存在原函数所以

3、存在原函数原函数原函数,)(t 例例 解解 203dsin xx 203dsin xx 202dsinsin xxxxxcosd)cos1(202 xtcos ttd)1(2 01331tt, 0 x321 t,2 x0 t01或或 203dsin xxxxxdsinsin202 202cosd)cos1( xx203cos31cos xx 32 例例 )0(d022 axxaa解解原式原式ttadcos2022 ,sintax 令令2,0, 0 taxtx 202d22cos1 tta241a 这是半径为这是半径为a的四分之一的圆的面积的四分之一的圆的面积.dcosdttax 例例 解解 4

4、3)ln1(lndeexxxx原式原式 43)ln1(ln)(lndeexxx 432)ln(1lnd2eexx 43)lnarcsin(2eex .6 例例 则则上上可可积积在在区区间间设设,)(aaxf 证证 aaxxfd)( 0d)(axxf对对, tx 令令 axxf0d)( 0d)(axxf aaxxfxfxxfd)()(d)(0a作作变换变换,.ddtx 0d)(axxf attf0d)(x 0d)(attfx aaaxxfxfxxf0d)()(d)(利用上面的结果计算利用上面的结果计算:xexxd1cos44 22xexexxxd1cos1cos40 40dcos xx可得可得1

5、. 奇、偶函数在对称区间上的定积分奇、偶函数在对称区间上的定积分:,)(上连续上连续在在当当aaxf ,)()1(为为偶偶函函数数xf aaaxxfxxf0d)(2d)(,)()2(为为奇奇函函数数xf aaxxf0d)( aaaxxfxfxxf0d)()(d)(由由 xxxdsin4 112d4xx xxxxxd12sin5524230例例 xx d412 200 xxxd |1)124(52 xxxxd122235 038 xxxd |2 奇奇偶偶11xxxxd12220224 xxxd |121 ）（xxxxxxd12)2(2222345 xxxxd1222224 21211d0 xx证

6、证 (1)tx 2 2. 三角函数的定积分三角函数的定积分例例 证明证明上连续上连续在在若若, 1 , 0)(xf 2020;d)(cosd)(sin)1( xxfxxf 00,d)(sin2d)(sin)2(xxfxxxf设设02 20d)(cos ttf 20d)(cos xxftxdd ttfxxfd2sind)(sin20 tx txdd ttftxxxfd)sin()(d)(sin0 0d)(sin)(ttft设设 0d)(sinxxxf.d)(sin20 xxf证证 00d)(sin2d)(sin)2(xxfxxxf 0d)(sinttf 0d)(sinttft 0 02dcos1

7、sinxxxx 02dcos1sin2xxx 02)(cosdcos112xx 0)arctan(cos2x .42 )44(2 00d)(sin2d)(sinxxfxxxf例例 3. 周期函数的定积分公式周期函数的定积分公式.d)(d)(,)(0为任何常数为任何常数则则的周期的周期是连续函数是连续函数如果如果axxfxxfxfttaat 例例 312d)2(, 0, 0,1)(xxfxexxxfx求求设设解解,2tx 令令txdd e137 tt d )1(012 td 31d)2(xxf 11)(tftetd10 4. 分段函数的定积分分段函数的定积分定积分的分部积分公式定积分的分部积分公

8、式设设)(),(xvxu上上在区间在区间,ba有连续的导数有连续的导数,则则 vud定理定理2uv uvd由不定积分的分部积分法由不定积分的分部积分法abbaab及及n-l公式公式.6.3.2 6.3.2 定积分的分部积分法定积分的分部积分法例例 30d1arcsinxxx解解xxx 1arcsin334 原式原式=30 30 xxxxd)1(2 xxxd)(1)(3022 11 xd)arctan(xx 30 301xx例例 解解 102d)2()1ln(xxx 10)1ln(x2ln 10)2ln()1ln(312lnxx 2ln31 原式原式= dx 21xx 2)1ln(10 xxxd112110 xd10 xx211131例例 解解 21,dsin)(xtttxf设设.d)(10 xxxf求求 10d)(xxxf2dx102)(21xfx 102)(d21xfx)1(21f 102d)(21xxfx 10)(xf210)1( f22sin)(xxxf xx2sin2 x2 102dsin221xxx 1022dsin21xx102cos21x xxeedln1计算解解 xxeedln1用定积分的分部积分公式用定积分的分部积分公式e22 e11 e1xxdlnxxdln 定积分的分部积分公式